流體力學(xué)第3章課件

第三章流體靜力學(xué)§3–1流體靜壓強(qiáng)及其特性§3–2流體平衡方程式§3–3重力場中流體的平衡

帕斯卡原理§3–4液柱式測壓計§3–5靜止液體作用在平面上的總壓力§3–6靜止液體作用在曲面上的總壓力§3–7靜止液體作業(yè)在浮體與潛體的浮力10/13/20221第三章流體靜力學(xué)§3–1流體靜壓強(qiáng)及其特性§3–2第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性

“靜”——絕對靜止、相對靜止一、流體靜壓強(qiáng)的定義

流體壓強(qiáng)：在流體內(nèi)部或流體與固體壁面所存在的單位面積上的法向作用力。單位：Pa流體靜壓強(qiáng)：當(dāng)流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時的壓強(qiáng)，用p來表示。10/13/20222第一節(jié)流體靜壓強(qiáng)及其特性

“靜”——絕對靜止、相對靜止一二、流體靜壓強(qiáng)的特性方向特性：流體靜壓強(qiáng)的方向必然是沿著作用面的內(nèi)法線方向。大小特性：任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方向無關(guān)，只與該點(diǎn)的位置有關(guān)。10/13/20223二、流體靜壓強(qiáng)的特性方向特性：流體靜壓強(qiáng)的方向必然是沿著作用方向特性10/13/20224方向特性10/11/20224pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強(qiáng)作用在ABC面上的流體靜壓強(qiáng)作用在BCD面上的靜壓強(qiáng)、作用在ABD面上的靜壓強(qiáng)

微元四面體受力分析10/13/20225pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強(qiáng)作用在ABC面上

靜止流體中深度不同的點(diǎn)處流體的靜壓強(qiáng)是不一樣的，而流體又是連續(xù)介質(zhì)，所以流體靜壓強(qiáng)僅是空間點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即

10/13/20226靜止流體中深度不同的點(diǎn)處流體的靜壓強(qiáng)是不一樣的，而第二節(jié)流體平衡方程式

一、流體平衡微分方程式在靜止流體中任取一邊長為dx，dy和dz的微元平行六面體的流體微團(tuán)，現(xiàn)在來分析作用在這流體微團(tuán)上外力的平衡條件。作用在微元平行六面體的表面力只有靜壓強(qiáng)。設(shè)微元平行六面體中心點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)為p，則作用在六個平面中心點(diǎn)上的靜壓強(qiáng)可按泰勒（G.I.Taylor）級數(shù)展開，在垂直于X軸的左、右兩個平面中心點(diǎn)上的靜壓強(qiáng)分別為：10/13/20227第二節(jié)流體平衡方程式一、流體平衡微分方程p微元平行六面體x方向的受力分析10/13/20228p微元平行六面體x方向的受力分析10/11/20228略去二階以上無窮小量后，分別等于和由于平行六面體是微元的，所以可以把各微元面上中心點(diǎn)的壓強(qiáng)視為平均壓強(qiáng)。因此，垂直于x軸的左、右兩微元面上的總壓力分別為：

和同理，可得到垂直于y軸的下、上兩個微元面上的總壓力分別為：和10/13/2022910/11/20229

垂直于軸的后、前兩個微元面上的總壓力分別為：

作用在流體微團(tuán)上的外力除靜壓強(qiáng)外，還有質(zhì)量力。若流體微團(tuán)的平均密度為ρ，則質(zhì)量力沿三個坐標(biāo)軸的分量為處于靜止?fàn)顟B(tài)下的微元平行六面體的流體微團(tuán)的平衡條件是：作用在其上的外力在三個坐標(biāo)軸上的分力之和都等與零。對于x軸，則為10/13/202210垂直于軸的后、前兩個微元面上的總壓力分別為：10/1

整理上式，并把各項都除以微元平行六面體的質(zhì)量ρdxdydz則得同理得（3-3）寫成矢量形式

此方程的物理意義：在靜止流體中，某點(diǎn)單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力與靜壓強(qiáng)的合力相平衡。

