結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座

第10章結(jié)構(gòu)動力學(xué)

Structuraldynamics§10-1概述§10-2體系動力自由度§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立§10-4單自由度體系自由振動§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動§10-6多自由度體系自由振動§10-7振型正交型§10-8多自由度體系強(qiáng)迫振動§10-9無限自由度體系自由振動§10-10自振頻率近似計算結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第1頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-1概述1.結(jié)構(gòu)動力學(xué)介紹結(jié)構(gòu)動力學(xué)是結(jié)構(gòu)力學(xué)一個分支，著重研究結(jié)構(gòu)對于動荷載響應(yīng)（如位移、應(yīng)力等時間歷程），方便確定結(jié)構(gòu)承載能力和動力學(xué)特征，或?yàn)楦倪M(jìn)結(jié)構(gòu)性能提供依據(jù)。結(jié)構(gòu)動力學(xué)與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)主要區(qū)分在于它要考慮結(jié)構(gòu)因振動而產(chǎn)生慣性力和阻尼力。結(jié)構(gòu)動力學(xué)與剛體動力學(xué)主要區(qū)分在于它要考慮結(jié)構(gòu)因變形而產(chǎn)生彈性力。結(jié)構(gòu)動力學(xué)發(fā)展簡況任何結(jié)構(gòu)所受載荷都含有不一樣程度動載荷性質(zhì)，有不少結(jié)構(gòu)主要在振動環(huán)境下工作。所以，結(jié)構(gòu)動力學(xué)內(nèi)容十分豐富，包括面很廣，其研究對象遍布土木、機(jī)械、運(yùn)輸、航空和航天等工程領(lǐng)域，而研究方法又同材料學(xué)、數(shù)學(xué)和力學(xué)親密相關(guān)。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第2頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-1概述結(jié)構(gòu)動力學(xué)發(fā)展簡況早在18世紀(jì)后半葉，瑞士丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli，1700～1782）首先研究了棱柱桿側(cè)向振動微分方程。瑞士L.歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）求解了這個方程并建立了計算棱柱桿側(cè)向振動固有頻率公式。1877～1878年間，英國瑞利（BaronRayleigh，1842～1919）發(fā)表了兩卷《聲學(xué)理論》，書中詳細(xì)地討論了諸如桿、梁、軸、板等彈性體振動理論，并提出了著名瑞利方法。19瑞士W.里茲（WalterRitz，1878～1909）提出了一個求解變分問題近似方法，以后被稱作瑞利－里茲法,這個方法實(shí)際上推廣了瑞利方法，在很多學(xué)科中（包含結(jié)構(gòu)動力學(xué)）發(fā)揮了巨大作用。1928年，S.P.鐵木辛柯（StephenProkofievitchTimoshenko，1878～1972）發(fā)表了《工程中振動問題》一書，總結(jié)了彈性體振動理論及其在工程中應(yīng)用情況。近幾十年來，因?yàn)楣こ虒?shí)踐需要和科學(xué)探索興趣，人們進(jìn)行了大量試驗(yàn)和理論研究工作，使這門學(xué)科在實(shí)踐和理論分析上都取得了高度發(fā)展。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第3頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-1概述2.動力荷載及其分類荷載有三個要素，即大小、方向和作用點(diǎn)。假如這些原因伴隨時間遲緩改變，則在求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)時，可把荷載作為靜載荷處理以簡化計算。假如三要素伴隨時間改變較快，作用結(jié)果使受荷物體產(chǎn)生質(zhì)量加速度不可忽略，那么該荷載就稱為動力荷載。嚴(yán)格地講，幾乎全部荷載都屬于動荷載。重力除外。荷載改變是否“遲緩”，只是一個相正確概念。假如荷載改變周期在結(jié)構(gòu)自由振動周期五、六倍以上，把它看成靜載荷將不會帶來多少誤差。若載荷改變周期靠近于結(jié)構(gòu)自由振動周期，即使載荷很小，結(jié)構(gòu)也會因共振而產(chǎn)生很大響應(yīng)，因而必須視為動力荷載，用結(jié)構(gòu)動力學(xué)方法加以分析。靜荷載只與作用位置相關(guān)，而動荷載是坐標(biāo)和時間函數(shù)。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第4頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-1概述2.動力荷載及其分類動力荷載分類方法有很各種，常見是按動力作用隨時間改變規(guī)律來分。周期性荷載：其特點(diǎn)是在屢次循環(huán)中荷載相繼展現(xiàn)相同時間歷程。如旋轉(zhuǎn)機(jī)械裝置因質(zhì)量偏心而引發(fā)離心力。

