高考數(shù)學(xué)專題立體幾何初步《空間圖形的表面積》突破解析

13.3空間圖形的表面積和體積13.3.1空間圖形的表面積必備知識基礎(chǔ)練1.側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐,底面邊長為a時(shí),該三棱錐的表面積是()A.3+34a2 B.3C.3+32a2 D.6+答案A2.若圓臺的高為3,一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍,其軸截面的一個(gè)底角為45°,則這個(gè)圓臺的側(cè)面積是()A.27π B.272πC.92π D.362π答案B解析設(shè)圓臺上底半徑為r1,下底半徑為r2,母線長為l,如圖所示,2r2=2r1+6=4r1,∴r1=3,r2=6.S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l=π(6+3)×32=272π.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積之比為()A.1∶1 B.1∶2C.1∶3 D.1∶2答案C解析設(shè)正方體棱長為a,由題意知,三棱錐的各面都是正三角形,其表面積為4S△AB1D1=4×32a2=23a2.正方體的表面積為6a2,所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為23a2∶64.(2021甘肅白銀期末)魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方等)起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多,形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同,一般都是易拆難裝.如圖①,這是一種常見的魯班鎖玩具,圖②是該魯班鎖玩具的直觀圖,每條棱的長均為2,則該魯班鎖的表面積為()A.48+482+83 B.48+482+63C.48+483+62 D.48+483+62答案A解析由題圖可知,該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長為2+22的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體,且被截去的正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為2,則該幾何體的表面積為S=6×(2+22)2-4×12×2×2+8×12×2×3=8×(6+62+3)=48+5.圓錐的表面積是底面積的3倍,那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為.

答案180°解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,S底+S側(cè)=3S底,2S底=S側(cè),即2πr2=πrl,得2r=l.設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角為θ,則θπl(wèi)180°=2πr,解得θ6.已知正四棱臺兩底面邊長分別為4cm,8cm,側(cè)棱長為8cm,則它的側(cè)面積為cm2.

答案4815解析作出正四棱臺的一個(gè)側(cè)面如圖,設(shè)E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),過D作DG⊥BC于點(diǎn)G.由題知AD=4cm,BC=8cm,CD=8cm,得DE=2cm,FC=4cm,則GC=2cm,在Rt△DGC中,DG=82-22即斜高為215cm,所以所求側(cè)面積為12×(16+32)×215=4815(cm2)7.一個(gè)圓臺的母線長為12cm,兩底面積分別為4πcm2和25πcm2,則圓臺的高為cm;截得此圓臺的圓錐的母線長為cm.

答案31520解析圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD,如圖所示;由已知可得上底半徑O1A=2cm,下底半徑OB=5cm,又腰長為母線長是AB=12cm,所以高AM=122-(5設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l,則由△SAO1∽△SBO可得l-解得l=20(cm).8.如圖所示,正方體的棱長為4,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為.

答案163解析由題意知所得幾何體是八面體,且八面體是兩個(gè)底面邊長為22,高為2的四棱錐組成;設(shè)四棱錐的側(cè)棱長為l,l=22+22所以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為8×12×22×22×sin60°=1639.如圖,正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)O'且平行于底面的平面所截,得到正六棱臺和較小的棱錐.(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比;(2)若大棱錐的側(cè)棱長為12cm,小棱錐的底面邊長為4cm,求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.解(1)由題意知S小棱錐側(cè)∶S大棱錐側(cè)=1∶4,則S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)=4∶1∶3.(2)如圖所示,∵小棱錐的底面邊長為4cm,∴大棱錐的底面邊長為8cm.又PA=12cm,∴A1A=6cm.又梯形ABB1A1的高h(yuǎn)'=62-22∴S棱臺側(cè)=6×4+82×42=1442(cm2)又S上底面=6×34×42=243(cm2S下底面=6×34×82=963(cm2∴S棱臺表=S棱臺側(cè)+S上底面+S下底面=1442+243+963=(1442+1203)(cm2).關(guān)鍵能力提升練10.過某一圓錐的高的中點(diǎn)和一個(gè)三等分點(diǎn)(該三等分點(diǎn)距圓錐頂點(diǎn)比距圓錐底面圓心更近),分別作平行于該圓錐底面的平面,圓錐被分割成三個(gè)部分,則這三個(gè)部分的側(cè)面積之比為()A.2∶1∶3 B.2∶3∶6C.4∶5∶27 D.4∶9∶36答案C解析如圖,設(shè)圓錐母線長為l,令l=1,圓心角為θ,則S1=θ(13)

22,S1+S2=θ(12)

