(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題7.4《數(shù)列求和》(解析版)

專題7.4數(shù)列求和新課程考試要求1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用..核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等.考向預(yù)測1.等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合確定基本量，利用“裂項相消法”“錯位相減法”等求和.2.簡單的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和..3.往往以數(shù)列求和問題為先導(dǎo)，在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后再與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合，近幾年難度有所降低，.考查公式法求和、“裂項相消法”、“錯位相減法”較多.4.復(fù)習(xí)中注意:（1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件；（2）熟悉分組求和法、裂項相消法及錯位相減法．【知識清單】知識點一．?dāng)?shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)時，（錯位相減法）.3.數(shù)列前項和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【考點分類剖析】考點一：公式法、分組轉(zhuǎn)化法求和【典例1】（2021·全國高三其他模擬）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，________，在以下三個條件中任選一個填入以上橫線上，并求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．【答案】答案不唯一，具體見解析．【解析】選條件①時，直接利用數(shù)列遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用分組法求出數(shù)列的和；選條件②時，首先利用構(gòu)造新數(shù)列法求出數(shù)列的通項公式，進一步用公式法求出求出數(shù)列的和；選條件③時，首先利用構(gòu)造新數(shù)列法求出數(shù)列的通項公式，進一步利用分組法求出數(shù)列的和.【詳解】解：選條件①時，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0選條件②時，SKIPIF1<0；整理得：SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．選條件③時，由于SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，②，①－②得：SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．【典例2】（2019·天津高考真題（理））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項公式為，的通項公式為.(Ⅱ)(i).所以，數(shù)列的通項公式為.(ii).【總結(jié)提升】1．公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項和．(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．3．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.4．倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項和公式即是用此法推導(dǎo)的．5．并項求和法：一個數(shù)列的前項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如類型，可采用兩項合并求解．例如，.【變式探究】1.（2020屆山東省濟寧市第一中學(xué)高三二輪檢測）已知數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明：因為所以,又因為,則,所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知,所以,所以2．（2021·全國高三其他模擬（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用定義法求SKIPIF1<0為定值即可；（2）利用分組求和法求得SKIPIF1<0，即可得證.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.考點二：錯位相減法求和【典例3】（2021·陜西高三其他模擬（理））數(shù)列SKIPIF1<0前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）利用SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0變形，再利用累加法即可解出SKIPIF1<0，則可求出SKIPIF1<0的通項公式.（2）利用錯位相減，求出SKIPIF1<0即可.【詳解】（1）數(shù)列SKIPIF1<0前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①.當(dāng)SKIPIF1<0時，解得SKIPIF1<0；①式轉(zhuǎn)換為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，利用疊加法：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0（首項符合通項），故SKIPIF1<0.（2）由（1）得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①-②得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.【典例4】（2019·天津高考真題（文））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【解析】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項公式為，的通項公式為；（II），記①則②②①得，，所以.【規(guī)律方法】1.錯位相減法求和的策略(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．2．錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項和公式就是用此法推導(dǎo)的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0等比數(shù)列，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式錯位相減并整理即得.【變式探究】1.（2020屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）數(shù)列滿足：（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）令時，時，，滿足所以；（2）由，①②①②得2.（2021·新安縣第一高級中學(xué)高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）設(shè)SKIPIF1<0，證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的值，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，利用定義可證明出數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求得SKIPIF1<0，然后利用錯位相減法可求得SKIPIF1<0.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，上述兩式作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，兩式作差得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.考點三：裂項相消法求和【典例5】（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0，變形為SKIPIF1<0，利用等比數(shù)列的通項公式可得SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系即可得出答案；（2）將SKIPIF1<0裂項為SKIPIF1<0，裂項相消求和即可.【詳解】解：（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時也成立，所以SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例6】（2020·山東滕州市第一中學(xué)高三3月模擬）已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（Ⅰ）∵數(shù)列為等差數(shù)列，且，．∵成等比數(shù)列，∴，即，又∴，∴，∴.（2）證明：由（1）得，∴．∴．∴．【典例7】（2019·浙江高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】(1)由題意可得：，解得：，則數(shù)列的通項公式為.其前n項和.則成等比數(shù)列，即：，據(jù)此有：，故.(2)結(jié)合(1)中的通項公式可得：，則.【總結(jié)提升】1.裂項相消法求和的實質(zhì)和關(guān)鍵（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．