高中數(shù)學(xué)競賽教案講義(17)整數(shù)問題

高中數(shù)學(xué)競賽教案講義(17)整數(shù)問題高中數(shù)學(xué)競賽教案講義(17)整數(shù)問題高中數(shù)學(xué)競賽教案講義(17)整數(shù)問題V:1.0精細(xì)整理，僅供參考高中數(shù)學(xué)競賽教案講義(17)整數(shù)問題日期：20xx年X月第十七章整數(shù)問題一、常用定義定理1．整除：設(shè)a,b∈Z,a≠0，如果存在q∈Z使得b=aq，那么稱b可被a整除，記作a|b，且稱b是a的倍數(shù),a是b的約數(shù)。b不能被a整除，記作ab.2帶余數(shù)除法：設(shè)a,b是兩個給定的整數(shù)，a≠0，那么，一定存在唯一一對整數(shù)q與r，滿足b=aq+r,0≤r<|a|，當(dāng)r=0時a|b。3．輾轉(zhuǎn)相除法：設(shè)u0,u1是給定的兩個整數(shù)，u1≠0，u1u0,由2可得下面k+1個等式：u0=q0u1+u2,0<u2<|u1|；u1=q1u2+u3,0<u3<u2；u2=q2u3+u4,0<u4<u3；…uk-2=qk-2u1+uk-1+uk,0<uk<uk-1；uk-1=qk-1uk+1,0<uk+1<uk；uk=qkuk+14．由3可得：（1）uk+1=(u0,u1)；（2）d|u0且d|u1的充要條件是d|uk+1；（3）存在整數(shù)x0,x1，使uk+1=x0u0+x1u1.5．算術(shù)基本定理：若n>1且n為整數(shù)，則，其中pj(j=1,2,…,k)是質(zhì)數(shù)（或稱素數(shù)），且在不計次序的意義下，表示是唯一的。6．同余：設(shè)m≠0,若m|(a-b)，即a-b=km，則稱a與b模同m同余，記為a≡b(modm)，也稱b是a對模m的剩余。7．完全剩余系：一組數(shù)y1,y2,…,ys滿足：對任意整數(shù)a有且僅有一個yj是a對模m的剩余，即a≡yj(modm)，則y1,y2,…,ys稱為模m的完全剩余系。8．Fermat小定理：若p為素數(shù)，p>a,(a,p)=1，則ap-1≡1(modp)，且對任意整數(shù)a,有ap≡a(modp).9．若(a,m)=1，則≡1(modm),(m)稱歐拉函數(shù)。10．（歐拉函數(shù)值的計算公式）若，則(m)=11．（孫子定理）設(shè)m1,m2,…,mk是k個兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余組：x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),…,x≡bk(modmk)有唯一解，x≡M1b1+M2b2+…+Mkbk(modM)，其中M=m1m2mk；=，i=1,2,…,k；≡1(modmi),i=1,2,…,k.二、方法與例題1．奇偶分析法。例1有n個整數(shù)，它們的和為0，乘積為n，（n>1），求證：4|n。2．不等分析法。例2試求所有的正整數(shù)n，使方程x3+y3+z3=nx2y2z2有正整數(shù)解。3．無窮遞降法。例3確定并證明方程a2+b2+c2=a2b2的所有整數(shù)解。4．特殊模法。例4證明：存在無窮多個正整數(shù)，它們不能表示成少于10個奇數(shù)的平方和。5．最小數(shù)原理。例5證明：方程x4+y4=z2沒有正整數(shù)解。6．整除的應(yīng)用。例6求出所有的有序正整數(shù)數(shù)對(m,n)，使得是整數(shù)。7．進(jìn)位制的作用例7能否選擇1983個不同的正整數(shù)都不大于105，且其中沒有3個正整數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)項？證明你的結(jié)論。

三、習(xí)題精選1．試求所有正整數(shù)對(a,b)，使得(ab-a2+b+1)|(ab+1).2．設(shè)a,b,c∈N+，且a2+b2-abc是不超過c+1的一個正整數(shù)，求證：a2+b2-abc是一個完全平方數(shù)。3．確定所有的正整數(shù)數(shù)對(x,y)，使得x≤y，且x2+1是y的倍數(shù)，y2+1是x的倍數(shù)。4．求所有的正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)m,(2n-1)|(m2+9).5．求證：存在一個具有如下性質(zhì)的正整數(shù)的集合A，對于任何由無限多個素數(shù)組成的集合，存在k≥2及正整數(shù)m∈A和nA，使得m和n均為S中k個不同元素的乘積。6．求最小的正整數(shù)n(≥4)，滿足從任意n個不同的整數(shù)中能選出四個不同的數(shù)a,b,c,d使20|(a+b-c-d).7.對于正整數(shù)a,n,定義Fn(a)=q+r，其中q,r為非負(fù)整數(shù)，a=qn+r且0≤r≤n，求最大正整數(shù)A，使得存在正整數(shù)n1,n2,…,n6，對任意正整數(shù)a≤A，都有=1，并證明你的結(jié)論。8．設(shè)x是一個n位數(shù)，問：是否總存在非負(fù)整數(shù)y≤9和z使