【北師大版】數(shù)學(xué)必修五(全書)課件(含本書所有課時)精美立體

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(1)一個工廠把所生產(chǎn)的鋼管堆成下圖的形狀.

從最上面的排起，各排鋼管的數(shù)量依次是3，4，5，6，7，8，93.(2)GDP為國內(nèi)生產(chǎn)總值.分析各年GDP數(shù)據(jù)，找出增長規(guī)律，是國家制定國民經(jīng)濟發(fā)展計劃的重要依據(jù).根據(jù)中華人民共和國2002年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，我國這(1998～2002)五年的GDP值(億元)依次排列如下：78345，

82067，89442，95933，102398.實例分析4.(3)“人口問題”是我國最大的社會問題之一，對人口數(shù)量的估計和發(fā)展趨勢的預(yù)測是我們制定一系列相關(guān)政策的基礎(chǔ)，歷次全國人口普查公報數(shù)據(jù)資料見表，五次普查人口數(shù)量(百萬)依次排列為：601.93，723.07，1031.88，1160.02，

1295.33年份19531964198219902000人口數(shù)/百萬601.93723.071031.881160.021295.33實例分析5.(4)正弦函數(shù)的圖像在y軸左側(cè)所有最低點從右向左，它們的橫坐標(biāo)依次排成一列數(shù)實例分析6.(5)正奇數(shù)1，3，5，7，…的倒數(shù)排成一列數(shù)(6)某人2006年1～12月工資，按月順序排列為1100，1100，1100，…，1100實例分析7.有一種痛叫做，我本可以，卻沒能堅持。

雄心勃勃定下的目標(biāo)，只要一星半點的理由就可以化為泡影。

實際上，恒心也是一種修為，是可以通過對自己的認(rèn)識和了解去挖掘培養(yǎng)的。

1

你的恒心，與你的意愿有關(guān)

很多時候，不能堅持并不是因為我們不能吃苦，只是因為我們做某件事情的意愿不強。

我的體力和耐力都不好，長跑常常是忍著頭痛惡心硬撐到最后。

因為這個原因，每次跑步前我都有很大的心理壓力。加上那些立下的瘦身目標(biāo)常常不能三兩天見效，所以每一次都是心血來潮地開始，虎頭蛇尾地結(jié)束。

可最近這一年，我卻很積極地把晨跑堅持了下來。

并不是突然間變堅強，而是因為一個特別不起眼的理由：能夠一個人呆一會兒。

自從榮升為兩個孩子的媽媽后，我經(jīng)常忙亂到連上廁所都覺得是一種奢侈。

一大早，把沒起床的孩子交給家人，換上運動鞋，在空曠的街道上吹吹涼風(fēng)，吸吸那尚未被污染的空氣，戴上耳機，聽幾首喜歡的歌……

盡管只有短短的半個小時，但這一切都讓我足夠迷戀。

雖然我仍然會在跑出四五百米之后心跳加快，頭疼，手臂和腿都酸困地抬不起來?？蓪ξ襾碚f，只要能出去，其他都不是什么大事。

原先看起來無法克服的困難，現(xiàn)在只要稍稍放慢腳步，調(diào)整呼吸，不一會兒便能緩解了。

堅持就是痛苦和心理需求博弈的過程。如果痛苦更明顯，堅持就會變得艱難；如果心理需求更勝，堅持就只是自我成全的必經(jīng)之路而已。

心之所向，行之所至。

只要從心底里非常想做某件事，就一定會調(diào)動身體里的所有潛能，積極配合。

2

你的恒心，與你的節(jié)奏有關(guān)

當(dāng)我們立下FLAG的時候，可能一開始都會忍不住下狠勁兒。

之前一步都不想跑，決定健身了，就2公里開跑，沖刺5公里。

之前一頁書也不想看，決定勤奮了，就焚膏油以繼晷，好像不熬夜都不好意思說自己看書。

之前從沒拉過筋，決定瑜伽了，就恨不得立刻把那支僵硬了幾十年的老腿想掰哪兒就掰哪兒。

這種激情維持不了多久，很快就會被打回原形。

堅持從來就不是持續(xù)消耗，所以太用力的人一般都跑不遠(yuǎn)。

作家村上春樹的生活里有兩件非常重要的事情：寫作和跑步。

他全職寫作沒多久，發(fā)現(xiàn)身體變差，便開始跑步。

在普通人眼中，職業(yè)小說家應(yīng)該是不舍晝夜地伏案工作，資深跑者的鍛煉強度更難以想象?？纱迳洗簶涞纳顓s有張有弛，十分規(guī)律。每天早起后的三四個小時集中精力寫作，午休后跑步，日暮時讀書、聽音樂。

在與寫作和跑步相伴的幾十年里，他既勤勉耐勞、不惜體力，又謹(jǐn)小慎微地呵護自己的熱情，既怕惰性來襲，又怕用力過猛。

他說：要讓慣性的輪子以一定的速度準(zhǔn)確無誤地旋轉(zhuǎn)到最后。

堅持，從長遠(yuǎn)看，要循序漸進，就每一天來說，要量力而為。

既要摸清自己的節(jié)奏，也要管住自己按這樣的節(jié)奏堅持下去。不盲從，也不隨性，不蠻干，也不懶散。

只有不亂節(jié)奏，才能持之以恒。

3

你的恒心，與你的心態(tài)有關(guān)

