中考復(fù)習(xí)（16）：歸納與猜想

海豚教育個(gè)性化簡(jiǎn)案學(xué)生姓名：年級(jí)：科目：授課日期：月日上課時(shí)間：時(shí)分------時(shí)分合計(jì)：小時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想，并能對(duì)所作出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證;能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的嚴(yán)密的邏輯論證，并有條理地表達(dá)自己的證明;3.分析題中提供的信息，有利于提高學(xué)生分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.重難點(diǎn)導(dǎo)航1.認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，綜合歸納，大膽猜想，得出結(jié)論；2.從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗(yàn)證結(jié)論.教學(xué)簡(jiǎn)案：專(zhuān)題復(fù)習(xí)：歸納與猜想考點(diǎn)1：猜想數(shù)式規(guī)律考點(diǎn)2：猜想圖形規(guī)律考點(diǎn)3：猜想坐標(biāo)的變化規(guī)律考點(diǎn)4：猜想數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)5：猜想變化情況考點(diǎn)6：猜想數(shù)字求和授課教師評(píng)價(jià)：□準(zhǔn)時(shí)上課：無(wú)遲到和早退現(xiàn)象（今日學(xué)生課堂表□今天所學(xué)知識(shí)點(diǎn)全部掌握：教師任意抽查一知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生能完全掌握現(xiàn)符合共項(xiàng)）□上課態(tài)度認(rèn)真：上課期間認(rèn)真聽(tīng)講，無(wú)任何不配合老師的情況（大寫(xiě)）□海豚作業(yè)完成達(dá)標(biāo)：全部按時(shí)按量完成所布置的作業(yè)，無(wú)少做漏做現(xiàn)象審核人簽字：學(xué)生簽字：教師簽字：備注：請(qǐng)交至行政前臺(tái)處登記、存檔保留，隔日無(wú)效（可另附教案內(nèi)頁(yè)）大寫(xiě)：壹貳叁肆簽章：海豚教育錯(cuò)題匯編EDCBAA'(第6題)1.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點(diǎn)E是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰好落在∠BCD的平分線上時(shí)，EDCBAA'(第6題)A．3或4EQ\r(2)B．4或3EQ\r(2)C．3或4D．3EQ\r(2)或4EQ\r(2)海豚教育個(gè)性化教案專(zhuān)題復(fù)習(xí)：歸納與猜想一：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖猜想性問(wèn)題猜想性問(wèn)題猜想規(guī)律型猜想結(jié)論型猜想數(shù)式規(guī)律猜想圖形規(guī)律猜想數(shù)值結(jié)果猜想數(shù)量關(guān)系猜想變化情況二：基礎(chǔ)知識(shí)整理1.猜想規(guī)律型的問(wèn)題難度相對(duì)較小，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類(lèi)認(rèn)識(shí)新生事物的一般過(guò)程。2.相對(duì)而言，猜想結(jié)論型問(wèn)題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類(lèi)比、比較、測(cè)量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到。由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專(zhuān)家的青睞，逐步成為中考的又一熱點(diǎn)?？键c(diǎn)1：猜想數(shù)式規(guī)律例1：觀察下面的單項(xiàng)式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第8個(gè)式子是．練習(xí)1：一組數(shù)據(jù)為：x，-2x2，4x3，-8x4，…觀察其規(guī)律，推斷第n個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為．考點(diǎn)2：猜想圖形規(guī)律例2：用大小相同的小三角形擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第n個(gè)圖案中共有小三角形的個(gè)數(shù)是．

例3：如圖所示，以O(shè)為端點(diǎn)畫(huà)六條射線后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再?gòu)纳渚€OA上某點(diǎn)開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上描點(diǎn)并連線，若將各條射線所描的點(diǎn)依次記為1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013個(gè)點(diǎn)在射線上．練習(xí)1：如圖，是用火柴棒拼成的圖形，則第n個(gè)圖形需根火柴棒．

2．2n+1練習(xí)2：觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若按其規(guī)律再畫(huà)下去，可以得到第n個(gè)圖形中所有點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．