適用范圍：靜止或相對靜止?fàn)顟B(tài)的可壓縮和不可壓縮流體。它是流體靜力學(xué)最基本的方程組，流體靜力學(xué)的其他計算公式都是從此方程組推導(dǎo)出來的。

10/13/202211整理上式，并把各項都除以微元平行六面體的質(zhì)量ρdx壓強(qiáng)差公式把式（3-3）兩邊分別乘以dx，dy，dz，然后相加，得流體靜壓強(qiáng)是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即，它的全微分為

物理意義：在靜止流體中，空間點(diǎn)的坐標(biāo)增量為dx、dy、dz時，相應(yīng)的流體靜壓強(qiáng)增加dp，壓強(qiáng)的增量取決于質(zhì)量力。

10/13/202212壓強(qiáng)差公式10/11/202212

二、流體平衡條件對于不可壓縮均質(zhì)流體，有

上式的左邊是全微分，它的右邊也必須是全微分。由數(shù)學(xué)分析知：該式右邊成為某一個函數(shù)全微分的充分必要條件是

fx、fy、fz具有力的勢函數(shù)－的充分必要條件10/13/202213二、流體平衡條件10/11/202213

力的勢函數(shù)對各坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)等于單位質(zhì)量力在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的分量，即：，，寫成矢量形式：

流體平衡的條件:只有在有勢的質(zhì)量力作用下，不可壓縮均質(zhì)流體才能處于平衡狀態(tài)。有勢的力：有勢函數(shù)存在的力。

10/13/202214力的勢函數(shù)對各坐標(biāo)軸的偏導(dǎo)數(shù)等于單位質(zhì)量力在對應(yīng)坐標(biāo)軸上3.等壓面：dp=0壓強(qiáng)差公式可寫為：等壓面性質(zhì)：等壓面就是等勢面等壓面與質(zhì)量力垂直——廣義平衡下的等壓面方程10/13/2022153.等壓面：dp=0壓強(qiáng)差公式可寫為：等壓面性質(zhì)：——廣義平

第三節(jié)重力場中流體的平衡帕斯卡原理

一、重力作用下的靜力學(xué)基本方程式

P0P1P2Z1Z2推導(dǎo)靜力學(xué)基本方程式用圖10/13/202216第三節(jié)重力場中流體的平衡帕斯卡原理

一、重作用在液體上的質(zhì)量力只有重力G=mg，其單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上的分力為fx=0，fy=0，fz=-g代入壓強(qiáng)差公式，得10/13/202217作用在液體上的質(zhì)量力只有重力G=mg，其單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸

對于均質(zhì)不可壓縮流體，密度ρ為常數(shù)。

這就是重力作用下的液體平衡方程，通常稱為流體靜力學(xué)基本方程。該方程的適用范圍是:重力作用下的平衡狀態(tài)均質(zhì)不可壓縮流體。若在靜止液體中任取兩點(diǎn)l和2，點(diǎn)1和點(diǎn)2壓強(qiáng)各為p1和p2，位置坐標(biāo)各為z1和z2，則有：

10/13/202218

1.物理意義從物理學(xué)可知，把質(zhì)量為m的物體從基準(zhǔn)面提升z高度后，該物體就具有位能mgz，則單位重量物體所具有的位能為z(mgz/mg=z)。所以z的物理意義表示為單位重量流體對某一基準(zhǔn)面的位勢能。p/ρg表示單位重量流體的壓強(qiáng)勢能，這說明如下：容器離基準(zhǔn)面z處開一個小孔，接一個頂端封閉的玻璃管(稱為測壓管)，并把其內(nèi)空氣抽出，形成完全真空(p=0)，在開孔處流體靜壓強(qiáng)p的作用下，流體進(jìn)入測壓管，上升的高度h=p/ρg稱為單位重量流體的壓強(qiáng)勢能。位勢能和壓強(qiáng)勢能之和稱為單位重量流體的總勢能。表示在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的單位重量流體的總勢能是相等的。這就是靜止液體中的能量守恒定律。10/13/2022191.物理意義10/11/202219閉口測壓管液柱上升高度10/13/202220閉口測壓管液柱上升高度10/11/202220