堅持不下去的另一個原因，恐怕是因為我們想太多。

健身兩周，就希望身材賽過誰；看了兩本書，就期待生活有什么不同；勤奮兩個月，就算計著什么時候能夠功成名就……

人心都是肉長的，若是在它上面加了太多的砝碼，它就會不堪重負(fù)。

欲望太多，就不容易看到希望。

村上春樹的第一部作品《且聽風(fēng)吟》和第二部作品《1973年的彈子球》問世后，雖然讓他有了一定的知名度，但都沒有獲得日本文學(xué)大獎。

對此他十分淡然，覺得能寫出讓自己滿意的作品才更加重要。

他后來在回憶這段經(jīng)歷時說，那時他還在經(jīng)營餐廳，甚至覺得沒得獎也挺好，至少不會沒完沒了的接待采訪和約稿，影響了生意。

聽起來像玩笑，但實際上，無論寫書，還是跑步，他只是為了迎合自己，達(dá)到為自己設(shè)定的目標(biāo)就好。

無欲則剛。

正是這種盡己所能、順其自然的心態(tài)，才讓他更長久地投身于自己所熱愛的事情上。

自我消耗從來就不是正確的堅持方式，苦痛也不是恒心的代名詞。

堅持不下去的時候，不如停下來審視一下自己，將自己內(nèi)心的能量挖掘出來，找準(zhǔn)自己的節(jié)奏，讓自己心態(tài)更平和一些，而不是一味地逼自己死撐。

任何目標(biāo)與堅持都是生命長河里微不足道的一段，即使某一段堅持并沒有當(dāng)下立見的好結(jié)果，但正確的堅持習(xí)慣卻會讓我們越來越有力量，對每一次新的挑戰(zhàn)都從容篤定。

只有真正堅持過，你才可以坦然地說一句“盡人事，聽天命”。

不留遺憾，不負(fù)此生。

內(nèi)容涵蓋小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段所有德育活動的主題班會8.一般地，按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫作這個數(shù)列的項.首項通項引入新知9.

3，4，5，6，7，8，978345，82067，89442，95933，102398.601.93，723.07，1031.88，1160.02，1295.331100，1100，1100，…，1100有窮數(shù)列無窮數(shù)列引入新知10.序號

1，2，3，4，…，n，…上面數(shù)列(5)中，每一項的序號n與這一項an有下列對應(yīng)關(guān)系：項

1，對應(yīng)關(guān)系：引入新知11.抽象概括實際上，對任意數(shù)列{an}，其每一項的序號與該項都有對應(yīng)關(guān)系，見下表序號1234…n…項a1a2a3a4…an…數(shù)列的實質(zhì)：定義域為正整數(shù)集（或其有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值.1，2，…,n12.通項公式:an

與n

之間的函數(shù)關(guān)系式通項公式即相應(yīng)的函數(shù)解析式an=f(n).抽象概括數(shù)列的實質(zhì)：從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值,即

f(1),f(2),f(3),…f(n)…,通常用an代替f(n).13.例1、根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，寫出它的前5項.

解：將1，2，3，4，5分別代入各通項公式，可得前5項；問題：是否為數(shù)列中的項，怎么判別？例題講解14.例2寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù)：⑴1，3，5，7；⑵⑶⑷7，6，5，4，3，2，1.

解:⑴⑵⑶⑷例題講解15.小結(jié)與復(fù)習(xí)一般地，按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫作這個數(shù)列的項.16.獨立作業(yè)課本練習(xí)1-6題17.1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性18.

新中國成立后，我國1952～1994年間部分年份進出口貿(mào)易總額(億美元)數(shù)據(jù)排成一組數(shù)列

19.4，31.0，42.5，45.9，147.5，381.4，696.0，1154.4，2367.3

此數(shù)據(jù)也可以用圖直觀表示(如下圖)實例分析19.

我們可以把一個數(shù)列用圖像來表示下左圖是數(shù)列3，4，5，6，7，8，9的圖像；下右圖是數(shù)列1100，1100，…，1100的圖像.遞增數(shù)列常數(shù)列實例分析20.一般地，一個數(shù)列{an}，如果從第2項起，每一項都大于它前面的一項，即an+1>an,那么這個數(shù)列叫作遞增數(shù)列.如果從第2項起，每一項都小于它前面的一項，即an+1<an,那么這個數(shù)列叫作遞減數(shù)列.如果數(shù)列{an}的各項都相等，那么這個數(shù)列叫作常數(shù)列.抽象概括21.例1

判斷下列無窮數(shù)列的增減性.(1)2，1，0，－1，…，3－n,…例題解析22.例2作出數(shù)列的圖像，并分析數(shù)列的增減性.解：右圖是這個數(shù)列的圖像，數(shù)列各項的值負(fù)正相間，表示數(shù)列的各點相對于數(shù)軸上下擺動，它既不是遞增的，也不是遞減的.例題解析23.課后練習(xí)課本第8頁練習(xí)24.課堂小結(jié)遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列舉例說明以下數(shù)列:25.獨立作業(yè)課本第8頁習(xí)題1－126.1.2.1等差數(shù)列(1)27.考察下列兩個數(shù)列的共同特征.(1)一個劇場設(shè)置了20排座位，這個劇場從第1排起各排的座位數(shù)組成數(shù)列：

