專升本中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)教案課件

會(huì)計(jì)學(xué)1專升本中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用會(huì)計(jì)學(xué)1專升本中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§1微分中值定理1.1羅爾(Rolle)定理21.2拉格朗日(Lagrange)中值定理

1.3柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)第1頁(yè)/共79頁(yè)§1微分中值定理1.1羅爾(Rolle)定理21.2拉格朗日1.1羅爾(Rolle)定理

使得

圖1在定理的條件下,區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)具有水平切線。

幾何意義：定理1(Rolle)若函數(shù)滿足條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)則至少存在一點(diǎn)第2頁(yè)/共79頁(yè)1.1羅爾(Rolle)定理使得圖1在定理有且僅有兩個(gè)實(shí)根，并指出根存在的區(qū)間.例1設(shè)，證明證

方程有解在區(qū)間和上用定理1，可知

使得

有且僅有兩個(gè)根，且分別位于和內(nèi)。又為二次函數(shù)，最多有兩個(gè)實(shí)根，故第3頁(yè)/共79頁(yè)有且僅有兩個(gè)實(shí)根，并指出根存在的區(qū)間.例1設(shè)，證明證方程1.2拉格朗日中值定理或?qū)懗?/p>

上述公式稱為拉格朗日中值公式。（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得定理2(Lagrange)設(shè)函數(shù)滿足條件：也成立.且對(duì)于第4頁(yè)/共79頁(yè)1.2拉格朗日中值定理或?qū)懗缮鲜龉椒Q為拉格朗日中值公式。0ABNM幾何意義:如果連續(xù)曲線上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線,則圖2推論設(shè)函數(shù)即其中C為常數(shù).在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且為常數(shù).則在內(nèi)第5頁(yè)/共79頁(yè)0ABNM幾何意義:如果連續(xù)曲線上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸例2

驗(yàn)證函數(shù)

在區(qū)間上滿足拉證為二次函數(shù)，故在上連續(xù),滿足定理2的條件，從而

使得由得格朗日中值定理的條件,并求出定理中的值.在內(nèi)可導(dǎo),第6頁(yè)/共79頁(yè)例2驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間上滿足拉證為二次函數(shù)，故在上連續(xù),滿足例3證明證令,即所以又第7頁(yè)/共79頁(yè)例3證明證令,即所以又第7頁(yè)/共79頁(yè)證由上式得例4證明:當(dāng)時(shí),第8頁(yè)/共79頁(yè)證由上式得例4證明:當(dāng)時(shí),第8頁(yè)/共79頁(yè)§2洛必達(dá)法則定義第9頁(yè)/共79頁(yè)§2洛必達(dá)法則定義第9頁(yè)/共79頁(yè)函數(shù)之商的極限

導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)洛必達(dá)法則本節(jié)研究:第10頁(yè)/共79頁(yè)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限轉(zhuǎn)化(或2.1型未定式

定理1設(shè)滿足條件:(2)在點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo),且的某個(gè)去心鄰域(3)存在或?yàn)閯t存在(或?yàn)?,且第11頁(yè)/共79頁(yè)2.1型未定式定理1設(shè)滿足條件:(2)在點(diǎn)內(nèi)例1求解例2求解第12頁(yè)/共79頁(yè)例1求解例2求解第12頁(yè)/共79頁(yè)例3求解注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!第13頁(yè)/共79頁(yè)例3求解注意:不是未定式不能用洛必達(dá)法則!第13頁(yè)/2.2型未定式

定理2

設(shè)滿足條件:

(3)存在或?yàn)?/p>

(2)在點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo),且的某個(gè)去心鄰域則存在(或?yàn)?,且第14頁(yè)/共79頁(yè)2.2型未定式

定理2設(shè)例4求解例5求,得解令第15頁(yè)/共79頁(yè)例4求解例5求,得解令第15頁(yè)/共79頁(yè)2.3其它類型的末定式提示:對(duì)型，再利用洛必達(dá)法則求值。

,先將其轉(zhuǎn)化為解決方法:轉(zhuǎn)化取倒數(shù)即第16頁(yè)/共79頁(yè)2.3其它類型的末定式提示:對(duì)型，再利用洛必達(dá)法則求值。例7求解若遇有對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù),取倒數(shù)時(shí)一般應(yīng)將對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)保留在分子.提示第17頁(yè)/共79頁(yè)例7求解若遇有對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù),取倒數(shù)時(shí)一般應(yīng)將對(duì)例8求解一般是通過通分或有理化的方法將其化為型.解決方法:第18頁(yè)/共79頁(yè)例8求解一般是通過通分或有理化的方法將其化為型.解決方先取對(duì)數(shù),將其轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為

型.