周期性荷載又可分為簡諧荷載和非簡諧周期荷載，全部非簡諧周期荷載均可借助Fourier級數(shù)分解成一系列簡諧荷載之和。沖擊和突加載荷：

其特點(diǎn)是荷載大小在極短時間內(nèi)有較大改變。沖擊波或爆炸是沖擊載荷經(jīng)典起源；吊車制動力對廠房水平作用是經(jīng)典突加荷載。隨機(jī)載荷：其時間歷程不能用確定時間函數(shù)而只能用統(tǒng)計信息描述。風(fēng)荷載和荷載均屬這類。對于隨機(jī)荷載，需要依據(jù)大量統(tǒng)計資料制訂出對應(yīng)荷載時間歷程（荷載譜）。前兩種荷載屬于確定性荷載，能夠從運(yùn)動方程解出位移時間歷程并深入求出應(yīng)力時間歷程。

隨機(jī)荷載屬于非確定性荷載，只能求出位移響應(yīng)統(tǒng)計信息而不能得到確定時間歷程，因而須作專門分析才能求出應(yīng)力響應(yīng)統(tǒng)計信息。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第5頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-1概述3.結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究內(nèi)容結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究內(nèi)容包含試驗(yàn)研究和理論分析兩個方面。試驗(yàn)研究當(dāng)前材料和結(jié)構(gòu)阻尼特征測定、振動環(huán)境試驗(yàn)等工作，主要依靠試驗(yàn)研究。理論分析：研究動荷載作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)規(guī)律。動力響應(yīng)包含動內(nèi)力、動位移、結(jié)構(gòu)振動速度和加速度等。動力響應(yīng)除了與動荷載相關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)所固有動力特征相關(guān)。結(jié)構(gòu)動力特征包含自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。按計算分析特征，結(jié)構(gòu)動力分析可分為以下四類問題。反應(yīng)分析輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）參數(shù)識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）荷載識別輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）反問題正問題控制問題輸入（動力荷載）結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）輸出（動力反應(yīng)）控制系統(tǒng)（裝置、能量）阻振（附加阻尼）隔振（振源與系統(tǒng)間加子系統(tǒng)）吸振（附加子系統(tǒng)）結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第6頁§10-1概述結(jié)構(gòu)振動控制應(yīng)用現(xiàn)實(shí)狀況土木工程中結(jié)構(gòu)控制概念是美國學(xué)者J.T.P.Yao在1972年首先提出來。結(jié)構(gòu)振動控制分為被動控制、主動控制、混合控制和智能控制等。被動控制是無外加能源控制，其控制力因控制裝置本身隨結(jié)構(gòu)一起振動變形而被動產(chǎn)生。被動裝置簡單易行，但控制效果受到限制。主動控制需要外加能源，又稱有源控制。主動控制效果顯著，但有時因?yàn)榭刂屏^大或成本太高而無法實(shí)現(xiàn)。混合控制就是將兩種以上控制系統(tǒng)結(jié)合起來控制結(jié)構(gòu)振動反應(yīng)?；旌峡刂颇軌蚶脙煞N系統(tǒng)各自優(yōu)點(diǎn)，拓寬了控制系統(tǒng)應(yīng)用范圍、既確保了控制效果又降低了控制力。智能控制近年來剛開始研究和利用。結(jié)構(gòu)智能控制系統(tǒng)以智能材料和器件應(yīng)用為突出標(biāo)志?？捎糜谥谱骺刂蒲b置智能驅(qū)動材料主要有電(磁)流變液體、形狀記憶合金、壓電材料、磁滯伸縮材料、可收縮膨脹聚合膠體等。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第7頁§10-1概述結(jié)構(gòu)振動控制工程應(yīng)用實(shí)例臺北101大樓，地上101層、地下5層，高度509米第88~92層之間有一顆巨大‘金色大球’，由實(shí)心鋼板堆焊而成，直徑約5.4米，重達(dá)680噸，價值400W美元。其實(shí)質(zhì)是調(diào)質(zhì)阻尼器TMD（TunedMassDamper），作用是減輕颶風(fēng)、地震給大樓帶來震動。世界上最大最重TMD第一個外露并可供觀賞TMD阻尼器最大擺幅150cm降低大樓擺動幅度最高達(dá)40%TMD又稱為固體阻尼器，液體阻尼器TLD（

