高等數(shù)學微分學

高等數(shù)學微分學課件第1頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四1.2.1極限與函數(shù)的連續(xù)

1.函數(shù)定義:定義域值域設函數(shù)為特殊的映射:其中定義域：使表達式有意義的實數(shù)全體或由實際意義確定。第2頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復合函數(shù)初等函數(shù)有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算與復合而成的一個表達式的函數(shù).例如.函數(shù)第3頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四2極限

極限定義的等價形式

(以為例)(即為無窮小)極限存在準則及極限運算法則第4頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四無窮小無窮小的性質(zhì);無窮小的比較;常用等價無窮小:

兩個重要極限～～～～～～～～～重點：求極限的基本方法洛必達法則第5頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例1.求下列極限：提示:無窮小有界第6頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四令第7頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四～第8頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點第一類（左右極限存在）第二類（左右極限至少有一個不存在）可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點第9頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例2.

設函數(shù)在x=0連續(xù),則a=

,b=

.提示:第10頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四有無窮間斷點及可去間斷點解:為無窮間斷點,所以為可去間斷點,極限存在例3.設函數(shù)試確定常數(shù)a及b.第11頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四1.2.2導數(shù)和微分導數(shù)定義:當時,為右導數(shù)當時,為左導數(shù)

微分:

關系

:可導可微導數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關概念第12頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例4.設在處連續(xù),且求解:第13頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四2.導數(shù)和微分的求法正確使用導數(shù)及微分公式和法則（要求記?。。㏄10隱函數(shù)求導法參數(shù)方程求導法高階導數(shù)的求法(逐次求一階導數(shù)）第14頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例5.求由方程在x=0

處的導數(shù)解:方程兩邊對x求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)第15頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例6.求解:關鍵:搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導第16頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四1.2.3偏導數(shù)與全微分1.多元顯函數(shù)求偏導和高階偏導2.復合函數(shù)求偏導注意正確使用求導符號3.隱函數(shù)求偏導將其余變量固定，對該變量求導。第17頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四4.全微分5.重要關系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)第18頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例7.

求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導數(shù).第19頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四解：設則例8.設第20頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四拉格朗日中值定理1.2.4導數(shù)與微分的應用1.微分中值定理及其相互關系

羅爾定理柯西中值定理第21頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.設函數(shù)則在I內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開區(qū)間I內(nèi)可導,2.研究函數(shù)的性態(tài):第22頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,第23頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四極值第二判別法二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.第24頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例9.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為第25頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例10.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.第26頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例11.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,問矩形截面的高h和b應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?解:由力學分析知矩形梁的抗彎截面模量為令得從而有即由實際意義可知,所求最值存在,駐點只一個,故所求結(jié)果就是最好的選擇.第27頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I內(nèi)圖形是凸的.設函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)凹弧凸弧的分界點為拐點第28頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四例12.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸第29頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四的連續(xù)性及導函數(shù)例13.填空題(1)設函數(shù)其導數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點為

;極大值點為

.提示:的正負作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;第30頁，共31頁，2022年，5月20日，21點26分，星期四

.在區(qū)間