解決方法:第19頁(yè)/共79頁(yè)先取對(duì)數(shù),將其轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為型.解決方法:第19頁(yè)/共7例9求解設(shè)于是,取對(duì)數(shù)得第20頁(yè)/共79頁(yè)例9求解設(shè)于是,取對(duì)數(shù)得第20頁(yè)/共79頁(yè)10第21頁(yè)/共79頁(yè)10第21頁(yè)/共79頁(yè)例11求提示:先作一個(gè)等價(jià)無窮小代替，再用洛必達(dá)法則.

解第22頁(yè)/共79頁(yè)例11求提示:先作一個(gè)等價(jià)無窮小代替，再用洛必達(dá)法則.例如,而用洛必達(dá)法則1)

在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計(jì)算問題.說明:第23頁(yè)/共79頁(yè)例如,而用洛必達(dá)法則1)在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法例12極限不存在2)若第24頁(yè)/共79頁(yè)例12極限不存在2)若第24頁(yè)/共79頁(yè)§3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)3.1函數(shù)的單調(diào)性

第25頁(yè)/共79頁(yè)§3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)3.1函數(shù)的單調(diào)性例1判定函數(shù)解函數(shù)的定義域?yàn)?又均為弧立點(diǎn),

在內(nèi),函數(shù)單調(diào)增加

.的單調(diào)性。第26頁(yè)/共79頁(yè)例1判定函數(shù)解函數(shù)的定義域?yàn)?又均為弧立點(diǎn),在導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．問題:如上圖，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.方法:用方程f

′(x)=0的根及f

′(x)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。

第27頁(yè)/共79頁(yè)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．問例確定函數(shù)f(x)=2x3–9x2+12x–3的單調(diào)區(qū)間.

解：f′(x)=

6x2–18x+12

=6(x–1)(x–2)

令

f′(x)=0，得x=1，x=2，

xf′(x)f(x)12(–∞,1)(1,2)(2,+∞)+

–

+

0021故

f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(–∞,1)，(2,+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(1,2).列表討論第28頁(yè)/共79頁(yè)例確定函數(shù)f(x)=2x3–9x2+(1)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外，也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例如，(2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)，則不改變函數(shù)的單調(diào)性。例如，說明：第29頁(yè)/共79頁(yè)(1)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外，也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。例例1解第30頁(yè)/共79頁(yè)例1解第30頁(yè)/共79頁(yè)列表可使問題明朗化第31頁(yè)/共79頁(yè)列表可使問題明朗化第31頁(yè)/共79頁(yè)

函數(shù)的單調(diào)性在證明中的應(yīng)用1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例3證明：當(dāng)證取在區(qū)間上單調(diào)增加，從而即當(dāng)時(shí),有第32頁(yè)/共79頁(yè)函數(shù)的單調(diào)性在證明中的應(yīng)用1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式小結(jié)

利用函數(shù)增減性證明函數(shù)不等式（在某指定區(qū)間內(nèi)）的步驟為:(1)移項(xiàng)，使不等式一邊為0,另一邊設(shè)為函數(shù)；

作比較即得所證。(2)求在所指定區(qū)間的增減性；,并驗(yàn)證(3)求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后由單調(diào)性第33頁(yè)/共79頁(yè)小結(jié)利用函數(shù)增減性證明函數(shù)不等式（在某指定區(qū)間內(nèi)）的步驟為2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明方程根的唯一性

例1試證方程有且僅有一個(gè)根。

證令,有軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，即

與在上單調(diào)增加，因此曲線有一個(gè)實(shí)根.又

最多即c為上方程的根。故方程有且只有一個(gè)根.

在由零點(diǎn)定理可知，

,使上連續(xù),第34頁(yè)/共79頁(yè)2.利用函數(shù)的單調(diào)性證明方程根的唯一性例1試證方程有且36由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根。例2證第35頁(yè)/共79頁(yè)36由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根3.2函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,

如果存在點(diǎn)的某個(gè)鄰域

,使得對(duì)于

,有,則稱為的極小值.

稱為的極小值點(diǎn);,則稱若對(duì)的極大值.

稱為的極大值點(diǎn).

