數(shù)學(xué)畢業(yè)論文：極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

...分類號(hào)O211.4編號(hào)畢業(yè)論文題目極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院姓名xxx專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)號(hào)291010133研究類型xxxxxx指導(dǎo)教師xxx提交日期2013-5-10...原創(chuàng)性聲明本人X重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的科研成果。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名：年月日論文指導(dǎo)教師簽名：目錄TOC\o"1-3"\h\u16602摘要.ⅠAbstract1501Ⅰ19775引言Ⅱ260012、極限思想的發(fā)展2172402.1最早的極限思想2277152.2極限思想的早期應(yīng)用2182913、極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用376763.1在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中把握極限位置3256663.2利用函數(shù)圖像把握極限位置5279683.3極限思想在函數(shù)中的滲透6211243.4用極限思想解決立體幾何中的有關(guān)問(wèn)題89971總結(jié)920006參考文獻(xiàn)10...極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用xx〔XX師X學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，XX，XX，741000，〕摘要：極限在中學(xué)數(shù)學(xué)中有重要的地位，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要意義.本文結(jié)合當(dāng)前當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，介紹了極限的發(fā)展歷史和極限思想在函數(shù)、解析幾何、函數(shù)圖像等方面的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)比，突出了極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性，不但降低了問(wèn)題難度，而且對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生思維、提升創(chuàng)造能力也有很大幫助.關(guān)鍵字：極限思想中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)ApplicationoflimitthoughtinmathematicsteachinginhighschoolWangHui(Schoolofmathematicsandstatistics,TianshuiNormalUniversity,Gansu,Tianshui,741000,)Abstract:thelimitisanimportantcontentinthemiddleschoolmathematics,hasimportantsignificancetothemiddleschoolmathematicslearning.Accordingtothecurrentstateofthecurrentmiddleschoolmathematicsteachingpractice,introducestheapplicationofhistoricaldevelopmentandtheultimatelimitthoughtinfunction,analyticgeometry,functionimageetc,bycontrast,highlighttheimportanceoflimitthoughtinmiddleschoolmathematicsof,notonlyreducesthedifficulty,butalsoonthedevelopmentofstudents'thinking,creativeabilityalsotohavetheverybighelp.Keywords:limitthoughtinmathematicsteachinginmiddleschool極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用引言極限是近代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念。在數(shù)學(xué)中，如果某個(gè)變化的量無(wú)限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值，那么，這個(gè)定值就叫做變量的極限。極限思想是微積分的基本思想，是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念，函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以與定積分等等都是依極限來(lái)定義的。而高等數(shù)學(xué)中的極限思想與我們高中所學(xué)到的極限知識(shí)有什么聯(lián)系呢？找到其中的聯(lián)系能讓我們更快地接受和研究極限思想。極限理論是微積分理論的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中著廣泛的應(yīng)用。極限包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。當(dāng)把數(shù)列看作一自然數(shù)為自變量的函數(shù)是，數(shù)列極限也被看作函數(shù)極限。現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)極限是這樣定義的：對(duì)任意的ε＞0，總存在N〔自然數(shù)〕，使得N時(shí)，恒成立，稱數(shù)列的極限是啊，記作.總存在M>0,使得當(dāng)恒成立，則稱當(dāng)x趨于無(wú)窮，函數(shù)以A為極限.總存在M>0,使得當(dāng)時(shí)，，則稱當(dāng)X趨于函數(shù)F(x)以A為極限.記作總存在，使得當(dāng)時(shí)，有恒成立，則稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)以A為極限，記作.