TunedLiquidDamper）工程中也有應(yīng)用。調(diào)質(zhì)阻尼器按開啟機(jī)制可分為被動式調(diào)質(zhì)阻尼器（PassiveTunedMassDamper）和主動式調(diào)質(zhì)阻尼器（ActiveTunedMassDamper）。臺北101所采取是被動式調(diào)質(zhì)阻尼器。世界上采取被動式TMD其它代表性建筑有：加拿大多倫多CNTower、日本大阪CrystalTower、澳洲悉尼CenterpointTower、美國紐約CiticorpCenter、日本明石海峽大橋AkashiKaikyoBridge，等等。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第8頁§10-1概述結(jié)構(gòu)振動控制工程應(yīng)用實(shí)例主動式調(diào)質(zhì)阻尼器工作原理臺灣高雄東帝士85摩天大樓、日本大阪HankyuChayamachiBuilding是設(shè)有主動式調(diào)質(zhì)阻尼器建筑物。地面、大樓裝有偵測器（sensor）中央控制室電腦能夠計算位移，并調(diào)整阻尼系統(tǒng)運(yùn)作。頂部anemometer是風(fēng)速計，相關(guān)風(fēng)速資訊亦傳至電腦。智能控制中當(dāng)前代表性智能阻尼器主要有磁流變液阻尼器和壓電變摩擦阻尼器。磁流變液阻尼器已經(jīng)應(yīng)用于日本KeioUniversity（(慶應(yīng)義塾大學(xué)）一棟居住建筑中。世界上第一幢采取AMD系統(tǒng)建筑物是1989年口本Kajima建筑企業(yè)建造11層辦公大樓KyobasiSeiwa—京橋成和大廈。該建筑物頂層設(shè)置兩個AMD系統(tǒng)，頂層中部AMD系統(tǒng)質(zhì)量為4000kg，用于控制結(jié)構(gòu)側(cè)向振動，頂層側(cè)部AMD系統(tǒng)質(zhì)量為1000kg，用于控制結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第9頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-1概述4.本課程內(nèi)容—基于桿系結(jié)構(gòu)動力學(xué)基礎(chǔ)研究問題自由振動：外部起振后，再沒有外力振動。強(qiáng)迫振動：振動過程中，有外部干擾力作用。計算內(nèi)容確定結(jié)構(gòu)動力特征，即結(jié)構(gòu)自振頻率、振型和阻尼參數(shù)等。計算結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)，即結(jié)構(gòu)在動荷載作用下動內(nèi)力、動位移等。5.與其它課程之間關(guān)系結(jié)構(gòu)動力學(xué)以結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。要求熟練掌握已學(xué)過結(jié)構(gòu)力學(xué)知識和數(shù)學(xué)知識（微分方程求解）。結(jié)構(gòu)動力學(xué)作為結(jié)構(gòu)抗震、抗風(fēng)設(shè)計計算基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第10頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-2體系動力自由度1.動力自由度定義動力問題基本特征是需要考慮慣性力，依據(jù)達(dá)朗貝爾（D‘AlembertJeanLeRond）原理，慣性力與質(zhì)量和加速度相關(guān)，這就要求分析質(zhì)量分布和質(zhì)量位移，所以，動力學(xué)普通將質(zhì)量位移作為基本未知量。確定體系中全部質(zhì)量位置所需要獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，成為體系動力自由度。2.動力自由度簡化方法嚴(yán)格意義上講，實(shí)際結(jié)構(gòu)都是含有分布質(zhì)量彈性體，是無限自由度體系。實(shí)際結(jié)構(gòu)動力自由度簡化方法有：應(yīng)用中存在問題：（1）計算復(fù)雜，有時甚至無法求解析解；