2.幾何意義單位重量流體所具有的能量也可以用液柱高度來表示，稱為水頭。z的幾何意義表示為單位重量流體的位置高度或位置水頭。p/ρg也是長度單位，它的幾何意義表示為單位重量流體的壓強(qiáng)水頭。位置水頭和壓強(qiáng)水頭之和稱為靜水頭。方程幾何意義：表示在重力作用下靜止流體中各點(diǎn)的靜水頭都相等。在實際工程中，常需計算有自由液面的靜止液體中任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)。10/13/2022212.幾何意義10/11/202221靜止液體中任一點(diǎn)壓強(qiáng)10/13/202222靜止液體中任一點(diǎn)壓強(qiáng)10/11/202222

如圖所示，在一密閉容器中盛有密度為ρ的液體，若自由液面上的壓強(qiáng)為p0、位置坐標(biāo)為z0，則在液體中位置坐標(biāo)為z的任意一點(diǎn)A的壓強(qiáng)p可寫為或由它可得到三個重要結(jié)論：(1)在重力作用下的靜止液體中，靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律變化，即隨深度的增加，靜壓強(qiáng)值成正比增大。(2)在靜止液體中，任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：一部分是自由液面上的壓強(qiáng)p0；另一部分是該點(diǎn)到自由液面的單位面積上的液柱重量ρgh。(3)在靜止液體中，位于同一深度(h＝常數(shù))的各點(diǎn)的靜壓強(qiáng)相等，即任一水平面都是等壓面。10/13/202223如圖所示，在一密閉容器中盛有密度為ρ的液帕斯卡原理施于在重力作用下不可壓縮流體表面上的壓強(qiáng)，將以同一數(shù)值沿各個方向傳遞到流體中的所有流體質(zhì)點(diǎn)。10/13/202224帕斯卡原理施于在重力作用下不可壓縮流體表面上的壓強(qiáng)，將以同一二標(biāo)準(zhǔn)大氣的壓強(qiáng)分布1.從海平面到11000m的空間為標(biāo)準(zhǔn)大氣的對流層，層內(nèi)氣溫隨高度增加而遞減，遞減率近似等于常數(shù)。如果已知海平面的氣溫T1=288.15K，壓強(qiáng)p1=101325Pa，參考坐標(biāo)系的z軸向上2.從高11000m到20100m的空間為標(biāo)準(zhǔn)大氣的同溫層，層內(nèi)的氣溫幾乎不變，近似值為T2=216.7K。該層內(nèi)氣體的密度隨氣壓成正比。10/13/202225二標(biāo)準(zhǔn)大氣的壓強(qiáng)分布1.從海平面到11000m的空間為標(biāo)準(zhǔn)三、壓強(qiáng)的度量

流體壓強(qiáng)按計量基準(zhǔn)的不同可區(qū)分為絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)。

絕對壓強(qiáng)：以完全真空時的絕對零壓強(qiáng)(p＝0)為基準(zhǔn)來計量的壓強(qiáng)。

相對壓強(qiáng)（計示壓強(qiáng)）：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)來計量的壓強(qiáng)。10/13/202226三、壓強(qiáng)的度量

流體壓強(qiáng)按計量基準(zhǔn)的不同可區(qū)分為絕對絕對壓強(qiáng)與相對壓強(qiáng)之間的關(guān)系當(dāng)自由液面上的壓強(qiáng)是當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)pa時，有

或式中p—流體的絕對壓強(qiáng)，Pa；pe—流體的相對壓強(qiáng)，Pa。

10/13/202227絕對壓強(qiáng)與相對壓強(qiáng)之間的關(guān)系10/11/202227真空

絕對壓強(qiáng)計示壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)、計示壓強(qiáng)和真空之間的關(guān)系10/13/202228真空絕對壓強(qiáng)計示壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)、計示壓強(qiáng)和真空之

