大學(xué)高等數(shù)學(xué)-01映射余函數(shù)-數(shù)列的極限-函數(shù)的極限課件

引言一、什么是高等數(shù)學(xué)?初等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為常量,以靜止觀點(diǎn)研究問(wèn)題.高等數(shù)學(xué)—研究對(duì)象為變量,運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.恩格斯笛卡兒目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊(cè))(下冊(cè))3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無(wú)窮級(jí)數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?1.認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門(mén)科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能達(dá)到真正完善的地步.第一節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束華羅庚華羅庚(1910～1985)我國(guó)在國(guó)際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻(xiàn),發(fā)表專(zhuān)著與學(xué)術(shù)論文近300篇.偏微分方多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué),典型群,他對(duì)青年學(xué)生的成長(zhǎng)非常關(guān)心,他提出治學(xué)之道是“寬,專(zhuān),漫”,即基礎(chǔ)要寬,專(zhuān)業(yè)要專(zhuān),要使自己的專(zhuān)業(yè)知識(shí)漫到其它領(lǐng)域.1984年來(lái)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)視察時(shí)給給師生題詞:“學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”.第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束映射與函數(shù)元素a屬于集合M,記作元素a不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱(chēng)為集合.組成集合的事物稱(chēng)為元素.不含任何元素的集合稱(chēng)為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱(chēng)為鄰域中心,

稱(chēng)為鄰域半徑.半開(kāi)區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或引例2.引例3.(點(diǎn)集)(點(diǎn)集)向y

軸投影機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱(chēng)為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱(chēng)為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱(chēng)為映射f

的定義域;Y

的子集稱(chēng)為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)映射若,則稱(chēng)f

為滿射;若有則稱(chēng)f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱(chēng)f

為雙射或一一映射.引例2,3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例2引例2例1.海倫公式例2.如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射(滿射)例3.如圖所示,則有(滿射)

(滿射)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束X(數(shù)集或點(diǎn)集

)說(shuō)明:在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束f稱(chēng)為X

上的泛函X(≠

)Xf稱(chēng)為X

上的變換

Rf稱(chēng)為定義在X

上的為函數(shù)映射又稱(chēng)為算子.名稱(chēng).例如,(2)復(fù)合映射機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束手電筒D引例.復(fù)合映射定義.則當(dāng)由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射

,時(shí),或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:

構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無(wú)定義并寫(xiě)出定義域及值域.定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)奇偶性且有若則稱(chēng)

f(x)為偶函數(shù);若則稱(chēng)f(x)為奇函數(shù).

說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,偶函數(shù)雙曲余弦記機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(4)周期性且則稱(chēng)為周期函數(shù)

,若稱(chēng)

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱(chēng)為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束—復(fù)合映射的特例②u

稱(chēng)為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱(chēng)為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱(chēng)為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學(xué),P17–P21)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)

作業(yè)

P216(5),(8),(10);8;10;11;15;18;19;20

2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且備用題證明證:

令則由消去得時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對(duì)稱(chēng),求證是周期函數(shù).證:由的對(duì)稱(chēng)性知于是故是周期函數(shù),周期為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束數(shù)列的極限數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當(dāng)

n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限逼近S

(劉徽割圓術(shù))

,當(dāng)n

>

N時(shí),用其內(nèi)接正

n

邊形的面積總有劉徽目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為數(shù)列,記作或稱(chēng)為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列收斂

,否則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱(chēng)該數(shù)列的極限為a,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N

與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N

時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開(kāi)區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說(shuō)明:

此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西審斂準(zhǔn)則.則原數(shù)列一定發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:1.夾逼準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)

(P49)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

)

(P52)

(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P52～P54)證:利用二項(xiàng)式公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無(wú)理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)

(P55)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”

定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時(shí),下述作法是否正確?說(shuō)明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用數(shù)學(xué)歸納法證第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故極限存在，備用題

1.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.

設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消”法劉徽(約225–295年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫(xiě)的《重差》對(duì)《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)

校編寫(xiě)的《分析教程》,《無(wú)窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書(shū)7本,

第一章一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過(guò)程的六種形式:二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義引例.

測(cè)量正方形面積.面積為A)邊長(zhǎng)為(真值:邊長(zhǎng)面積直接觀測(cè)值間接觀測(cè)值任給精度

,要求確定直接觀測(cè)值精度

:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱(chēng)常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí),因此總有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.保號(hào)性定理定理1.若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)(P37定理3)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論:(P3