38，40，42，44，46…這個劇場座位安排有何規(guī)律？(2)全國統(tǒng)一鞋號中，成年女鞋的各種尺碼(表示以cm為單位的鞋底長度)由大至小可排列為這種尺碼的排列有何規(guī)律？問題提出28.這三個數(shù)列有何共同特征從第2項起，每一項與其前一項之差等于同一個常數(shù).請嘗試著給具有上述特征的特殊數(shù)列用數(shù)學(xué)的語言下定義問題提出29.如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與其前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.定義中的關(guān)鍵詞：從第2項起等于同一個常數(shù)每一項與其前一項的差抽象概括30.例1

判斷下面數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)an=2n-1(2)an=(-1)n例題講解解:（1）由通項知，該數(shù)列為：1，3，5，7，…由an=2n-1,，知an=2(n+1)-1,于是an+1-an=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2.由n的任意性知，這個數(shù)列是等差數(shù)列.31.例2

已知等差數(shù)列{an}，a1=1，d=，求通項an.例題講解解根據(jù)定義，我們知道，這個數(shù)列開頭幾項應(yīng)該是:因此，我們就可以歸納出一個規(guī)律：第n項等于第一項加上公差的(n-1)倍(n≥2)，即當(dāng)n=1時，有a1=1+(1-1),所以，這個公式對n=1也成立.32.a2=a1+d由此得到an=a1+(n-1)dan-a1=(n-1)dan-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2da2-a1=d如果等差數(shù)列｛an｝的首項是a1，公差是d，那么根據(jù)等差數(shù)列的定義得到：等差數(shù)列的通項公式33.解：1）由題意得，a1=8,d=-3

2）由題意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d所以n=100，故-401是這個數(shù)列的第100項.所以a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49-401=-5+(n-1)×(-4)例題解析例31）等差數(shù)列8，5，2,······的第20項是幾？2）-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13······的項？如果是，是第幾項？34.解：由題意，a5=a1+4d

a12=a1+11d解之得a1=-2d=3若讓求a7，怎樣求？即10=a1+4d31=a1+11d例題解析

例4在等差數(shù)列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.35.練習(xí)課本練習(xí)136.1.2.1等差數(shù)列(2)37.

下面我們從函數(shù)的角度研究等差數(shù)列{an}

由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔點，這些點的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d>0時，{an}為遞增數(shù)列當(dāng)d<0時，{an}為遞減數(shù)列當(dāng)d=0時，{an}為常數(shù)列想一想38.當(dāng)d>0時，{an}為遞增數(shù)列當(dāng)d<0時，{an}為遞減數(shù)列當(dāng)d=0時，{an}為常數(shù)列On1ana1+(n-1)dOn1ana1+(n-1)dOn1ana1想一想39.例1

已知(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列{an}圖像上的兩點.（1）求這個數(shù)列的通項公式；（2）畫出這個數(shù)列的圖像；（3）判斷這個數(shù)列的單調(diào)性.解（1）由于(1,1)，(3,5)是等差數(shù)列{an}圖像上的兩點.所以

a1=1,a3=5由a3=a1＋2d=1+2d=5解得d=2于是an=2n-1例題解析40.Onan（2）圖像是直線y=2x-1上一些等間隔的點，如圖（3）因為一次函數(shù)y=2x-1是增函數(shù)，所以數(shù)列{an}是遞增函數(shù).例題解析41.如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫作

a與b的等差中項.由等差中項的定義可知，a,A,b

滿足關(guān)系：意義：任意兩個數(shù)都有等差中項，并且這個等差中項是唯一的.當(dāng)a=b

時，A=a=b.等差中項42.例2

一個木制梯形架的上下兩底邊分別為33cm，75cm，把梯形的兩腰各6等分，用平行木條連接各對應(yīng)分點，構(gòu)成梯形架的各級.試計算梯形架中間各級的寬度.例題解析43.解記梯形架自上而下各級寬度所構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則由梯形中位線的性質(zhì)，易知每相鄰三項均成等差數(shù)列，從而{an}成等差數(shù)列.依題意有a1=33cm，a7=75cm現(xiàn)要求a2，a3，……，a6，即中間5層的寬度.例題解析44.練習(xí)課本練習(xí)245.課堂小結(jié)如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫作

a與b的等差中項.由等差中項的定義可知，a,A,b

滿足關(guān)系：46.1.2.2等差數(shù)列的前n項和47.1.等差數(shù)列的定義：2.通項公式：復(fù)習(xí)回顧48.問題提出

如右圖有200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓木料盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料？

根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根，故其構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，…

設(shè)共擺放了n層，能構(gòu)成三角形垛的圓木料數(shù)為Sn，則

Sn=1+2+3+······+n

這是一個等差數(shù)列的求和問題.如何計算該等差數(shù)列的和呢？49.

高斯出生于一個工匠家庭，幼時家境貧困，但聰敏異常.上小學(xué)四年級時，一次老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：“把從1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？”年僅10歲的小高斯略一思索就得到答案5050，這使老師非常吃驚.那么高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？

高斯（1777～1855），德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家.他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家.有“數(shù)學(xué)王子”之稱.

高斯“神速求和”的故事:50.首項與末項的和：1＋100＝101，第2項與倒數(shù)第2項的和：2＋99=101，第3項與倒數(shù)第3項的和：3＋98＝101，

···第50項與倒數(shù)第50項的和：50＋51＝101，于是所求的和是：求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么計算的嗎？高斯算法：高斯算法用到了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？51.