（2）從工程角度沒有必要。故，實(shí)際結(jié)構(gòu)通常簡化成有限自由度體系。集中質(zhì)量法廣義坐標(biāo)法有限單元法結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第11頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-2體系動力自由度集中質(zhì)量法：將分布質(zhì)量按力系等效標(biāo)準(zhǔn)集聚于有限個離散質(zhì)點(diǎn)或塊，而把結(jié)構(gòu)本身看作是僅含有彈性性能無質(zhì)量系統(tǒng)。3層框架樓面剛度和質(zhì)量比柱子大集中質(zhì)量法是一個物理簡化方法假定剛梁質(zhì)量向樓面集中動力自由度＝34等分，向分段兩端集中動力自由度＝34等分，向分段中心集中動力自由度＝4例：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第12頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-2體系動力自由度廣義坐標(biāo)法：以圖示簡支梁無限自由度體系為例說明。廣義坐標(biāo)法是一個數(shù)學(xué)簡化方法設(shè)梁上任一點(diǎn)位移可分離變量，即簡化系統(tǒng)自由度就是廣義坐標(biāo)數(shù)?；瘮?shù)要求：⑴滿足位移邊界條件；

⑵線性無關(guān)。

本例簡支梁可取正弦級數(shù)為基函數(shù)?！瓕τ谫|(zhì)量分布比較均勻，形狀規(guī)則且邊界條件易于處理結(jié)構(gòu)，這種方法很有效。式中：為已知基函數(shù)；為待定系數(shù)，它表示對應(yīng)基函數(shù)幅值，稱為廣義坐標(biāo)。可用滿足位移邊界條件“基函數(shù)”線性組合迫近，即例：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第13頁有限單元法也是一個數(shù)學(xué)簡化方法/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-2體系動力自由度有限單元法：能夠看作是分區(qū)廣義坐標(biāo)法，其關(guān)鍵點(diǎn)與靜力問題一樣，是先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)數(shù)量區(qū)域（稱為單元），然后對每一單元施行廣義坐標(biāo)法。詳見有限單元法參考資料，這里不再贅述。本課程主要討論集中質(zhì)量法。對集中質(zhì)量而言，自由度并不難了解，但假如錯誤判斷了自由度個數(shù)，象超靜定問題基本未知量數(shù)量一樣，因?yàn)樗e誤，后面再算是無意義。所以，必須熟練地掌握自由度確實(shí)定。普通地說，有限元法是最靈活有效離散化方法，它提供了既方便又可靠理想化模型，并尤其適合于用電子計算機(jī)進(jìn)行分析，是當(dāng)前最為流行方法，已經(jīng)有不少專用或通用程序可供結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析之用。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第14頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-2體系動力自由度確定動力自由度注意問題：

⑴動力自由度與體系是靜定還是超靜定無關(guān)。均1個動力自由度動力自由度各為多少？⑵動力自由度與集中質(zhì)量數(shù)量相關(guān)，但無確切關(guān)系。1個質(zhì)量，2個自由度3個質(zhì)量，4個自由度自由度>質(zhì)量數(shù)4個質(zhì)量，2個自由度自由度<質(zhì)量數(shù)超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第15頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-2體系動力自由度【練習(xí)】試確定圖示體系動力自由度。

2個動力自由度2個動力自由度1個動力自由度2個動力自由度【課堂練習(xí)】TextBookP.151,習(xí)題10-5結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第16頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立1.體系振動衰減、阻尼力振動衰減現(xiàn)象:

結(jié)構(gòu)自由振動時，振幅隨時間逐步減小，直至為零（在平衡位置靜止）。問題本質(zhì):

振幅位置勢能最大；平衡位置動能最大；

動、勢能轉(zhuǎn)化過程中有能量損耗。引發(fā)能量損耗原因:⑴結(jié)構(gòu)材料非彈性變形：局部塑性變形、內(nèi)部摩擦力等⑵周圍介質(zhì)對振動阻力⑶支承、結(jié)點(diǎn)等構(gòu)件連接處摩擦力