當(dāng)流體的絕對壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)時，就說該流體處于真空狀態(tài)。例如水泵和風(fēng)機(jī)的吸入管中，凝汽器、鍋爐爐膛以及煙囪的底部等處的絕對壓強(qiáng)都低于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)，這些地方的計示壓強(qiáng)都是負(fù)值，稱為真空或負(fù)壓強(qiáng)，用符號pv表示，則如以液柱高度表示，則

式中hv稱為真空高度。

10/13/202229當(dāng)流體的絕對壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)時，就說該流體處于

（1）當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)是某地氣壓表上測得的壓強(qiáng)值，它隨著氣象條件的變化而變化，所以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)線是變動的。（2）由于絕大多數(shù)氣體的性質(zhì)是氣體絕對壓強(qiáng)的函數(shù)，如正壓性氣體ρ=ρ（p)，所以氣體的壓強(qiáng)都用絕對壓強(qiáng)表示。而液體的性質(zhì)幾乎不受壓強(qiáng)的影響，所以液體的壓強(qiáng)常用計示壓強(qiáng)表示，只有在汽化點(diǎn)時，才用液體的絕對壓強(qiáng)。10/13/202230（1）當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)是某地氣壓表上測得的壓強(qiáng)值，它隨著氣壓強(qiáng)的三種量度單位（1）壓強(qiáng)的基本定義（2）大氣壓的倍數(shù)（3）用液柱高度來表示工程單位：國際標(biāo)準(zhǔn)大氣壓工程大氣壓10/13/202231壓強(qiáng)的三種量度單位（1）壓強(qiáng)的基本定義（2）大氣壓的倍數(shù)（3第四節(jié)液柱式測壓計

一、測壓管一根玻璃管，一端連接在需要測定的器壁孔口上，另一端和大氣相通。與大氣相接觸的液面相對壓強(qiáng)為零。這就可以根據(jù)管中水面到所測點(diǎn)的高度測得壓強(qiáng)。10/13/202232第四節(jié)液柱式測壓計

一、測壓管一根玻璃管，一端連接在需要2.測壓管測量原理圖

在壓強(qiáng)作用下，液體在玻璃管中上升高度，設(shè)被測液體的密度為ρ，大氣壓強(qiáng)為pa，可得M點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)為

M點(diǎn)的計示壓強(qiáng)為

測壓管只適用于測量較小的壓強(qiáng)，一般不超過9800Pa，相當(dāng)于1mH2O。如果被測壓強(qiáng)較高，則需加長測壓管的長度，使用就很不方便。此外，測壓管中的工作介質(zhì)就是被測容器中的流體，所以測壓管只能用于測量液體的壓強(qiáng)。10/13/2022332.測壓管測量原理圖10/11/20

二、U形管測壓計1.結(jié)構(gòu)裝在刻度板上兩端開口的U形玻璃管。測量時，管的一端與被測容器相接，另一端與大氣相通。管內(nèi)裝有密度ρ2大于被測流體密度ρ1的液體工作介質(zhì)，如酒精、水、四氯化碳和水銀等。它是根據(jù)被測流體的性質(zhì)、被測壓強(qiáng)的大小和測量精度等來選擇的。但要注意，工作介質(zhì)不能與被測流體相互摻混。10/13/202234二、U形管測壓計10/11/202232.測量原理下面分別介紹用U形管測壓計測量p>pa和p<pa兩種情況的測壓原理。(1)被測容器中的流體壓強(qiáng)高于大氣壓強(qiáng)（即p>pa）：

10/13/2022352.測量原理10/11/202235Paρ1Mp12h1h2ρ等壓面P>Pa10/13/202236Paρ1Mp12h1h2ρ等壓面P>Pa10/11/2022

p1=p+ρ1gh1

p2=pa+ρ2gh2所以p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2M點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)為p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1

M點(diǎn)的計示壓強(qiáng)為pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1于是，可以根據(jù)測得的h1和h2以及已知的ρ1和ρ2計算出被測點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)和計示壓強(qiáng)值。