2.常見“裂項”方法：【變式探究】1.（2021·四川眉山市·仁壽一中高三其他模擬（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0為等比數(shù)列（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列定義可得；（2）由裂項相消法求得SKIPIF1<0即可證明.【詳解】（1）當(dāng)n=1時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2.（2018·天津高考真題（理））（2018年天津卷理）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N?)，{b（I）求{an}（II）設(shè)數(shù)列{Sn}（i）求Tn（ii）證明k=1n【答案】(Ⅰ)an=2n?1，bn=n；(Ⅱ)（【解析】(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為可得q2?q?2=0.因為q>0，可得q=2，故設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由由a5=b從而b1=1,d=1,故所以數(shù)列{an}數(shù)列{bn（II）（i）由（I），有Sn故Tn（ii）因為(T所以k=1n【總結(jié)提升】1．裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前SKIPIF1<0項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法.適用于類似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各項不為零的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項相消法求和，2.需要掌握一些常見的裂項方法：（1）SKIPIF1<0，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2），特別地當(dāng)SKIPIF1<0時，；（3）（4）（5）專題7.4數(shù)列求和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高三其他模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若SKIPIF1<0，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】采用裂項相消法求數(shù)列的和【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選C.2．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標(biāo)全國II理科）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞【答案】B【解析】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1解得a1=3．故選：B．3．（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．4．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）【多選題】在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則下列說法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的SKIPIF1<0C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】設(shè)此人第SKIPIF1<0天走SKIPIF1<0里路，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，對于A，由于SKIPIF1<0，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正確；對于B，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以B不正確；對于C，由于SKIPIF1<0，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正確；對于D，由于SKIPIF1<0，所以D正確，故選：ACD5.（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即解得，所以．6．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）記SKIPIF1<0為遞增等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值為______.【答案】1023【解析】首先利用已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項，最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出SKIPIF1<0即可.【詳解】因為數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為等比數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：10237．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中不超過2021的所有項的和為___________.【答案】2046【解析】先根據(jù)題意列方程組，求出通項公式，再判斷不超過2021的所有項的和為前10項的和，直接利用等比數(shù)列的前n項和公式求和即可.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0中不超過2021的所有項的和為：SKIPIF1<0.故答案為：2046.8．（2021·福建高三其他模擬）記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出等比數(shù)列的公比，由SKIPIF1<0，即可求解；（2）由（1）求出SKIPIF1<0通項公式，可得數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式相減，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，依題意，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，故SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0為首項等于1，公比等于2的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0為首項等于SKIPIF1<0，公比等于SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．9．（2021·遼寧高三其他模擬）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)n，設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)出數(shù)列的公差和公比，結(jié)合條件求出公差和公比，然后寫出通項公式；（2）求出SKIPIF1<0，結(jié)合錯位相減法求和可得數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，由SKIPIF1<0，則1＋3d＝4d，可得d＝1，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得q＝2，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．10．（2021·廣東實驗中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和Sn，滿足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）記bn＝SKIPIF1<0，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，可得所求；（2）求得SKIPIF1<0，由數(shù)列的裂項相消求和，化簡即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·吉林松原市·高三月考）在數(shù)學(xué)課堂上，為提高學(xué)生探究分析問題的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：現(xiàn)有一個每項都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第SKIPIF1<0項與第SKIPIF1<0項之間插入首項為2，公比為2，的等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項，從而形成新的數(shù)列SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】根據(jù)題意求出n，然后即可求出SKIPIF1<0，再利用錯位相減法求出新數(shù)列的和.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0介于第SKIPIF1<0個1與第SKIPIF1<0個1之間或者為這兩個1當(dāng)中的一個，則從新數(shù)列的第1個1到第SKIPIF1<0個1一共有SKIPIF1<0項，從新數(shù)列的第1個1到第SKIPIF1<0個1一共有SKIPIF1<0項，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正確，B錯誤；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確，C錯誤，故選：AD.2．