⑷地基土內(nèi)摩擦阻力，等等。

以上原因統(tǒng)稱為阻尼。結(jié)構(gòu)阻尼是描述振動系統(tǒng)在振動時能量損耗總稱。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第17頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立1.體系振動衰減、阻尼力阻尼理論：明確了阻尼本質(zhì)，還需要尋求合理表示方法。經(jīng)過近百年研究，已經(jīng)提出了各種各樣阻尼表示方法，主要分為兩大類：粘滯阻尼和滯回阻尼(復(fù)阻尼)。

本課程采取粘滯阻尼理論。粘滯阻尼不論對簡諧振動還是非簡諧振動得到振動方程均是線性方程，不但求解方便，而且能夠方便地表示阻尼對頻率、共振等影響。所以粘滯阻尼是當(dāng)前應(yīng)用最為廣泛阻尼模型。經(jīng)過將阻尼系數(shù)與結(jié)構(gòu)體系質(zhì)量、剛度相聯(lián)絡(luò)，能夠方便地結(jié)構(gòu)出詳細(xì)阻尼系數(shù)。這是當(dāng)前最慣用粘滯阻尼表示方法。粘滯阻尼假定阻尼力與速度成正比，方向與運(yùn)動方向相反，即滯回阻尼假定應(yīng)力應(yīng)變間存在一個相位差，從而振動一周有耗能發(fā)生。前人已經(jīng)提出了各種各樣滯回阻尼模型，能夠得到不隨頻率改變振型阻尼比，能很好地反應(yīng)上部結(jié)構(gòu)阻尼。該模型在理論上只適合用于簡諧振動或有限頻段內(nèi)振動分析，推廣為無限寬頻帶上定常阻尼力，會碰到了有悖于物理事實(shí)困難。滯回阻尼將造成復(fù)數(shù)形式剛度(故又稱為復(fù)阻尼)，這對于普通時程分析而言，計算將比較復(fù)雜，因而復(fù)阻尼實(shí)際應(yīng)用并不多。滯回阻尼結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第18頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立2.運(yùn)動方程建立運(yùn)動方程可用以下三種等價但形式不一樣方法建立：①利用達(dá)朗貝爾原理引進(jìn)慣性力，依據(jù)體系或微元體力平衡條件直接寫出動力平衡方程，或依據(jù)幾何條件直接寫出運(yùn)動方程。②利用廣義坐標(biāo)寫出系統(tǒng)動能、勢能、阻尼耗散函數(shù)及廣義力表示式，依據(jù)哈密頓(Hamilton)原理或其等價形式拉格朗日(Lagrange)方程導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示運(yùn)動方程；③依據(jù)虛功原理導(dǎo)出運(yùn)動方程。對于復(fù)雜系統(tǒng)，應(yīng)用最廣是第二種方法。本課程從強(qiáng)調(diào)物理概念角度出發(fā)，只介紹第一、三兩種方法。達(dá)朗貝爾原理:

在質(zhì)體受力運(yùn)動任何時刻，作用于質(zhì)體上主動力、約束力和慣性力相互平衡。

因達(dá)朗貝爾（

D‘AlembertJeanLeRond）于1743年提出而得名。

本質(zhì)：將動力學(xué)問題化為靜力學(xué)問題來求解，故又稱為動靜法或慣性力法。哈密頓原理是力學(xué)中應(yīng)用最廣泛和最主要積分形式變分原理。它提供了從全部可能運(yùn)動中找出真實(shí)運(yùn)動一個準(zhǔn)則。哈密頓原理：拉格朗日函數(shù)從時刻t1到t2時間積分變分等于零，即

，式中L=T－V為拉格朗日函數(shù)，T為系統(tǒng)動能，V為系統(tǒng)勢函數(shù)。適用范圍：受理想約束完整保守系統(tǒng)。優(yōu)點(diǎn)：數(shù)學(xué)形式緊湊，適用范圍廣。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第19頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立2.運(yùn)動方程建立依據(jù)力平衡條件建立動力平衡方程（剛度法）

以圖示單自由度體系為例。

取質(zhì)量體為研究對象。注意：假定力方向與位移方向相同為正由，得動力平衡方程質(zhì)量體受力圖作用在質(zhì)量體上力包含：①動力荷載②慣性力③彈性恢復(fù)力柔度系數(shù)圖示剛度系數(shù)圖示記體系剛度系數(shù)為