如圖，是一堆鋼管，自上而下每層鋼管數(shù)為4、5、6、7、8、9、10，求鋼管總數(shù).即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.還有其它算法嗎？52.S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：倒序相加法兩種求和法：高斯算法倒序相加法53.怎樣求一般等差數(shù)列的前n項和呢？抽象概括54.55.56.等差數(shù)列的前n項和公式公式1公式257.公式記憶——類比梯形面積公式記憶58.例題解析例1

求前n個正奇數(shù)的和.解由等差數(shù)列前n項和公式，得59.例2

在數(shù)列{an}中，an=2n+3,求這個數(shù)列自第100項到第200項之和S的值.解由于所以，數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，此數(shù)列自第100項到第200項仍是等差數(shù)列.共有101項，所求和為例題解析60.例3

在新城大道一側(cè)A處，運來20棵新樹苗.一名工人從A處起沿大道一側(cè)路邊每隔10m栽一棵樹苗.這名工人一次只能運一棵，要栽完這20棵樹苗，并返回A處，植樹工人共走了多少路程？例題解析61.1.一個等差數(shù)列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項公式.解：課內(nèi)練習(xí)62.解:課內(nèi)練習(xí)63.1.用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式;課堂小結(jié)64.3.應(yīng)用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首項、末項用公式Ⅰ；已知首項、公差用公式Ⅱ.②應(yīng)用求和公式時一定弄清項數(shù)n.③當(dāng)已知條件不足以求出a1和d時，要認(rèn)真觀察，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)，看能否用整體思想求a1+an的值.課堂小結(jié)65.1.3.1等比數(shù)列(1)66.

下列問題中的數(shù)列有什么共同特征？問題提出

你吃過拉面嗎？拉面館的師傅將一根很粗的面條，拉伸，捏合，再拉伸，再捏合，如此反復(fù)幾次，就拉成了許多根細(xì)面條.

這樣捏合8次后可拉出多少根細(xì)面條？第1次是1根,后面每次捏合都將1根變?yōu)?根,故有:第2次捏合成2×1＝2根第3次捏合成2×2＝22根……第8次捏合成2×26＝27＝128根67.問題提出

前8次捏合成的面條根數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列1，2，4，8，16，32，64，128

這個數(shù)列，從第二項起，每一項與前一項的比都是2.68.一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)（指與n無關(guān)的數(shù)），這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.上述數(shù)列的公比為2.抽象概括69.例題講解

例1

以下數(shù)列中，哪些是等比數(shù)列？（1）（2）1，1，1，…，1（3）1，2，4，8，12，16，20（4）a，a2，a3，…,an70.等比數(shù)列的通項公式是等比數(shù)列，它的公比是q，那么如果一個數(shù)列…，…，由此可知等比數(shù)列的通項公式為當(dāng)q=1時，這是一個常函數(shù)71.

例2

一個等比數(shù)列的首項是2，第2項與第3項的和是12.求它的第8項的值.例題解析

解設(shè)這個等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，則由已知，得（1）（2）由（1）式代入（2）式，得解得故數(shù)列的第8項是－4374或256.72.1.求下列等比數(shù)列的第4，5項：（2）1.2，2.4，4.8，…（1）5，-15，45，…課堂練習(xí)73.2.已知等比數(shù)列：（2）公比q能不能是零？（1）首項能不能是零？不能?。?！不能?。?！課堂練習(xí)74.一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)（指與n無關(guān)的數(shù)），這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.課堂小結(jié)75.1.3.1等比數(shù)列(2)76.一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)（指與n無關(guān)的數(shù)），這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示.復(fù)習(xí)回顧77.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分析等比數(shù)列an=a1qn-1(q>0)的單調(diào)性，填寫下表思考交流a1a1>0a1<0q的范圍0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1{an}的單調(diào)性78.

例1

在各項為負(fù)數(shù)的數(shù)列{an}中，已知2an=3an+1,且（1）求證：{an}是等比數(shù)列，并求出通項公式；（2）試問是這個等比數(shù)列中的項嗎？如果是，指明是第幾項；如果不是，請說明理由.例題解析79.

例2

培育水稻新品種，如果第1代得到120粒種子，并且從第1代起，以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這種新品種的種子多少粒（保留兩個有效數(shù)字）？解：由于每代的種子數(shù)是它的前一代種子數(shù)的120倍，因此，逐代的種子數(shù)組成等比數(shù)列，記為

答：到第5代大約可以得到這種新品種的種子粒.

例題解析80.

例3

一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.

用表示題中公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有解得因此，答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是.8316與解：例題解析81.

例4

某種電訊產(chǎn)品自投放市場以來，經(jīng)過三次降價，單價由原來的174元降到58元.這種電訊產(chǎn)品平均每次降價的百分率大約是多少（精確到1%）？解：

將原單價與三次降價后的單價依次排列，就組成一個依(1-x)為的公比等比數(shù)列，

設(shè)平均每次降價的百分率是x，那么每次降價后的單價應(yīng)是降價前的(1-x)倍.若原價格為a，則降價x后的價格a-ax=a(1-x)例題解析82.由已知條件，有因此，答：上述電訊產(chǎn)品平均每次降價的百分率大約是31%.83.等比中項

觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后者三個數(shù)就會成為一個等比數(shù)列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項.84.求下列各組數(shù)的等比中項（1）－45和－80課內(nèi)練習(xí)85.課堂小結(jié)如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫作a與b的等比中項.86.1.3.2求數(shù)列的通項87.類型一觀察法：已知前幾項，寫通項公式88.類型二前n項和法已知前n項和，求通項公式設(shè)﹛an﹜的前n項和為Sn,且滿足sn=n2+2n-1,求﹛an﹜的通項公式.例289.90.例3

在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n(n≥2),求通項an.練：類型三累加法形如的遞推式91.類型四累乘法形如的遞推式例4

練：92.例5

類型五形如的遞推式分析：配湊法構(gòu)造輔助數(shù)列93.類型六形如的遞推式例6

取倒法構(gòu)造輔助數(shù)列94.類型七相除法形如的遞推式例7

95.類型八形如的遞推式例8

96.求數(shù)列的通項公式類型方法1.已知前幾項觀察法2.已知前n項和Sn前n項和法3.形如的遞推式累加法4.形如的遞推式累乘法5.形如的遞推式待定系數(shù)法6.形如的遞推式取倒法7.形如的遞推式相除法課堂小結(jié)97.1：課內(nèi)練習(xí)98.2：課內(nèi)練習(xí)99.4.課內(nèi)練習(xí)100.1.3.2等比數(shù)列的前n項和101.1.等比數(shù)列的定義：2.通項公式：3.數(shù)列中通項與前n項和的關(guān)系：復(fù)習(xí)回顧102.問題情景

一天，小林和小明做“貸款”游戲，它們簽訂了一份合同.從簽訂合同之日起，在整整一個月(30天)中，小明第一天貸給小林1萬，第二天貸給小林2萬……以后每天比前一天多貸給小林1萬元.而小林按這樣的方式還貸：小林第一天只需還1分錢，第二天還2分錢，第3天還4分錢……以后每天還的前數(shù)是前一天的兩倍.

合同開始生效了，第一天小林支出1分錢，收入1萬元；第2天小林支出2分錢，收入2萬元；第3天支出4分錢，收入3萬元……到了第10天，他共得到55萬元，付出的總數(shù)只有10元2角3分.103.問題情景到第20天，小林共得210萬元，而小明才得1048575分，共1萬元多一點.小林想：要是合同訂兩個月，三個月該多好！果真是這樣嗎？

設(shè)30天后，小林得到的錢數(shù)為T30(萬元)，小明得到的錢數(shù)為S30(分)，則根據(jù)合同104.這可不是個小數(shù)目！利用計算器，得到：小林聽到這個結(jié)果.肯定會嚇出一身冷汗！問題情景105.探求:等比數(shù)列求和的方法問題：已知等比數(shù)列,公比為q,求：思考：抽象概括106.錯位相減法當(dāng)q≠1時兩式相減，得當(dāng)q=1時，Sn=?此式相鄰兩項有何關(guān)系？當(dāng)q=1時107.由等比定理，得等比數(shù)列定義：與什么關(guān)系？與什么關(guān)系？比例式連等的形式能否變成和的形式？怎樣變？利用定義法108.(利用)109.等比數(shù)列前n

項和公式公式２：公式１：根據(jù)求和公式，運用方程思想，五個基本量中“知三求二”.

注意對是否等于進行分類討論110.例1(1)已知等比數(shù)列{an}中，a1=2，q=3.求S3例題講解(2)求等比數(shù)列的前10項的和.解：111.例2例題講解解法1：112.②①③③代入②得代入③得：n=5.113.解法2114.例3

五洲電扇廠去年實現(xiàn)利稅300萬元，計劃在以后5年中每年比上年利稅增長10%，問從今年起第5年的利稅是多少？這5年的總利稅是多少（結(jié)果精確到萬元）？例題講解115.解每年的利稅組成一個首項公比的等比數(shù)列.從今年起，第5年的利稅為這5年的利稅為例題講解116.1.根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列的課內(nèi)練習(xí)117.2.求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項到第10項的和.

從第5項到第10項的和:

課內(nèi)練習(xí)118.3.求等比數(shù)列從第3項到第7項的和.

從第3項到第7項的和:課內(nèi)練習(xí)119.1.求和公式當(dāng)q≠1時，當(dāng)q=1時，①注意分類討論的思想！等比數(shù)列求和時必須弄清q=1還是q≠1.②運用方程的思想，五個量“知三求二”.2.公式的推導(dǎo)方法

強調(diào)：（重在過程）③注意運用整體運算的思想.課堂小結(jié)120.1.4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應(yīng)用121.單利

單利的計算是僅在原有本金上計算利息,對本金所產(chǎn)生的利息不再計算利息.其公式為利息=本金×利率×存期若以符號P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(簡稱本利和),則有

