我的柱體錐體臺(tái)體球體體積-完整版課件

S1祖暅原理夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。

夾在平行平面α、β間的兩個(gè)幾何體，被平行于α、β的任何一個(gè)平面所截，如果截面（陰影部分）的面積S1=S2，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等。祖暅S2αβ我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之在計(jì)算圓周率等問(wèn)題方面有光輝的成就。祖沖之的兒子祖暅也在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)。祖暅在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了這個(gè)體積計(jì)算原理。祖暅提出這個(gè)原理，要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年。在歐洲知道17世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年~1647年）提出上述結(jié)論

（429年~500年）取一摞書放在桌面上，將它如圖那樣改變一下形狀，這時(shí)高度沒(méi)有改變，每頁(yè)紙的面積也沒(méi)有改變，因而這摞書的體積與變形前相等。例如：柱體的體積公式

設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使它們的下底面在同一個(gè)平面α內(nèi)（右圖）其中S是柱體的底面積，h是柱體的高sss

根據(jù)祖暅原理，可知它們的體積相等。由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘于高，于是我們得到柱體的體積公式V柱體=S?h錐體的體積公式

設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的兩個(gè)錐體，使它們的底面在同一個(gè)平面α內(nèi)。α為了求錐體的體積公式,我們先研究等底等高的任意兩個(gè)錐體體積之間的關(guān)系!根據(jù)祖暅原理，可推導(dǎo)出定理。等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等。S1S2S1=S2定理：將一個(gè)三棱柱按如圖所示分解成三個(gè)三棱錐，那么這三個(gè)三棱錐的體積有什么關(guān)系？它們與三棱柱的體積有什么關(guān)系？

123123錐體經(jīng)探究得知，棱錐(圓錐)是同底等高的棱柱(圓柱)的，即棱錐(圓錐)的體積：（其中S為底面面積，h為高）

由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的．臺(tái)體關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理：（1）相同的幾何體的體積相等；（2）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和；（3）等底面積等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等；（4）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.

臺(tái)體體積由于圓臺(tái)(棱臺(tái))是由圓錐(棱錐)截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差．得到圓臺(tái)(棱臺(tái))的體積公式(過(guò)程略)．根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式其中，分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）的高．臺(tái)體體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？S為底面面積，h為柱體高S分別為上、下底面面積，h為臺(tái)體高S為底面面積，h為錐體高臺(tái)體體積上底擴(kuò)大上底縮小例3有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（取3.14）？解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即:所以螺帽的個(gè)數(shù)為（個(gè)）答：這堆螺帽大約有252個(gè)．典型例題例：一個(gè)幾何體的三視圖及相關(guān)尺寸如圖所示:俯視圖這個(gè)幾何體是_______，它的表面積是_________，它的體積是_________.正視圖側(cè)視圖2cm2cm正四棱錐變式1：一幾何體的三視圖及相關(guān)尺寸如圖所示:俯視圖這個(gè)幾何體是_______，它的表面積是_________，它的體積是_________.正視圖側(cè)視圖2cm2cm由正四棱錐和長(zhǎng)方體組合而成1cm例3在底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，求：此棱柱的體積V；點(diǎn)B到平面AB1C的距離。B1A1ABD1DC1CVB-AB1C=VB1-ABC

=VA-BB1C

=VC-ABB1

變式3

已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)為，求：此棱錐的體積V；點(diǎn)S到底面ABC的距離。VS-ABC=VB-SAC

=VA-SBC

=VC-SABSABCO例5：

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，求分別以三角形的三邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積。543543354ABCBACCAB思考：2.一個(gè)正方體和一個(gè)圓柱等高,并且側(cè)面積相等。比較它們的體積哪個(gè)大？為什么？3.求證:經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方體相對(duì)兩個(gè)面的中心的任意平面,把長(zhǎng)方體分成體積相等的兩個(gè)柱體。PQ1.用棱長(zhǎng)為1的正方體的體積作為單位體積，下圖長(zhǎng)方體的體積的數(shù)值為24.假如將體積單位改用棱長(zhǎng)為2的正方體的體積，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積變?yōu)槎嗌?？如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？為什么？問(wèn)題一實(shí)際問(wèn)題

一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球，球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？問(wèn)題二實(shí)際問(wèn)題球的體積球的表面積例4：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：（1）球的體積等于圓柱體積的（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.球的體積

例5某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個(gè)鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的．如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（π取3.14，結(jié)果精確到1cm）．

解：由于外徑為50cm的鋼球的質(zhì)量為：街心花園中鋼球的質(zhì)量為145000g，而145000<517054，所以鋼球是空心的．球的表面積

例5某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9g/cm3），每個(gè)鋼球重145kg，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的．如果是實(shí)心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（π取3.14，結(jié)果精確到1cm）．解：設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：

答：鋼球是空心的．其內(nèi)徑約為45cm．

例6

如圖表示一個(gè)用鮮花作成的花柱，它的下面是一個(gè)直徑為1m、高為3m的圓柱形物體，上面是一個(gè)半球形體．如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花（π取3.1)？

解：圓柱形物體的側(cè)面面積半球形物體的表面積為答：裝飾這個(gè)花柱大約需要1635朵鮮花．球的表面積(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.(3)若兩球表面積之