10/13/202237

U形管測壓(2)被測容器中的流體壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)(即p<pa)：10/13/202238U形管測壓(2)被測容器中的流體壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)(即p<p

p+ρ1gh1+ρ2gh2=paM點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)為p=p-ρ1gh1-ρ2gh2

M點(diǎn)的真空或負(fù)壓強(qiáng)為pv=pa-p=ρ1gh1+ρ2gh2如果U形管測壓計用來測量氣體壓強(qiáng)時，因為氣體的密度很小，ρ1gh1項可以忽略不計。

10/13/202239p若被測流體的壓強(qiáng)較高時，用一個U形管則過長可以采用串聯(lián)的U形管組成多U形管測壓計。通常采用雙U形管或三U形管測壓計。在圖所示的三U形管測壓計中，以互不滲混的兩種流體作為工作介質(zhì)（ρ1>ρ‘1），則在平衡的同一工作介質(zhì)連續(xù)區(qū)內(nèi)，同一水平面即為等壓面，如1-1，1‘-1‘，2-2，2‘-2‘和3-3都是不同的等壓面。得：pA=p1-ρgh；p2=p’+ρ1gh2p1=p’1+ρ1gh1；

p’2=p3-ρ‘1gh’2P’1=p2-ρ‘1gh’1；

p3=pa-ρ1gh3相加得容器中A點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)

10/13/202240若被測流體的壓強(qiáng)較高時，用一個U形管則過長可以采用串三U形管測壓計10/13/202241三U形管測壓計10/11/202241容器中A點(diǎn)的計示壓強(qiáng)為

若為n個串聯(lián)U形管測壓計，則被測容器A中的計示壓強(qiáng)計算通式為

測量密度為ρ的氣體的壓強(qiáng)時，如果U形管連接管中的密度為ρ1‘的流體也是氣體，則各氣柱的重量可忽略不計，則有

10/13/202242容器中A點(diǎn)的計示壓強(qiáng)為10/11/202242U形管差壓計三、U形管差壓計10/13/202243U形管差壓計三、U形管差壓計10/11/2022431.結(jié)構(gòu)U形管差壓計用來測量兩個容器或同一容器（如管道流體中不同位置兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。測量時，把U形管兩端分別與兩個容器的測點(diǎn)A和B連接，ρ>ρA，ρ>ρB。2.測量原理若ρA>ρB，U形管內(nèi)液體向右管上升，平衡后，1-2是等壓面，即p1=p2。

因p1=p2，故則10/13/2022441.結(jié)構(gòu)10/11/202244

若兩個容器內(nèi)是同一流體，即ρA=ρB=ρ1，則上式可寫成

若兩個容器內(nèi)是同一氣體，由于氣體的密度很小，U形管內(nèi)的氣柱重量可忽略不計，上式可簡化為

10/13/202245若兩個容器內(nèi)是同一流體，即ρA=ρB=ρ1，0ph1h2ΘpasLAρ120傾斜微壓計四、傾斜微壓計10/13/2022460ph1h2ΘpasLAρ120傾斜微壓計四、傾斜微壓計10

1．結(jié)構(gòu)由一個大截面的杯子連接一個可調(diào)節(jié)傾斜角度的細(xì)玻璃管構(gòu)成，其中盛有密度為ρ的液體。在未測壓時，傾斜微壓計的兩端通大氣，杯中液面和傾斜管中的液面在同一平面1—2上。當(dāng)測量容器或管道中某處的壓強(qiáng)時，杯端上部測壓口與被測氣體容器或管道的測點(diǎn)相連接，在被測氣體壓強(qiáng)p的作用下，杯中液面下降h1的高度至0—0位置，而傾斜玻璃管中液面上升了L長度，其上升高度。2．測量原理根據(jù)流體平衡方程式，被測氣體的絕對壓強(qiáng)為