為極大值和極小值統(tǒng)稱為極值;極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。第36頁(yè)/共79頁(yè)3.2函數(shù)的極值定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間3.2函數(shù)的極值

第37頁(yè)/共79頁(yè)3.2函數(shù)的極值第37頁(yè)/共79頁(yè)第38頁(yè)/共79頁(yè)第38頁(yè)/共79頁(yè)第39頁(yè)/共79頁(yè)第39頁(yè)/共79頁(yè)第40頁(yè)/共79頁(yè)第40頁(yè)/共79頁(yè)(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)+

–

+

+

+

–

–

–

第41頁(yè)/共79頁(yè)(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)+–+及不存在的點(diǎn)。第42頁(yè)/共79頁(yè)及不存在的點(diǎn)。第42頁(yè)/共79頁(yè)解

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

令,得駐點(diǎn)

.例5求函數(shù)的極值。+0－0+↗有極大值↘有極小值↗1列表討論:

在處取得極大值在處取得極小值第43頁(yè)/共79頁(yè)解函數(shù)的定義域?yàn)榱?得駐點(diǎn)解在內(nèi)連續(xù).當(dāng)

時(shí),例6求函數(shù)的極值。當(dāng)時(shí),不存在.令,有.第44頁(yè)/共79頁(yè)解在內(nèi)連續(xù).當(dāng)時(shí),例6求函數(shù)的列表討論如下:

不存在0↘極小值—2↗極大值0↘極小值－2↗(0,1)01++－－0在處取得極大值

.可知在處取得極小值

,第45頁(yè)/共79頁(yè)列表討論如下:

不存↘極小↗極大↘極小值↗(0,1)01++第46頁(yè)/共79頁(yè)第46頁(yè)/共79頁(yè)定理4(第二充分條件)設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且,那末(3)當(dāng)時(shí),

可能是極值,也可能不是極值.(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.

(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;第47頁(yè)/共79頁(yè)定理4(第二充分條件)設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且,解令是函數(shù)的極大值點(diǎn),為極大值;

是函數(shù)的極小值點(diǎn),為極小值.例7求函數(shù)的極值。第48頁(yè)/共79頁(yè)解令是函數(shù)的極大值點(diǎn),為列表討論單調(diào)性,判別極值:例5解第49頁(yè)/共79頁(yè)列表討論單調(diào)性,判別極值:例5解第49頁(yè)/共79頁(yè)極小極小極大自己總結(jié)求極值的步驟第50頁(yè)/共79頁(yè)極小極小極大自己總結(jié)求第50頁(yè)/共79頁(yè)例6解第51頁(yè)/共79頁(yè)例6解第51頁(yè)/共79頁(yè)在工程技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中,常常需要考慮在一定條件下,怎樣才能使用料最少、費(fèi)用最省,而效率和效益最高等問題.這些問題反映到數(shù)學(xué)上就是最優(yōu)化問題.

優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用價(jià)值很大三、函數(shù)的最大、最小值第52頁(yè)/共79頁(yè)在工程技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中,常常需要考慮在一定條件下,怎求最值的幾個(gè)特殊情況極大(小)值點(diǎn),則該點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).第53頁(yè)/共79頁(yè)求最值的幾個(gè)特殊情況極大(小)值點(diǎn),則該點(diǎn)就是函數(shù)的最實(shí)際判斷原則第54頁(yè)/共79頁(yè)實(shí)際判斷原則第54頁(yè)/共79頁(yè)計(jì)算函數(shù)值:(端點(diǎn)值)例8解第55頁(yè)/共79頁(yè)計(jì)算函數(shù)值:(端點(diǎn)值)例8解第55頁(yè)/共79頁(yè)沒有什么新的東西第56頁(yè)/共79頁(yè)沒有什么新的東西第56頁(yè)/共79頁(yè)4.3函數(shù)的最大值和最小值求最值的一般步驟:2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值;設(shè)在上連續(xù).1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn):;上的最大值,最小者為最小值.即

3.比較它們的大小,其中最大者為在第57頁(yè)/共79頁(yè)4.3函數(shù)的最大值和最小值求最值的一般步驟:2.求區(qū)間端點(diǎn)及例8求函數(shù)在上的最大值、最小值.解不予考慮.又

上的最大值和最小值.故和分別為在第58頁(yè)/共79頁(yè)例8求函數(shù)在上的最大值、最小值.解不予考慮.又第59頁(yè)/共79頁(yè)第59頁(yè)/共79頁(yè)dhb解

由,得及令,得例9把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁,問矩形截面的高h(yuǎn)和寬d應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大？(抗彎截面模量為第60頁(yè)/共79頁(yè)dhb解由,得及令,得例9把一根直徑為d的圓木鋸成由于梁的最大抗彎截面模量一定存在，又在內(nèi)只有一個(gè)根

得的值最大。由時(shí),從而有

第61頁(yè)/共79頁(yè)由于梁的最大抗彎截面模量一定存在，又在內(nèi)只有一個(gè)根(k

為某一常數(shù))AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點(diǎn)D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20解:

設(shè)則總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,問km,公路,例10鐵路上AB段的距離為120km,工廠C

距A處20第62頁(yè)/共79頁(yè)(k為某一常數(shù))AC⊥AB,要在AB線上選定一令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.從而為最小點(diǎn),第63頁(yè)/共79頁(yè)令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD65