(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練習(xí)13《指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算》（解析版）

考點(diǎn)13指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算【命題解讀】學(xué)生應(yīng)指數(shù)冪的含義及運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義；理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，換底公式使用方法，對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)；【基礎(chǔ)知識回顧】1．根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．3．對數(shù)的概念如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．4．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④SKIPIF1<0Mn＝eq\f(n,m)logaM．(2)對數(shù)的性質(zhì)①SKIPIF1<0＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)對數(shù)的重要公式①換底公式：logaN＝eq\f(logcN,logcb)(a，c均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad．1、設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是A．B．C．SKIPIF1<0D．【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≠1．考察對數(shù)2個(gè)公式：，對選項(xiàng)A：，顯然與第二個(gè)公式不符，所以為假．對選項(xiàng)B：，顯然與第二個(gè)公式一致，所以為真．對選項(xiàng)C：，顯然與第一個(gè)公式不符，所以為假．對選項(xiàng)D：，同樣與第一個(gè)公式不符，所以為假．所以選B．2、SKIPIF1<0=A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．4【答案】D【解析】SKIPIF1<0．3、化簡4aeq\s\up6(\f(2,3))·b－eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a－\f(1,3)b\s\up6(\f(2,3))))的結(jié)果為()A．－eq\f(2a,3b) B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b) D．－6ab【答案】C【解析】原式＝－6aeq\a\vs4\al(\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))b－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝－6ab－1＝－eq\f(6a,b).4、(多選)已知a＋a－1＝3，在下列各選項(xiàng)中，其中正確的是()A．a(chǎn)2＋a－2＝7 B．a(chǎn)3＋a－3＝18C．a(chǎn)eq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝±eq\r(5) D．a(chǎn)eq\r(a)＋eq\f(1,a\r(a))＝2eq\r(5)【答案】ABD【解析】在選項(xiàng)A中，因?yàn)閍＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正確；在選項(xiàng)B中，因?yàn)閍＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正確；在選項(xiàng)C中，因?yàn)閍＋a－1＝3，所以(aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2))2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝eq\r(5)，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，因?yàn)閍3＋a－3＝18，且a＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\r(a)＋\f(1,a\r(a))))eq\s\up12(2)＝a3＋a－3＋2＝20，所以aeq\r(a)＋eq\f(1,a\r(a))＝2eq\r(5)，故D正確．5、SKIPIF1<0的值是____________．【答案】1【解析】SKIPIF1<0．6、計(jì)算：log5[4eq\f(1,2)log210－(3eq\r(3))eq\s\up6(\f(2,3))－7log72]＝________．【答案】0【解析】原式＝log5[2log210－(3eq\s\up6(\f(3,2)))eq\s\up6(\f(2,3))－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.7、（2012北京）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】2【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．考向一指數(shù)冪的運(yùn)算例1化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋0.002－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋π0(2)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1,2)）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0)(3)SKIPIF1<0eq\r(3,3\f(3,8))－π0；(4)SKIPIF1<0【解析】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\f(1,2)－eq\f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(2)原式＝eq\f((a3b2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3)))\s\up6(\f(1,2)),ab2a－\f(1,3)b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝eq\f(a,b).(3原式＝SKIPIF1<0=SKIPIF1<0－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.(4)原式＝SKIPIF1<0＝eq\f(1,a).變式1、．計(jì)算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）原式＝；（Ⅱ）原式＝．變式2、已知SKIPIF1<0＝3，求SKIPIF1<0的值．【解析】設(shè)SKIPIF1<0＝t，則SKIPIF1<0＝eq\f(1,t)，已知即t＋eq\f(1,t)＝3.于是，SKIPIF1<0＝t3＋eq\f(1,t3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2＋\f(1,t2)－1))，而x2＋x－2＝t4＋eq\f(1,t4)＝SKIPIF1<0－2,將t＋eq\f(1,t)＝3，平方得t2＋eq\f(1,t2)＋2＝9，于是t2＋eq\f(1,t2)＝7.從而，原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2＋\f(1,t2)))2－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2＋\f(1,t2)－1))－3)＝eq\f(72－2,3×（7－1）－3)＝eq\f(47,15).方法總結(jié)：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，這時(shí)要注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運(yùn)算的先后順序．(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)．(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．