其計示壓強(qiáng)為

10/13/2022471．結(jié)構(gòu)10/11/202247

如果用傾斜微壓計測量兩容器或管道兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差時，將壓強(qiáng)大的p1連接杯端測壓口，壓強(qiáng)小的p2連接傾斜玻璃管出口端，則測得的壓強(qiáng)差為由于杯內(nèi)液體下降量等于傾斜管中液體的上升量，設(shè)A和s分別為杯子和玻璃管的橫截面積，則或又于是有式中k—傾斜微壓計常數(shù),。10/13/202248如果用傾斜微壓計測量兩容器或管道兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差時，將壓5.補(bǔ)償式微壓計測量微小壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差，常用于要求較高的實驗測定，也可校準(zhǔn)普通的傾斜微壓計10/13/2022495.補(bǔ)償式微壓計測量微小壓強(qiáng)或壓強(qiáng)差，常用于要求較高的實驗測

【例3-1】有一直徑d=12cm的圓柱體，其重力W=mg，質(zhì)量m=5.1kg，在力F=100N的作用下，當(dāng)淹深h=0.5m時，處于靜止?fàn)顟B(tài)，求測壓管中水柱的高度H度

10/13/202250【例3-1】有一直徑d=12cm的圓柱體，【例3-2】有一測壓裝置，假設(shè)容器A中水面上的記示壓強(qiáng)pe=2.45×104Pa,h=500mm,h1=200mm,h2=100mm,h3=300mm,水的密度ρ1=lOOOkg/m3，酒精的密度ρ2=800kg/m3水銀的密度ρ3=13600kg/m3，試求容器B中氣體的記示壓強(qiáng)。10/13/202251【例3-2】有一測壓裝置，假設(shè)容器A中水面上的記示壓強(qiáng)pe=

【例3-3】兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀，第一個圓筒的直徑d1=45cm，其活塞上受力F1=3197N，密封氣體的記示壓強(qiáng)pe=9810Pa；第二個圓筒的直徑d2=30cm，其活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計活塞重量，求平衡狀態(tài)時兩活塞的高度差h。水銀的密度ρ=13600kg/m310/13/202252【例3-3】兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀，第五節(jié)液體的相對平衡C1流體的平衡1水平直線等加速運(yùn)動設(shè)液體以等加速度a沿水平方向作直線運(yùn)動

體積力分量f

x=-a,

fy=0,fz

=-g

壓強(qiáng)全微分式10/13/202253第五節(jié)液體的相對平衡C1流體的平衡1水平直線等加速運(yùn)壓強(qiáng)分布式在圖示坐標(biāo)系中等壓面為一簇與自由液面平行的斜平面，處處與體積力合力垂直3.等壓面方程ax+gz=C10/13/202254壓強(qiáng)分布式在圖示坐標(biāo)系中等壓面為一簇與自由液面平行的斜平面設(shè)液體以等角速度ω繞中心軸z軸旋轉(zhuǎn)體積力分量

壓強(qiáng)分布式

等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動fx=ω2x，fy=ω2y，fz=－g

壓強(qiáng)全微分式在圖示坐標(biāo)系中說明液內(nèi)壓強(qiáng)在z方向為線性分布，在r方向為二次曲線分布。10/13/202255設(shè)液體以等角速度ω繞中心軸z軸旋轉(zhuǎn)體積力分量壓強(qiáng)分布等壓面代入壓強(qiáng)分布式，令h=zs-z

，可得

由積分得

證明在垂直方向的壓強(qiáng)分布規(guī)律仍與靜止液體中一樣。

c不同值時得一簇旋轉(zhuǎn)拋物面。自由液面上c=0。設(shè)自由液面垂直坐標(biāo)為ｚs，方程為10/13/202256等壓面代入壓強(qiáng)分布式，令h=zs-z，可得由積分得【例3-4】油輪的前后艙裝有同樣的油，液位分別為h1和h2，前艙長l1，后艙長l2，前后艙的寬度均為b，試問在前后艙隔板上的總壓力等于0，即隔板前后油的深度相同時，油輪的等加速度a應(yīng)該是多少10/13/202257【例3-4】油輪的前后艙裝有同樣的油，液位分別為h1和h2，【例3-5】液體轉(zhuǎn)速計由直徑為d1的中心圓筒和重力為W的活塞及與其聯(lián)通的兩根直徑為d2的細(xì)管組成，內(nèi)裝水銀。細(xì)管中心線距圓筒中性軸的距離為R。當(dāng)轉(zhuǎn)速計的轉(zhuǎn)速變化時，活塞帶動指針上下移動。試推導(dǎo)活塞位移h與轉(zhuǎn)速n之間的關(guān)系式。10/13/202258【例3-5】液體轉(zhuǎn)速計由直徑為d1的10/11/202258第六節(jié)靜止液體作用在平面上的總壓力