考點(diǎn)3：猜想坐標(biāo)的變化規(guī)律例4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，1），（-1，0）．一個(gè)電動(dòng)玩具從坐標(biāo)原點(diǎn)0出發(fā)，第一次跳躍到點(diǎn)P1．使得點(diǎn)P1與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)；第二次跳躍到點(diǎn)P2，使得點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)；第三次跳躍到點(diǎn)P3，使得點(diǎn)P3與點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱(chēng)；第四次跳躍到點(diǎn)P4，使得點(diǎn)P4與點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱(chēng)；第五次跳躍到點(diǎn)P5，使得點(diǎn)P5與點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱(chēng)；…照此規(guī)律重復(fù)下去，則點(diǎn)P2013的坐標(biāo)為．練習(xí)1：如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，0）、B（0，4），對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到△1、△2、△3、△4…，則△2013的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

考點(diǎn)4：猜想數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在猜想這種問(wèn)題時(shí)，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類(lèi)比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。例5：正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE（不需證明）

（2）當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

練習(xí)1：如圖1，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）在圖1中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．

考點(diǎn)5：猜想變化情況例6：如圖，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP，得OP1=；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法繼續(xù)作下去，得OP2012=．練習(xí)：已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為．考點(diǎn)6：猜想數(shù)字求和例7：已知直線y=（n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn，則S1+S2+S3+…+S2012=．練習(xí)：觀察規(guī)律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，則1+3+5+…+2013的值是．【課堂訓(xùn)練】1．給定一列按規(guī)律排列的數(shù)：，…，則這列數(shù)的第6個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．2.下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖形的面積為2cm2，第（2）個(gè)圖形的面積為8cm2，第（3）個(gè)圖形的面積為18cm2，…，則第（10）個(gè)圖形的面積為（）

A．196cm2 B．200cm2 C．216cm2 D．256cm23.如圖，下列圖案均是長(zhǎng)度相同的火柴按一定的規(guī)律拼搭而成：第1個(gè)圖案需7根火柴，第2個(gè)圖案需13根火柴，…，依此規(guī)律，第11個(gè)圖案需（）根火柴．

A．156 B．157 C．158 D．1594.下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有1棵棋子，第②個(gè)圖形一共有6棵棋子，第③個(gè)圖形一共有16棵棋子，…，則第⑥個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（）

A．51 B．70 C．76 D．815.如圖，動(dòng)點(diǎn)P從（0，3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第2013次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）6.如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對(duì)角線交于點(diǎn)O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對(duì)角線交于點(diǎn)O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…；依此類(lèi)推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27.有一組等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…請(qǐng)觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第8個(gè)等式為．8.一組“穿心箭”按如下規(guī)律排列，照此規(guī)律，畫(huà)出2013支“穿心箭”是．

9.觀察下列各數(shù)，它們是按一定規(guī)律排列的，則第n個(gè)數(shù)是．

，…10.已知123456789101112…997998999是由連續(xù)整數(shù)1至999排列組成的一個(gè)數(shù)，在該數(shù)中從左往右數(shù)第2013位上的數(shù)字為．11.下列圖形是由一些小正方形和實(shí)心圓按一定規(guī)律排列而成的，如圖所示，按此規(guī)律排列下去，第20個(gè)圖形中有個(gè)實(shí)心圓．

12.觀察下列按順序排列的等式：a1＝1?，a2＝，a3＝，a4＝，…，試猜想第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）：an=．13.為慶祝“六?一”兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第（n）圖，需用火柴棒的根數(shù)為．

14.如圖，每一幅圖中均含有若干個(gè)正方形，第1幅圖中有1個(gè)正方形；第2幅圖中有5個(gè)正方形；…按這樣的規(guī)律下去，第6幅圖中有個(gè)正方形．

15.有這樣一組數(shù)據(jù)a1，a2，a3，…an，滿足以下規(guī)律：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝（n≥2且n為正整數(shù)），則a2013的值為（結(jié)果用數(shù)字表示）．16.已知，，，…