S=P(1+nr)你知道嗎？122.復(fù)利

把上期末的本利和作為下一期的本金,在計算時每一期的本金,在計算時每一期的數(shù)額是不同的.復(fù)利的計算公式是

S=P(1+r)n說明123.例1銀行有一種叫做零存整取的儲蓄業(yè)務(wù),即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利(暫不考慮利息稅).(1)若每月存入金額為x元,月利率r保持不變,存期為n個月,試推導(dǎo)出到期整取時本利和的公式.零存整取模型(2)若每月初存入500元,月利率為0.5%,到第24個月末整取時的本利和是多少?124.例1銀行有一種叫做零存整取的儲蓄業(yè)務(wù),即每月定時存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金,這是零存;到約定日期,可以取出全部本利和,這是整取.規(guī)定每次存入的錢不計復(fù)利(暫不考慮利息稅).(3)若每月初存入一定金額,月利率是0.5%,希望到第12個月末整取時取得本利和為2000元.那么每月初應(yīng)存入的金額是多少?零存整取模型125.解（1）根據(jù)題意，第1個月存入的x元，到期利息為；第2個月存入的x元，到期利息為；……第n個月存入的x元，到期利息為；不難看出，這是一個等差數(shù)列求和的問題.各月的利息之和為零存整取模型126.而本金為nx元，這樣就得到本利和公式即零存整取模型127.（2）每月存入500元，月利率為0.3％，根據(jù)公式，本利和（3）依題意在式子中，y=2000,r=0.3%,n=12答每月應(yīng)存入163.48元.零存整取模型128.例2銀行有另一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如,儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲戶不取出本利和.則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)(暫不考慮利息稅),我們來討論以下問題:(1)如果儲戶存入定期為1年的P元存款,定期年利率為r,連存n年后,再取出本利和.試求出儲戶年后所得的本利和的公式;定期自動轉(zhuǎn)存模型129.例2銀行有另一種儲蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動轉(zhuǎn)存.例如,儲戶某日存入一筆1年期定期存款,1年后,如果儲戶不取出本利和.則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù),第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(wù)(暫不考慮利息稅),我們來討論以下問題:(2)如果存入1萬元定期存款,存期為1年,年利率為1.98%,那么5年后共得本利和多少萬元?定期自動轉(zhuǎn)存模型130.銀行整存整取定期儲蓄年利率如表所示:存期1年2年3年5年年利率/%2.793.333.964.41

某公司欲將10萬元存入銀行5年,可按以下方案辦理(不考慮利息稅):(1)直接存入5年定期;(2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.問題1:計算出不同存法到期后的本利和,哪種存款方式更合算?問題2:你能設(shè)計出更好的存款方案嗎?思考交流131.分期付款的有關(guān)規(guī)定1.分期付款分若干次付款,每次付款額相同,各次付款的時間間隔相同.2.分期付款中雙方的每月(年)利息均按復(fù)利計算,即上月(年)的利息要計入本金.3.各期所付的款額連同到最后一次付款時所產(chǎn)生的利息和,等于商品售價及從購買到最后一次付款的利息和,這在市場經(jīng)濟中是相對公平的.132.例3小華準(zhǔn)備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款的方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個月第1次付款,再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算.求小華每期付的金額是多少?分析1:考慮小華每次還款后,還欠商場的金額.分期付款模型133.

設(shè)小華每期還款x元,第k個月末還款后的本利欠款數(shù)為Ak元,則134.由題意年底還清,所以解得:答:小華每次付款的金額為880.8元.135.分析2:小華在12月中共付款6次,它們在12個月后的本利和的累加與一年后付款總額相等.例3小華準(zhǔn)備購買一臺售價為5000元的電腦,采用分期付款的方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商場提出的付款方式為:購買后2個月第1次付款,再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算.求小華每期付的金額是多少?136.解:設(shè)小華每期還款元,則購買2個月后第1次付款元,此元到10個月后本利和為元購買4個月后第2次付款元,此元到8個月后本利和為元同理,購買12個月后第6次付款元,此元當(dāng)月的本利和為元137.又小華一年后應(yīng)還給商場的總金額增值為:138.思考交流

商場出售電腦,提出了如下的3種付款方式,以供顧客選擇.請分別算出各種付款方式每次應(yīng)付款金額.方案類別分幾次付清付款方法13次購買后4個月第1次付款,再過4個月第2次付款,再過4個月第3次付款26次購買后2個月第1次付款,再過2個月第2次付款,……,再過12個月第6次付款312次購買后1個月第1次付款,再過2個月第2次付款,……,再過12個月第12次付款139.某林場原有木材量為am3,木材以每年25％的增長率生成,而每年要砍伐的木材量為xm3,為使20年木材存有量至少翻兩番,求每年砍伐量x的最大值.(取lg2=0.3)練一練140.課題學(xué)習(xí)：教育儲蓄141.課題背景

數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)如何走進教材、走進課堂？現(xiàn)在根據(jù)課堂教學(xué)的實際和思考以教育儲蓄為例設(shè)計一個課題學(xué)習(xí)的過程.

教育儲蓄，是一種零存整取的定期儲蓄存款方式，是國家為了鼓勵城鄉(xiāng)居民以儲蓄存款方式，為子女接受非義務(wù)教育積蓄資金，從而促進教育事業(yè)發(fā)展而開辦的．目前越來越多的家長意識到，為了孩子將來能接受良好的高等教育，為子女辦理教育儲蓄是一種較為理想的投資．142.搜集資料

為了解決“教育儲蓄”的一系列計算問題，加深對它的認(rèn)識，請收集“教育儲蓄”的有關(guān)資料，例如可以通過以下途徑：網(wǎng)上主題詞檢索、各大銀行直接詢問等．重點確認(rèn)以下信息：教育儲蓄的適用對象，儲蓄類型，最低起存金額、每戶存款本金的最高限額，支取方式，銀行現(xiàn)行的各類、各檔存款利率，零存整取、整存整取的本息計算方法．

143.

請根據(jù)搜集到的信息，你們提出一些待解決的問題：(下面是學(xué)生、教師提出的一些有代表性的問題，特別注意后面問題的開放性)

?依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少錢?