【多選題】（2021·河北高三其他模擬）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形SKIPIF1<0中，作它的內(nèi)接正方形SKIPIF1<0，且使得SKIPIF1<0；再作正方形SKIPIF1<0的內(nèi)接正方形SKIPIF1<0，且使得SKIPIF1<0；類似地，依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第n個正方形的邊長為SKIPIF1<0(其中第1個正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，第2個正方形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，…)，第n個直角三角形(陰影部分)的面積為SKIPIF1<0(其中第1個直角三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，第2個直角三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，…)，則（）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0【答案】BD【解析】先得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0可判斷A，再求出SKIPIF1<0，可判斷B與C，最后求出SKIPIF1<0，可判斷D.【詳解】如圖：由圖知SKIPIF1<0，對于A：SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故A不正確；對于BC：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故B正確，C不正確；對于D：因為SKIPIF1<0，故D正確，故選：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，化簡得到SKIPIF1<0，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知SKIPIF1<0，單調(diào)SKIPIF1<0，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和乘公比錯位相減法，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，正項等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足首項為1，前3項和為7.（1）求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式，可得首項和公差，可得SKIPIF1<0；設(shè)正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，q>0，由等比數(shù)列的通項公式，解方程可得q，進而得到SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，利用錯位相減法求和，即可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；設(shè)正項等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，q>0，由首項為1，前3項和為7，可得SKIPIF1<0，解得q=2，則SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）最小值為SKIPIF1<0.【解析】（1）由已知條件得到SKIPIF1<0為等比數(shù)列，即可得到SKIPIF1<0通項；（2）錯位相減求出SKIPIF1<0，根據(jù)單調(diào)性求出SKIPIF1<0最小值.【詳解】解：（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以2為公比的等比數(shù)列，記公比為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，最小值為SKIPIF1<0.6．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（理））已知SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）11.【解析】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，根據(jù)條件列出SKIPIF1<0，求得首項和公比，從而求得通項公式；（2）由（1）求得SKIPIF1<0，分奇偶求解SKIPIF1<0即可求得滿足條件的最小n值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）有SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，上式不成立；-當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0的最小值為11.7.（2021·全國高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）在數(shù)列SKIPIF1<0中，去掉第SKIPIF1<0項，第SKIPIF1<0項，…，第SKIPIF1<0項（SKIPIF1<0為正整數(shù)）得到的數(shù)列記為SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由等比數(shù)列通項公式可求得SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0三者之間的關(guān)系可整理得到當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，利用等差數(shù)列求和公式可整理求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…③，由①知：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；由③知：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由②知：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.8．（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0的值，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）解：令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0；（Ⅱ）證：由題意得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立．9．（2019·浙江高考模擬）已知數(shù)列中，，（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，當(dāng)取得最大值時，求的值.【答案】（I）見解析（2）最大，即【解析】（1）兩式相減，得∴即：∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，即也滿足上式令，則，∴最大，即10．（2020屆山東濟寧市兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬考）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前n項和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，且SKIPIF1<0，____________．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式．（2）記SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0，的前n項和SKIPIF1<0．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】方案一：選條件①（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方案二：選條件②（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方案三：選條件③SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.2．（2021·浙江高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】顯然可知，SKIPIF1<0，利用倒數(shù)法得到SKIPIF1<0，再放縮可得SKIPIF1<0，由累加法可得SKIPIF1<0，進而由SKIPIF1<0局部放縮可得SKIPIF1<0，然后利用累乘法求得SKIPIF1<0，最后根據(jù)裂項相消法即可得到SKIPIF1<0，從而得解．【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0根據(jù)累加法可得，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，由裂項求和法得：所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：A．3．（2020·全國高考真題（理））設(shè)SKIPIF1<0是公比不為1的等比數(shù)列，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等差中項．（1）求SKIPIF1<0的公比；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的等差中項，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0