考向二對數(shù)的運(yùn)算例1、（1）化簡：eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg50－lg40)＝________．（2）化簡：SKIPIF1<0＝________．（3）設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0．【解析】（1）．原式＝eq\f(lg\f(2×5,8),lg\f(50,40))＝eq\f(lg\f(5,4),lg\f(5,4))＝1．（2）．SKIPIF1<0＝23·2log0．54＝8·SKIPIF1<0＝8·2－log24＝8·SKIPIF1<0＝8·eq\f(1,4)＝2．（3）．D由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm5＝logm10．∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，∴l(xiāng)ogm10＝2，∴m2＝10，m＝eq\r(10)．變式1、化簡下列各式：(1)eq\f(1,2)lg25＋lg2＋lgeq\r(10)＋lg(0.01)－1；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(3)計(jì)算(log32＋log92)·(log43＋log83)；（4）2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－3log55；【解析】(1)原式＝lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(25\f(1,2)×2×10\f(1,2)×（10－2）－1))＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2×10\f(1,2)×102))＝SKIPIF1<0＝eq\f(7,2).原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(log32＋log92)·(log43＋log83)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).（4）2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.變式2、(1)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－SKIPIF1<0；(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．【解析】(1)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(2)(方法1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·3log52＝13·eq\f(log55,log52)·log52＝13.(方法2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)·\f(lg5,lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3·\f(lg2,lg5)))＝13.方法總結(jié)：對數(shù)的運(yùn)算主要是要熟練掌握三條運(yùn)算性質(zhì)，不能把公式記錯(cuò)，當(dāng)然也有一定的運(yùn)算技巧，例如：(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并；(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．考向三指數(shù)是與對數(shù)式的綜合例3(1)已知a，b，c均為正數(shù)，且3a＝4b＝6c，求證：eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)；(2)若60a＝3，60b＝5，求SKIPIF1<0的值．【解析】(1)設(shè)3a＝4b＝6c＝k，則k>1.由對數(shù)定義得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log3k)＋eq\f(1,log4k)＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36.又eq\f(2,c)＝eq\f(2,log6k)＝2logk6＝logk36，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c).(2)由a＝log603，b＝log605，得1－b＝1－log605＝log6012，于是1－a－b＝1－log603－log605＝log604，則有eq\f(1－a－b,1－b)＝eq\f(log604,log6012)＝log124，∴12eq\s\up6(\f(1－a－b,2（1－b）))＝12eq\f(1,2)log124＝12log122＝2.變式1、設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于________.由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm5＝logm10.∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，∴l(xiāng)ogm10＝2，∴m2＝10，m＝eq\r(10).方法總結(jié)：這是一道關(guān)于指數(shù)式與對數(shù)式的混合問題，求解這類問題，以下兩點(diǎn)值得關(guān)注：1.根據(jù)對數(shù)的定義，對數(shù)式與指數(shù)式能夠相互轉(zhuǎn)化，其解答過程體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其核心是化生為熟、化難為易、化繁為簡，困難之處在于將指數(shù)由“高”降“低”，便于進(jìn)一步計(jì)算，這是指、對數(shù)運(yùn)算經(jīng)常使用的方法．2.不同底數(shù)的對數(shù)計(jì)算、化簡與恒等證明的常用方法是利用換底公式，先將底數(shù)統(tǒng)一，再利用同底的對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算和化簡，求得結(jié)果．1、（2013浙江）已知為正實(shí)數(shù)，則A．B．C．D．【答案】D【解析】取特殊值即可，如?。?、（2020全國Ⅰ文8）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 （）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴有SKIPIF1<0，故選B．3、（2017新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)SKIPIF1<0為正數(shù)，且SKIPIF1<0QUOTE，則A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為正數(shù)，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，排除A、B；只需比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，選D．4、（2017北京）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為SKIPIF1<0，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)SKIPIF1<0約為SKIPIF1<0．則下列各數(shù)中與SKIPIF1<0最接近的是（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0≈0．48）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，兩邊取對數(shù)得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最接近SKIPIF1<0，選D．5、（2020全國Ⅰ理12）若SKIPIF1<0，則 （）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【思路導(dǎo)引】設(shè)SKIPIF1<0，利用作差法結(jié)合SKIPIF1<0的單調(diào)性即可得到答案．【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為增函數(shù)，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SK