22,S1+S2+S3=θ×122,∴S1∶(S1+S2)∶(S1+S2+S3)=4∶9∶36,∴11.正三棱錐P-ABC中,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,若AB=a,則該三棱錐的表面積為()A.3+32aB.3+34C.34a2D.6+34答案B解析∵三棱錐P-ABC是正棱錐,∴PB⊥AC,∴EF⊥AC.又EF⊥CE,且CE∩AC=C,∴EF⊥平面PAC,即PB⊥平面PAC,∴∠APB=∠BPC=∠APC=90°;又AB=a,△APB是等腰直角三角形,∴PA=PB=22a,∴S△PAB=12×22a×22a=14a2;且△ABC的面積為S△ABC=34a2;∴該三棱錐的表面積為S=3S△PAB+S△ABC=34a212.(多選)以長為8cm,寬為6cm的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的一個(gè)底面面積為()A.64πcm2 B.36πcm2C.54πcm2 D.48πcm2答案AB解析分別以長為8cm,寬為6cm的邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,即可得到兩種不同大小的圓柱,其底面面積分別為64πcm2,36πcm2.13.(多選)等腰直角三角形直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的表面積可以為()A.2π B.(1+2)πC.22π D.(2+2)π答案AB解析若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周時(shí)形成圓錐,則圓錐的底面半徑為1,高為1,所以母線長l=2,這時(shí)表面積S=π×1×2+π×12=(1+2)π;若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)倒立圓錐對底組合在一起,由題意知圓錐的半徑為22,兩個(gè)圓錐的母線長均為1,所以表面積S=2×π×22×1=2π.故選14.正四棱柱的一條對角線長為9,表面積為144,適合這些條件的正四棱柱有個(gè).

答案2解析設(shè)底面邊長為a,高為h,由題意得2a2+h2=81,215.已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為2,棱AB,AD,AA'的中點(diǎn)分別為E,F,G,首先截去三棱錐A-EFG,類似地,再截去另外7個(gè)三棱錐,則余下的幾何體的表面積為.

答案12+43解析如圖,根據(jù)題意,S正方形GEMH=2×2=2,S△EFG=12×2×2×sin60°=32,而余下的幾何體的表面積等于6個(gè)正方形GEMN的面積加上8個(gè)三角形EFG的面積之和,故所求幾何體的表面積為2×6+316.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住,不將紙撕開,則所需紙的最小面積是.

答案8解析如圖①為棱長為1的正方體禮品盒,先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形,再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形,如圖②所示,由圖知正方形的邊長為22,其面積為8.17.把底面半徑為8cm的圓錐放倒在一平面上,使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動,當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí),圓錐本身滾動了2.5周,則圓錐的母線長為cm,表面積為cm2.

答案20224π解析設(shè)圓錐的母線長為l,如圖,以S為圓心,SA為半徑的圓的面積S=πl(wèi)2.又圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)=πrl=8πl(wèi).∵圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí),圓錐本身滾動了2.5周,∴πl(wèi)2=2.5×8πl(wèi),∴l(xiāng)=20cm.圓錐的表面積S=S圓錐側(cè)+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).18.圓錐的高和底面半徑相等,它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等,求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.解如圖所示,設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑分別為r,R,圓錐母線長為l,則rR=R-∴R=2r,l=2R.∴S圓柱表S圓錐表19.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2,D,E是CC1,BC的中點(diǎn),AE=DE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長;(2)求正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.解(1)設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為x,∵△ABC是正三角形,∴AE⊥BC.又底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C,且交線為BC,∴AE⊥側(cè)面BB1C1C.在Rt△AED中,由AE=DE,得1+x24=3,∴此正三棱柱側(cè)棱長為22.(2)設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1表面積為S、側(cè)面積為S側(cè)、底面積為S底,則S=S側(cè)+S底,又S側(cè)=3×2×22=122,S底=2×34×22=23,∴S=S側(cè)+S底=122+2320.在正三棱臺ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱臺一個(gè)側(cè)面梯形的面積為2033,O1,O分別為上、下底面正三角形的中心,連接A1O1,AO并延長,分別交B1C1,BC于點(diǎn)D1,D,∠D1DA=60°,解∵AB=10,∴AD=32AB=53,OD=13AD=設(shè)上底面的邊長為x(x>0),則O1D1=36x如圖所示,連接O1O,過D1作D1H⊥AD于點(diǎn)H,則四邊形OHD1O1為矩形,且OH=O1D1=36x∴DH=OD-OH=533在Rt△D1DH中,D1D=DHcos60°=25∵四邊形B1C1CB的面積為12(B1C1+BC)·D1D∴2033=12(x+10)×2即40=(x+10)(10-x),∴x=215,故上底面的邊長為215.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練21.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分別是A1B1,AC1的中點(diǎn).(1)求證:直線MN∥平面BCC1B1;(2)求四棱錐C1-ABB1A1的表面積.(1)證明如圖,取AB中點(diǎn)E,連接ME,NE,∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分別是A1B1,AC1的中點(diǎn),∴ME∥BB1,EN∥BC1,又ME?平面BCC1B1,BB1?平面BCC1B1,則ME∥平面BCC1B1,同理EN∥平面BCC1B1.∵M(jìn)E∩NE=E,BB1,BC1?平面BCC1B1,ME,EN?平面MNE,∴平面BCC1B1∥平面MNE.∵M(jìn)N?平面MNE,MN?平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B1.(2)解由直三棱柱性質(zhì)可知△A