許多工程設(shè)備，在設(shè)計時常需要確定靜止液體作用在其表面上的總壓力的大小、方向和位置。靜止液體作用在平面上的總壓力分為靜止液體作用在斜面、水平面和垂直面上的總壓力三種，斜面是最普通的一種情況，水平面和垂直面是斜面的特殊情況。10/13/202259第六節(jié)靜止液體作用在平面上的總壓力

靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面是水平放置的，壓強(qiáng)分布是均勻分布的，那么僅有液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力：F=ρghA總壓力的作用點(diǎn)是水平面面積的形心?？梢?，僅由液體產(chǎn)生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關(guān)。10/13/202260靜止液體作用在水平面上的總壓力。由于水平面是水平放置靜水奇象10/13/202261靜水奇象10/11/20226110/13/20226210/11/202262

一、總壓力的大小在平面A上取一微元面積dA，其淹深為h，到oy軸的距離為x作用在這條微元面積上靜止液體的總壓力為

dFp=pedA=ρghdA=ρgxsinadA沿面積A積分，得作用在平面A上的總壓力為10/13/20226310/11/202263=xcA是整個淹沒平面面積A對Oy軸的面積矩，xc為平面A的形心C的x坐標(biāo)，稱為形心x坐標(biāo)。如果用hc表示形心的垂直深度，稱為形心淹深，那么，則Fp=ρghcA

因此靜止液體作用在任一淹沒平面上的總壓力等于液體的密度、重力加速度、平面面積和形心淹深的乘積。與平面的傾斜角度無關(guān)。作用在靜止液體中任一淹沒平面上液體的總壓力也相當(dāng)于以平面面積為底，平面形心淹深為高的液柱的重力。10/13/202264=xcA是整個淹沒平面面積A

二、總壓力的作用點(diǎn)淹沒在靜止液體的平面上總壓力的作用點(diǎn)，即總壓力作用線與平面的交點(diǎn)，稱為壓力中心。由合力矩定理可知，總壓力對Oy軸之矩等于各微元面積上的總壓力對Oy軸之矩的代數(shù)和。按合力矩定理有10/13/20226510/11/202265上式除以總壓力式，得

根據(jù)慣性矩的平行移軸公式

式中ICy—是面積對于通過它形心且平行于Oy軸軸線的慣性矩。

1.壓力中心的位置與a角無關(guān)，即平面面積可以繞與Oy軸平行且通過壓力中心的軸旋轉(zhuǎn)。2.壓力中心總是在形心下方，隨淹沒的深度增加，壓力中心逐漸趨近于形心。10/13/202266上式除以總壓力式，得10/11/202266按照上述方法同理可求得壓力中心的y坐標(biāo)

式中yC—平面形心的y坐標(biāo)；Ixy—平面面積對OXY坐標(biāo)的兩軸的慣性矩；Icxy—平面面積對于通過形心而平行于坐標(biāo)系兩軸的慣性矩。通常，實際工程中遇到的平面多數(shù)是對稱的，因此壓力中心的位置是在平面對稱的中心線上，此時不必求yp的坐標(biāo)值，只需求得xp坐標(biāo)值即可。

10/13/202267按照上述方法同理可求得壓力中心的y坐標(biāo)10/11/20226截面幾何圖形面積A型心xc慣性距Icy

bh

1/2h1/12bh31/2bh2/3h1/36bh31/2h(a+b)10/13/202268截面幾何圖形面積A型心xc慣性距Icy10/110/13/20226910/11/202269