柔度系數(shù)為單自由度體系結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第20頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立2.運(yùn)動方程建立依據(jù)幾何（位移）條件建立運(yùn)動方程（柔度法）

圖示單自由度體系，取結(jié)構(gòu)（梁）為研究對象。依據(jù)疊加原理，有將上述方程變形，得上式本質(zhì)是結(jié)構(gòu)體系在質(zhì)量點(diǎn)位移條件，故稱為運(yùn)動方程?？紤]到剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互為倒數(shù)，運(yùn)動方程與動力平衡方程在數(shù)學(xué)表示形式上是一致。結(jié)構(gòu)受力圖作用在梁上力包含：①動力荷載②慣性力結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第21頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立理論上，剛度法和柔度法適用范圍沒有區(qū)分，也就是講，能用剛度法建立動力平衡方程體系，也能夠用柔度法建立運(yùn)動方程，反之亦然。但兩種方法用于特定體系，有簡單和復(fù)雜之分。普通情況下，靜定結(jié)構(gòu)計算柔度系數(shù)比較方便，宜選取柔度法；超靜定結(jié)構(gòu)計算剛度系數(shù)比較方便，宜選取剛度法。剛度法和柔度法適用范圍怎樣？詳細(xì)應(yīng)用中怎樣判別選取哪種方法比較簡便？【例】試用分別用剛度法和柔度法兩種方法建立圖示兩個單自由度體系運(yùn)動（動力平衡）方程。（a）靜定結(jié)構(gòu)（b）超靜定結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第22頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立【解】（a）圖示靜定結(jié)構(gòu)柔度法運(yùn)動方程：

整理后運(yùn)動方程為：剛度法動力平衡方程：等效于屬于超靜定結(jié)構(gòu)支座位移條件下支座反力計算。采取什么方法計算？屬于靜定結(jié)構(gòu)位移計算范圍

剛度系數(shù)計算：

柔度系數(shù)計算：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第23頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立剛度法動力平衡方程：

剛度系數(shù)計算：（與柔度法建立運(yùn)動方程相同）

整理后動力平衡方程為：可求，CB結(jié)點(diǎn)桿端ABCABBABC分配傳遞備注支座位移條件下彎矩分配法結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第24頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立剛度法動力平衡方程：【解】（b）圖示超靜定結(jié)構(gòu)

整理后動力平衡方程為：可求，EB結(jié)點(diǎn)桿端ABEABBABE分配傳遞備注彎矩分配法內(nèi)力計算反對稱半結(jié)構(gòu)

剛度系數(shù)計算：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第25頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立柔度法運(yùn)動方程：等效于屬于超靜定結(jié)構(gòu)位移計算范圍剪力靜定桿

整理后運(yùn)動方程為：EB結(jié)點(diǎn)桿端ABEABBABE分配傳遞備注彎矩分配法內(nèi)力計算

柔度系數(shù)計算：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第26頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立2.運(yùn)動方程建立利用虛功原理建立動力平衡方程【例】試建立圖示體系動力平衡方程。特點(diǎn)：①質(zhì)量分布（慣性力）較為復(fù)雜。②虛位移簡單。含有分布質(zhì)量剛桿體系最適合于用虛功原理建立平衡方程。整理，得動力平衡方程虛功方程虛位移平衡力系黑色－干擾力；紅色－慣性力；藍(lán)色－彈性恢復(fù)力；粉色－阻尼力取AC桿繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)角為廣義位移，并設(shè)順轉(zhuǎn)為正。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第27頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立3.單自由度體系動力平衡（運(yùn)動）方程普通形式實(shí)際工程中單自由度體系很多，如：

①支承在梁上電機(jī)，當(dāng)電機(jī)重》梁重時；②支承在彈性地基上塊式基礎(chǔ)；等等。一切單自由度體系均可用“彈簧－質(zhì)量－粘壺”模型比擬。取質(zhì)量體為研究對象，其上力有運(yùn)動方向力平衡不論什麼單自由度結(jié)構(gòu)，運(yùn)動方程最終形式都是一樣?？梢妱游灰莆⒎址匠膛c重力無關(guān)，通常略去下標(biāo)，簡寫為重力干擾力彈性恢復(fù)力阻尼力慣性力而，與時間無關(guān)，即