微積分的創(chuàng)立是世界數(shù)學(xué)史上最大的事件之一，通常認(rèn)為是牛頓和布萊尼次創(chuàng)立了微積分，但作為微積分基礎(chǔ)的極限論起源可追至我國(guó)春秋時(shí)期，它的發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，直到十九世紀(jì)才的以完善.1、極限思想的發(fā)展1.1最早的極限思想與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物.極限思想在我國(guó)很早就產(chǎn)生.早在先秦時(shí)期，許多思想家就開(kāi)始探討無(wú)窮大、無(wú)窮小以與無(wú)窮分割等問(wèn)題，戰(zhàn)國(guó)后期，諸子更是就這些問(wèn)題展開(kāi)爭(zhēng)鳴.<<秋水>>一文有云：“何以只毫末之足以定細(xì)之倪？〞<<天下篇>>記載：“至大無(wú)外，謂之大一；至小無(wú)內(nèi)，謂之小一.〞著實(shí)際上就是數(shù)學(xué)史上無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念雛形.對(duì)于無(wú)窮分割有無(wú)可能的思考，<<莊子>>提出了一個(gè)著名命題：一尺之槌，日取其半，萬(wàn)世不竭.〞這個(gè)作為無(wú)窮分割的經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學(xué)中還經(jīng)常使用，今天可抽象成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列；1，1/2，1/4……由此可見(jiàn)，這個(gè)表達(dá)不僅反映了我們祖先的極限思想，還給我們提供了一個(gè)無(wú)窮小量的實(shí)例.由此，把這種無(wú)限的思想創(chuàng)造的應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這種無(wú)限接近的思想就是后來(lái)極限概念的基礎(chǔ).1.2極限思想的早期應(yīng)用在我國(guó)，將無(wú)窮思想創(chuàng)造性的應(yīng)用到數(shù)學(xué)中，當(dāng)屬魏晉時(shí)期的X輝.他在注解<<九章算術(shù)>>是創(chuàng)立了“割圓術(shù)〞，即用圓的內(nèi)切正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積的方法.最后的到割之彌細(xì)，失之彌少的結(jié)論,有了割圓術(shù)這樣的方法，在利用勾股定理進(jìn)行嚴(yán)密推算，就得到了圓周率的估計(jì)值.在古希臘，“窮竭法〞是古希臘人研究數(shù)學(xué)的一種方法.公元三世紀(jì)，安提芬在研究“化圓為方〞問(wèn)題時(shí)，提出了使用邊數(shù)不斷增加的圓內(nèi)切正多邊形面積“竭窮〞圓面積的思想.后來(lái)歐多克斯用竭窮的思想證明了球的體積與直徑成正比的結(jié)論.之后，竭窮思想一路發(fā)展，它所包含的無(wú)窮小量的概念被牛頓所引用，成了微積分的基礎(chǔ).這個(gè)事實(shí)表明，建立極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要的，而且有著認(rèn)識(shí)論上的重大意義.極限思想的完善與微積分的嚴(yán)格化有著密切的聯(lián)系，在很長(zhǎng)一段時(shí)間，微積分理論的基礎(chǔ)問(wèn)題，許多人都曾試圖解決，但未能如愿以償.直到后來(lái)捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾提出了有思想價(jià)值的理論，但關(guān)于極限本質(zhì)問(wèn)題也未能說(shuō)清.到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整的闡述了極限概念，他在《分析教程》中指出：當(dāng)一個(gè)量逐次所取的無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)值就叫做其他值得極限值.此時(shí)，柯西澄清了似零非零的模糊認(rèn)識(shí)，這就是說(shuō)，在變化過(guò)程中，它的值可以是零，可以無(wú)限趨近與零但它的變化趨向是“零〞.至此，人們對(duì)極限有了較為清晰的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)上的一件具有里程碑意義的大事也隨之產(chǎn)生,之后迎來(lái)了數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的新時(shí)期.2、極限思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極限思想是研究變量在無(wú)限變化中的趨勢(shì)的思想，使用無(wú)限逼近的方式，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，用不變認(rèn)識(shí)變，用近似認(rèn)識(shí)精確的辯證思想.極限思想是高考的核心，對(duì)于某些問(wèn)題，如能靈活應(yīng)用極限思想，不僅能降低問(wèn)題難度，優(yōu)化解題過(guò)程，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維有極大幫助.極限思想作為一種重要的解題思想，在解題中經(jīng)常遇到，下面我們結(jié)合實(shí)例談?wù)劺脴O限思想解題的幾種方法.2.1在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中把握極限位置例1已知三棱錐的的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，兩條側(cè)面棱為，試求第三條側(cè)棱的取值X圍.分析：固定底面正三角形，讓兩腰的長(zhǎng)均為的側(cè)面等腰三角形繞著其底邊旋轉(zhuǎn)，當(dāng)該等腰三角形與底面共面時(shí)有兩種情況，這就是第三條側(cè)棱的兩個(gè)極限位置.底面正三角形和側(cè)面等腰三角形的高分別為，則第三條棱的最小趨于-=，最大趨于+=3故此題的答案為〔，3〕.例2銳角三角形ABC的邊長(zhǎng)BC=1，AC=2，求AB的取值X圍分析：本題如果考慮使用正弦定理勢(shì)必將比較繁瑣，但如果依據(jù)已知條件構(gòu)造銳角三角形，讓AC固定，BC=1，B點(diǎn)在以C為圓心、半徑為1的圓周上運(yùn)動(dòng)，于是得到如圖所示的兩個(gè)極限位置.