依據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算+…的結(jié)果為（寫(xiě)成一個(gè)分?jǐn)?shù)的形式）。17.如圖是三種化合物的結(jié)構(gòu)式及分子式．請(qǐng)按其規(guī)律，寫(xiě)出后面第2013種化合物的分子式．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動(dòng)，每移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么點(diǎn)A4n+1（n為自然數(shù)）的坐標(biāo)為（用n表示）

19.觀察下列運(yùn)算過(guò)程：S=1+3+32+33+…+32012+32013

①，

①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014

②，

②-①得2S=32014-1，S=．

運(yùn)用上面計(jì)算方法計(jì)算：1+5+52+53+…+52013=．20.對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=-，2⊕1=，（-2）⊕5=，5⊕（-2）=-，…，則a⊕b=．21.將連續(xù)正整數(shù)按以下規(guī)律排列，則位于第7行第7列的數(shù)x是．

22.把奇數(shù)列成下表，

根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，則上起第8行，左起第6列的數(shù)是．23.小明在做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：

3-2=1

8+7-6-5=4

15+14+13-12-11-10=9

24+23+22+21-20-19-18-17=16

…根據(jù)以上規(guī)律可知第100行左起第一個(gè)數(shù)是．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），點(diǎn)P在y軸上，且坐標(biāo)為（0，-2）．點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2，點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P3，點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P4，點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P5，點(diǎn)P5關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P6，點(diǎn)P6關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P7…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)P2013的坐標(biāo)是．25.如圖，所有正三角形的一邊平行于x軸，一頂點(diǎn)在y軸上．從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2，4，6，8，…，頂點(diǎn)依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2與x軸、底邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個(gè)單位，則頂點(diǎn)A3的坐標(biāo)是，A92的坐標(biāo)是．26.如圖，已知直線l：y=x，過(guò)點(diǎn)M（2，0）作x軸的垂線交直線l于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)M1；過(guò)點(diǎn)M1作x軸的垂線交直線l于N1，過(guò)點(diǎn)N1作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)M2，…；按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)M10的坐標(biāo)為．27.如圖，△ABC是斜邊AB的長(zhǎng)為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個(gè)內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個(gè)內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個(gè)小正方形AnBnDnEn

的邊長(zhǎng)是．28.如圖中每一個(gè)小方格的面積為1，則可根據(jù)面積計(jì)算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n-1）=（用n表示，n是正整數(shù)）29.如圖，已知△ABC是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類(lèi)推，則第2013個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是．30.如圖，點(diǎn)B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以O(shè)B1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1（點(diǎn)O，B1，A1按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校Q(chēng)為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B2是△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，再以O(shè)B2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2（點(diǎn)O，B2，A2按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，稱(chēng)為第二次構(gòu)造；以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時(shí)，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是．31.如圖，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射線OA上，B1、B2、B3、…在射線OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，則A6B6的長(zhǎng)是．32.按如圖方式作正方形和等腰直角三角形．若第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)AB=1，第一個(gè)正方形與第一個(gè)等腰直角三角形的面積和為S1，第二個(gè)正方形與第二個(gè)等腰直角三角形的面積和為S2，…，則第n個(gè)正方形與第n個(gè)等腰直角三角形的面積和Sn=．33.如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連結(jié)對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACEF，使∠FAC=60°．連結(jié)AE，再以AE為邊作第三個(gè)菱形AEGH使∠HAE=60°…按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是．34.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為．35.把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，此時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處，又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°…，按上述方法經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的總路程為，經(jīng)過(guò)61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的總路程為．海豚教育個(gè)性化教案（真題演練）1.（2014?天水）如圖，一段拋物線y=－x（x－1）（0≤x≤1）記為，它與x軸交點(diǎn)為O、，頂點(diǎn)為；將繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得，交x軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為；將m2繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得m3，交x軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，…，如此進(jìn)行下去，直至得，頂點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．海豚教育1對(duì)1出門(mén)考（_______年______月______日周_____）學(xué)生姓名_____________學(xué)校_____________年級(jí)______________等第_____________