【例3-6】一個兩邊都承受水壓的矩形閘門，左邊的水深分別為H1=4.5m，右邊水深H2=2.5m，閘門與水平面成45度角，假設(shè)閘門的寬度b=1m，求作用在閘門上的總壓力及其作用點(diǎn)。

10/13/202270【例3-6】一個兩邊都承受水壓的矩形閘門，左邊的水深第七節(jié)靜止液體作用在曲面上的總壓力10/13/202271第七節(jié)靜止液體作用在曲面上的總壓力10/11/202271結(jié)論：作用于曲面上的靜水總壓力Fp的水平分力Fpx等于作用于該曲面的垂直投影面上的靜水總壓力，方向水平指向受力面。hc—投影面形心的淹沒深度Ax

—曲面在側(cè)壁面的投影面積10/13/202272結(jié)論：作用于曲面上的靜水總壓力Fp的水平分力Fpx等于作用于(V是壓力體體積)10/13/202273(V是壓力體體積)10/11/202273

總壓力的作用點(diǎn)

總壓力的作用線通過Ｏ點(diǎn)Fpx和Fpz與作用線的交點(diǎn)。總壓力作用線與曲面的交點(diǎn)就是總壓力在曲面上的作用點(diǎn)，即壓力中心。

10/13/202274總壓力的作用點(diǎn)10/11/202274

靜止液體作用在曲面上的總壓力的計算程序(1)將總壓力分解為水平分力Fpx和垂直分力Fpz。

(2)水平分力的計算，。(3)確定壓力體的體積。(4)垂直分力的計算，方向由虛、實壓力體確定。(5)總壓力的計算，。(6)總壓力方向的確定，。(7)作用點(diǎn)的確定，即總壓力的作用線與曲面的交點(diǎn)即是。10/13/20227510/11/202275壓力體壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液面或自由液面的延長面間投影所包圍的一塊空間體積。一般是三種面所封閉的體積：底面是受壓曲面；頂面是受壓曲面邊界線封閉的面積在自由面或者其延長面上的投影面；中間是通過受壓曲面邊界線所作的鉛直投射面。10/13/202276壓力體壓力體是所研究的曲面（淹沒在靜止液體中的部分）到自由液實壓力體當(dāng)液體與壓力體位于受壓曲面上方時，稱為實壓力體。曲面所受鉛直分力向下。10/13/202277實壓力體當(dāng)液體與壓力體位于受壓曲面上方時，稱為實壓力體。10虛壓力體當(dāng)液體與壓力體位于受壓曲面下方時，稱為虛壓力體。曲面所受鉛直分力向上。10/13/202278虛壓力體當(dāng)液體與壓力體位于受壓曲面下方時，稱為虛壓力體。10

【例3-7】圖所示圓柱扇形閘門，已知H=5m，a=60°，閘門寬度B=10m，求作用于曲面ab上的總壓力。

10/13/202279【例3-7】圖所示圓柱扇形閘門，已知H=【例3-8】圖所示為貯水容器，其壁面上有三個半球形的蓋。設(shè)d=0.5m，h=1.5m，H=2.5m。試求作用在每個蓋上的液體總壓力。

10/13/202280【例3-8】圖所示為貯水容器，其壁面上有【例3-9】圖所示一圓筒（高H0=0.7m，半徑R=0.4m，內(nèi)裝V=0.25m3的水）以等角速度10rad/s繞鉛直軸旋轉(zhuǎn)。圓筒中心開孔通大氣，頂蓋的重量m=5kg。試確定作用在頂蓋螺栓上的力

10/13/202281【例3-9】圖所示一圓筒（高H0=0.7第八節(jié)靜止液體作用在潛體和浮體上的浮力

阿基米德原理

一、浮力的原理如圖所示，有一物體沉沒在靜止的液體中，它受到的靜水總壓力P可以分解成水平分力px、py和垂直分力pz。先確定水平分力。對于浸沒于液體中的物體，可以找到一個母線平行于x軸的水平外切柱面與物體相切的封閉曲線BCFD，該曲線將