，；同時考慮到靜力平衡條件。代入上式，有所以，其中，為動位移；為靜位移。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第28頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-3單自由度體系運(yùn)動方程建立4.小結(jié)剛度法建立動力平衡方程普通步驟：

1)確定體系自由度——質(zhì)量獨(dú)立位移數(shù)；

2)確定未知位移；

3)依據(jù)阻尼理論確定質(zhì)量所受阻尼力；

4)依據(jù)達(dá)朗泊爾原理在質(zhì)量上假想作用有慣性力；

5)取質(zhì)量為隔離體并作受力圖；

6)依據(jù)達(dá)朗泊爾原理列每一質(zhì)量瞬時動力平衡方程，此方程就是運(yùn)動（微分）方程。柔度法建立運(yùn)動方程普通步驟：1)確定體系自由度——質(zhì)量獨(dú)立位移數(shù)；

2)確定未知位移；

3)依據(jù)阻尼理論確定質(zhì)量所受阻尼力；

4)依據(jù)達(dá)朗泊爾原理在質(zhì)量上假想作用有慣性力；5)取結(jié)構(gòu)為研究對象；6)將動力外荷、慣性力、阻尼力作為“外力”，按位移計算公式求各質(zhì)量沿自由度方向位移，其結(jié)果應(yīng)該等于未知位移（滿足協(xié)調(diào)），由此建立方程。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第29頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動1.無阻尼自由振動體系固有特征周期圓頻率頻率體系做簡諧運(yùn)動，為振幅，為初相位。上述運(yùn)動方程通解為

或

其中，，無阻尼自由振動時，干擾力和阻尼力均為零，運(yùn)動方程改寫為

令，則上一節(jié)已指出，不論什麼結(jié)構(gòu)、用什麼方法建立方程，單自由度體系最終運(yùn)動方程均可寫為結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第30頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動1.無阻尼自由振動運(yùn)動方程通解為

或

其中，，自由振動分析主要用來計算體系固有振動特征（頻率、振型等）。設(shè)初始條件為：初位移

初速度

可得，

所以，要完全確定體系自振時位移，需要依據(jù)初始條件確定和。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第31頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動【例1】懸臂梁長，自由端有質(zhì)量機(jī)械。梁為10號工字鋼，，忽略梁重不計，求自振頻率和周期。注意單位統(tǒng)一【解】靜定結(jié)構(gòu)，采取柔度法計算?！窘狻砍o定結(jié)構(gòu)，采取剛度法計算?！纠?】圖示門式剛架，橫梁總重，柱子質(zhì)量忽略不計，試求剛架水平自振頻率。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第32頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動【例3】試求習(xí)題10-10(a)所表示結(jié)構(gòu)自振頻率?！窘狻快o定結(jié)構(gòu)，采取柔度法建立運(yùn)動方程。廣義等效質(zhì)量：分布質(zhì)量關(guān)于右支座點(diǎn)慣矩整理后，運(yùn)動方程為所以研究對象（結(jié)構(gòu)）慣性力動位移（1）質(zhì)量是多少？（2）剛度系數(shù)或柔度系數(shù)怎樣確定？結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第33頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動2.有阻尼自由振動(1)（小阻尼情況）：特征方程有一對共軛復(fù)根

運(yùn)動方程通解為

式中，稱為有阻尼自由振動圓頻率；振幅和初相位是積分常數(shù)，與初始條件相關(guān)?？梢?，小阻尼自由振動解是按指數(shù)規(guī)律衰減簡諧運(yùn)動。衰減速度隨、

增大而加緊。，由常系數(shù)常微分方程理論可設(shè)

由此可得特征方程為

方程兩個根為

運(yùn)動方程解與大小相關(guān)。運(yùn)動方程為

上式可改為

其中，稱為阻尼比，為固有頻率。（底數(shù)為歐拉數(shù)e

指數(shù)函數(shù)）結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第34頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動2.有阻尼自由振動由此可得，(3)（臨界阻尼情況）：特征方程有兩個重實(shí)根