?依教育儲蓄的方式，每月存n元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少錢？呈現(xiàn)問題144.?依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)時一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少7

?如果想在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元，每月應(yīng)存人多少錢？

?如果想在3年后一次支取教育儲蓄本息合計a萬元，每月應(yīng)存入多少錢？

?依教育儲蓄的方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到4年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少錢？145.?依教育儲蓄的方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到b(0<b<6)年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少錢?

?自己設(shè)計其他計算題(如自己設(shè)立指標(biāo)，計算并比較3年期和6年期的教育儲蓄的相對收益的大小)；

?設(shè)計一項專項儲蓄方案等；

?設(shè)計一個回報率更高的投資方案等．

146.

分組討論求解以上問題的方案，實際解決這些問題．

完成個人或小組的“課題研究報告”實施建議147.

在班級或年級召開小型的研究成果報告會，讓學(xué)生(組)的代表報告成果，對問題求解有特色、合作學(xué)習(xí)有收獲、問題挖掘有創(chuàng)意、結(jié)果呈現(xiàn)有個性、自主鉆研有創(chuàng)新的成果予以肯定、鼓勵和表彰，評價中突出“生生之間的評價、教師的鑒賞和點評”．148.

要容許學(xué)生發(fā)展、驗證他們自己的猜想和結(jié)論．猜想不一定是正確的，證實和證偽同樣有意義、有收獲、也同樣重要．要注意每個學(xué)生的特長領(lǐng)域，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會合作、學(xué)會優(yōu)勢互補地發(fā)揮各自的特長．教師要在自己的視野內(nèi)努力尋找宜于學(xué)生使用的數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的問題，做好每個問題解決過程的記錄，學(xué)生成功的經(jīng)驗、教師自己在挫折中得到的教訓(xùn)，這些對于今后的數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計都有重要的價值．對這些經(jīng)驗教訓(xùn)的反思，是教師由數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的生手到行家的有效途徑之一.149.

數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的評價具體涉及以下幾個方面：(1)調(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡潔；(2)要有自己獨到的思考和發(fā)現(xiàn)；(3)能夠恰當(dāng)?shù)氖褂?網(wǎng)絡(luò)和計算)工具；(4)采用合理、簡捷的算法；(5)提出有價值的求解設(shè)計和有見地的新問題；(6)發(fā)揮每個組員的特長，合作學(xué)習(xí)有效果．150.2.2三角形中的幾何計算151.

正弦定理：a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC

余弦定理：復(fù)習(xí)回顧152.正弦定理：（其中：R為△ABC的外接圓半徑）三角形面積公式：復(fù)習(xí)回顧153.例題講解例1

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的長.ABCD5945°30°154.解在△ABC中，AB=5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得因為AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠ABC同理,在ΔABD中,AB=5，∠ADB＝45°例題講解155.例2

一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始作勻速直線運動，到達(dá)點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度像點A作勻速直線滾動.如圖所示，已知若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則該機器人最快可在何處截住足球？ABD45°例題講解156.ABCD45°分析機器人最快截住足球的地方正式機器人與足球同時到達(dá)的地方，設(shè)為C點.利用速度建立AC與BC之間的關(guān)系，再利用余弦定理便可建立方程解決問題.例題講解157.ABCD45°解設(shè)該機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，設(shè)BC＝xdm，由題意，CD＝2xdmAC=AD-CD=(17-2x)dm在ΔABC中，由余弦定理得例題講解158.02322=+-xxba是方程、例3銳角三角形中，邊的面積.的長度及的度數(shù)，邊ABCc例題講解△159.例題講解160.

例4

如圖,設(shè)A、B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法.BADCδγβα例題講解161.

分析：用例1的方法，可以計算出河的這一岸的一點C到對岸兩點的距離，再測出<BCA的大小，借助于余弦定理可以計算出A、B兩點間距離.解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a,并且在C、D兩點分別測得BCA=α,

ACD=β,CDB=γ,

BDA=δ.在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得：162.2.3解三角形的實際應(yīng)用舉例163.

正弦定理：a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC

余弦定理：復(fù)習(xí)回顧164.正弦定理：（其中：R為△ABC的外接圓半徑）三角形面積公式：復(fù)習(xí)回顧165.例題講解ACBE例1166.

例2

如圖1.2-4,AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點.設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.例題講解167.

分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測量建筑物的高.由解直角三角形的知識，只要能測出一點C到建筑物的頂部A的距離CA，并測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高.所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識測出CA的長.解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上，由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，CD=a.測角儀器的高為h,那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得：168.CBA例題講解例3如圖1.2-1設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離.測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m,∠BAC=510,∠

ACB=750.求A、B兩點間的距離.（精確到0.1m）169.解：根據(jù)正弦定理，得答：A、B兩點間的距離為65.7米.例題講解170.

例4

如圖1.2-6一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北150的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北250的方向上，仰角為80，求此山的高度CD.例題講解171.

分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長，根據(jù)已知條件，可以計算出BC的長.答:山的高度大約為1047米.△172.

例5

如圖1.2—8，在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1m2）例題講解173.

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理可得：答：這個區(qū)域的面積是2840.4m2例題講解174.2.1.1正弦定理(1)175.問題提出回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?