經(jīng)計(jì)算知AB分別為、，故所求為〔，〕.例3已知，則有〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕分析：當(dāng)時(shí)，由題意，此時(shí)，log故可排除〔A〕、〔B〕，當(dāng)，由題意，此時(shí)，又，則，故排除〔C〕，選〔D〕.點(diǎn)撥：以上兩例都是適當(dāng)借助極限思想，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行的定性分析，這肯定比定量運(yùn)算尋找答案要簡(jiǎn)單的多.2.2利用函數(shù)圖像把握極限位置函數(shù)圖像式函數(shù)性質(zhì)的一種直觀反映，有些問(wèn)題涉與到時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，可以通過(guò)圖像的變化趨勢(shì)進(jìn)行合理推算得到答案.例3已知函數(shù),若，則a,b各為多少.分析:函數(shù)的自變量在無(wú)限變化過(guò)程中，其函數(shù)值無(wú)限趨近一個(gè)常數(shù)而這個(gè)無(wú)限的趨勢(shì)就通過(guò)一個(gè)有限來(lái)刻畫.反過(guò)來(lái)，當(dāng)Y變化時(shí)，其自變量就趨近某個(gè)常數(shù)，以上這些性質(zhì)都可以在函數(shù)圖像上反映出來(lái)，如圖，函數(shù)的圖像是兩條雙曲線，漸進(jìn)線為，由圖易知a=2,b=-1.例4給出下列圖像，其中可能為函數(shù)T圖像的是〔〕分析：按常規(guī)的解題方法，我們會(huì)想到求函數(shù)倒數(shù)，但接下來(lái)仍需不知如何處理，其實(shí)，這道題若從極限的角度考慮，問(wèn)題會(huì)很簡(jiǎn)單.當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)圖像時(shí)上升的，排除第四個(gè)答案，在令不是恒成立的排除第二個(gè)答案，故選一和二.點(diǎn)撥：適當(dāng)?shù)慕柚瘮?shù)圖像能把抽象的數(shù)學(xué)性質(zhì)直觀化，具體化.在解答過(guò)程中，涉與到考慮對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并由此判斷函數(shù)或函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，此時(shí)極限對(duì)整體認(rèn)識(shí)問(wèn)題起著重要的作用.2.3極限思想在函數(shù)中的滲透例5設(shè)，定義,求.分析：函數(shù)極限所具有的性質(zhì)與數(shù)列極限極為相似.與數(shù)列極限一樣，可以用其精確定義證明函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則與一些常用結(jié)論.中學(xué)的函數(shù)中有提到過(guò)無(wú)窮大量，無(wú)窮小量以與它們之間的運(yùn)算關(guān)系型.即.但是在計(jì)算的時(shí)候，中學(xué)用的方法仍然只是運(yùn)用簡(jiǎn)單的函數(shù)極限四則運(yùn)算法則.其解答過(guò)程不免顯得繁瑣而又復(fù)雜.我們數(shù)學(xué)分析里引進(jìn)了等價(jià)無(wú)窮小量代換與洛必達(dá)法則等重要解題方法，這使某些問(wèn)題的解決顯得更簡(jiǎn)便快捷.由于，故可取,于是有，，，因此有==.由于，,所以.例6計(jì)算下列極限.〔1〕、；〔2〕、分析：此題形式抽象，對(duì)于剛剛接觸極限的高中生來(lái)說(shuō)難度較大，如果我們?cè)诮虒W(xué)中適當(dāng)滲透羅洛比達(dá)有關(guān)法則，在這里將會(huì)有很大便利性.利用公式計(jì)算,因?yàn)榍覕?shù)列嚴(yán)格遞增無(wú)上界.由歸結(jié)原則，=0.〔2〕、另一方面，當(dāng)時(shí)有,取，由歸結(jié)原則，有；；由迫斂性推得：=.點(diǎn)撥:函數(shù)極限所具有的性質(zhì)與數(shù)列極限極為相似.與數(shù)列極限一樣，可以用其精確定義證明函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則與一些常用結(jié)論.=1\*GB3①=2\*GB3②運(yùn)用這兩個(gè)結(jié)論，可以解決高中難以解答的問(wèn)題.2.4用極限思想解決立體幾何中的有關(guān)問(wèn)題在一些復(fù)雜立體幾何的問(wèn)題中，我們只要巧妙的利用無(wú)限逼近的思想，就可以將原本復(fù)雜難懂的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.像這樣的問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中很常見(jiàn)，比如像下面這道例題.例7正三棱錐相鄰兩側(cè)面所成的角為，則的取值X圍是()分析:如圖所示，正三棱錐中，是正三棱錐的高，當(dāng)時(shí)，無(wú)限靠近于，此時(shí)相鄰兩個(gè)側(cè)面的夾角趨近于.當(dāng)時(shí)，正三棱錐無(wú)限接近一個(gè)底面為正三角形的三棱柱，這時(shí)兩側(cè)面的夾角越來(lái)越小，趨近于.所以的取值X圍為，故本題選.點(diǎn)撥：從這個(gè)例題可以感受到，極限思想不僅是一種解決問(wèn)題的方法，同時(shí)它也是一種思維方式.我們可以從極限或極端狀態(tài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中得到啟發(fā)，從而得到數(shù)學(xué)關(guān)系的猜想，有時(shí)也會(huì)通過(guò)這種啟發(fā)找到問(wèn)題的解決方法.總結(jié)極限思想是一種基本而又重要的數(shù)學(xué)思想，在中學(xué)階段，重視直觀運(yùn)動(dòng)和相對(duì)變化，反映出量變到質(zhì)變的變化過(guò)程.本文結(jié)合具體的例題討論了極限思想在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用，以與通過(guò)較為詳細(xì)的分析和點(diǎn)撥，突出了極限思想在中學(xué)中的重要性.通過(guò)極限的應(yīng)用，不但加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí).當(dāng)然，本文也有一些缺點(diǎn)，有個(gè)別地方的論述超出了中學(xué)知識(shí)的X圍，鎖具例題相