ABCcba兩等式間有聯(lián)系嗎？即正弦定理，定理對任意三角形均成立176.分析理解向量的數(shù)量積，為向量a

與b的夾角．

如何構(gòu)造向量及等式？

如何利用向量建立三角形的邊長與三角函數(shù)間的聯(lián)系？177.分析理解jACB在銳角中，過A作單位向量j垂直于，

即同理，過C作單位向量j

垂直于，可得則有j

與的夾角為，j

與的夾角為.等式178.

正弦定理:在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么類型的三角形問題？

已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角.正弦定理179.例1

某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩，其一角已破壞.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC＝2.57cm，CE＝3.57cm，BD＝4.38cm，B＝45°，C＝120°.為了復(fù)原，請計算原玉佩兩邊的長(結(jié)果精確到0.01cm)BCDEA分析

:如圖，將BD，CE分別延長相交于一點A，在△ABC中，已知BC的長及角B與C，可以通過正弦定理求AB，AB的長.例題講解180.解：將BD，CE分別延長相交于一點A，在△ABC中，BC＝2.57cm，B＝45°，C＝120°A＝180°－(B+C)=180-(45°+120°)=15°利用計算器算得同理例題講解181.

例2

在中，已知，求b（保留兩個有效數(shù)字）.

解：∵且例題講解182.

例3

在中，已知，求.解：由

得

∵在中

∴A為銳角

例題講解183.

例4

在中，，求的面積S．

解：∴由正弦定理得

例題講解184.（1）在中，一定成立的等式是（

）

C（2）在中，若，則是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形D課內(nèi)練習(xí)185.（3）在任一中，求證：

證明：由于正弦定理：令

左邊＝

代入左邊得：

所以等式成立課內(nèi)練習(xí)186.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們研究了正弦定理的證明方法，同時了解了向量工具的作用.明確了利用正弦定理解決兩類有關(guān)三角形問題.已知兩邊和其中一邊所對的角；兩角一邊.課堂小結(jié)187.2.1.1正弦定理(2)188.問題提出

如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB是△

ABC外接圓的直徑（設(shè)Rt△ABC外接圓的半徑為R），因此ABC189.如這個結(jié)論對于任意三角形是否成立？B′AB′BCABCABC190.

在Rt△ABC中，C=90°，則△ABC的面積S＝1/2ab，對于任意△ABC，已知a，b，及C，則△ABC的面積S＝1/2absinC,你能得出這一結(jié)論嗎？問題提出191.例題講解例1在△ABC中，192.例題講解193.課本49頁練習(xí)2當(dāng)堂練習(xí)194.課堂小結(jié)195.2.1.2余弦定理(1)196.問題提出在三角形中，已知兩角及其一邊，或已知兩邊和其中一邊的對角，可以利用正弦定理求其他的邊和角.那么，已知兩邊及其夾角，怎么求出此角的對邊呢？已知三條邊，由怎么求出它的三個角呢？197.分析理解我們利用向量來研究如圖所示，根據(jù)向量的數(shù)量積.可以得到ABCbac即同理可證198.定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.余弦定理199.余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.200.例題講解201.例題講解202.203.例題講解

例4

如圖，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點是O.甲乙兩人同時從點O分別沿OA,OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h，4.5km/h.3時后兩人相距多遠(yuǎn)（結(jié)果精確到0.1km）?PQABCDO80°分析:經(jīng)過3時，甲到達(dá)點P，OP＝4×3＝12(km),乙到達(dá)點Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，問題轉(zhuǎn)化為在△OPQ中，已知OP＝12km,OQ=13.5km,∠POQ=80°,求PQ的長.204.解經(jīng)過3時，甲到達(dá)點P，OP＝4×3＝12(km),乙到達(dá)點Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知答：3時后兩人相距約16.4km.例題講解205.1.三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.課堂小結(jié)206.2.余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.課堂小結(jié)207.2.1.2余弦定理(2)208.1.正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即===2R（R為△ABC外接圓半徑）

2.正弦定理的應(yīng)用:從理論上正弦定理可解決兩類問題：

(

1)兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

(2)兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.（見圖示）已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:復(fù)習(xí)回顧209.(3)若A為直角或鈍角時:

babababaa已知邊

a,b和

?

A僅有一個解有兩個解僅有一個解無解a≥bCH

=

bsinA<a<ba=CH

=

bsinAa<CH

=

bsinAACHACB1ABACB2CHHH210.2．余弦定理可以解決的問題利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.1．余弦定理

：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即211.例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A，B和C.解：∵＝0.725，∴A≈44°∵＝0.8071，∴C≈36°,

∴B＝180°－(A＋C)≈100.(∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).)例題講解212.例2在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解這個三角形.

解：由，得c≈4.297.∵≈0.7767，∴A≈39°2′,

∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.(∵sinA＝≈0.6299∴A=39°或141°(舍))，例題講解213.例3ΔABC三個頂點坐標(biāo)為A(6，5)、B(－2，8)、C(4，1)，求角A.解法一：∵|AB|＝

|BC|＝

|AC|

＝

∴A≈84°.解法二：∵＝(–8，3)，＝(–2，–4).∴cosA＝=,∴A≈84°.例題講解214.1.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為()A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形C解法一：利用余弦定理將角化為邊.∵bcosA＝acosB,∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2,∴a2＝b2,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形.

課內(nèi)練習(xí)215.1.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為()A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形C解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.∵bcosA＝acosB又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB

∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0即A＝B

故此三角形是等腰三角形.

課內(nèi)練習(xí)216.2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，則△ABC為

；若a2=b2+c2，則△ABC為

；若