運(yùn)動方程通解為

式中，和是積分常數(shù)，與初始條件相關(guān)。上式一樣不含簡諧振動因子，是非周期函數(shù)，說明這時體系不發(fā)生振動蕩。

這時阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)。(2)（大阻尼情況）：特征方程有兩個實(shí)根

運(yùn)動方程通解為

式中，；和是積分常數(shù)，與初始條件相關(guān)。上式不含簡諧振動因子，是非周期函數(shù)，說明這時體系不發(fā)生振蕩，從工程角度沒有意義。（雙曲函數(shù)）結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第35頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動2.有阻尼自由振動普通鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)0.05，鋼結(jié)構(gòu)(0.02~0.03)。外部激勵起振后，體系做有阻尼自由振動，試驗(yàn)實(shí)測位移時程曲線以下：所以，通常阻尼比很小，，從而兩式相除，取自然對數(shù)，有由此可量測得時刻和周后振幅分別為和。（普通測峰值位移）阻尼比試驗(yàn)確定法結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第36頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-4單自由度體系自由振動3.單自由度體系自由振動小結(jié)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)阻尼很小，所以可近似認(rèn)為阻尼頻率、周期和無阻尼相等。改變系統(tǒng)質(zhì)量或剛度可改變固有頻率。不論詳細(xì)結(jié)構(gòu)怎樣，在一樣干擾下相同頻率結(jié)構(gòu)反應(yīng)相同。結(jié)構(gòu)固有頻率和阻尼頻率嚴(yán)格說不相等，阻尼使降低，從而使周期增加。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第37頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動1.簡諧荷載作用下無阻尼強(qiáng)迫振動

設(shè)

時，，，則

通解，其中和是積分常數(shù)，由初始條件決定。特解可用待定系數(shù)法確定。

設(shè)，代入方程，得到關(guān)于待定系數(shù)線性方程，可求由微分方程理論可知，通解。

為齊次方程通解（自由振動解），

為非齊次方程一個特解?？梢婈P(guān)鍵在怎樣求得特解。運(yùn)動方程為或（線性非齊次微分方程）結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第38頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動1.簡諧荷載作用下無阻尼強(qiáng)迫振動運(yùn)動方程解為解答中第一、二項(xiàng)為初始條件引發(fā)自由振動。第三項(xiàng)為荷載（干擾力）引發(fā)自由振動（稱作伴生自由振動）。第四項(xiàng)是以干擾頻率進(jìn)行等幅振動，稱“純受迫振動”。為荷載幅值作用下靜位移，稱為位移放大系數(shù)（也稱動力系數(shù)）。穩(wěn)態(tài)解可寫為，其中，前三項(xiàng)頻率都是結(jié)構(gòu)自振頻率，考慮阻尼后都按指數(shù)規(guī)律衰減。所以一段時間后，都將逐步消失。自由振動消失前運(yùn)動稱瞬態(tài)階段。第四項(xiàng)頻率是干擾力頻率，是穩(wěn)態(tài)解（或穩(wěn)態(tài)階段），工程中只關(guān)心它。結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第39頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動1.簡諧荷載作用下無阻尼強(qiáng)迫振動共振區(qū)正負(fù)號：當(dāng)時，為正，表示動位移與動荷載指向一致；當(dāng)時，為負(fù)，表示動位移與動荷載指向相反。工程設(shè)計中，只需取絕對值，無須考慮正負(fù)。當(dāng)時，，。發(fā)生共振。工程實(shí)踐中，稱為共振區(qū)，應(yīng)避開。動力放大系數(shù)反應(yīng)了慣性力影響，取決于（頻率比），曲線以下列圖所表示（縱坐標(biāo)取絕對值）。當(dāng)時，，這時。相當(dāng)于靜力作用。通常時，可按靜力計算振幅。當(dāng)時，，這時為負(fù)值，而且趨近于零。表明高頻簡諧荷載作用下，振幅趨于零，體系幾乎處于靜止?fàn)顟B(tài)。共振前區(qū)共振后區(qū)結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第40頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動1.簡諧荷載作用下無阻尼強(qiáng)迫振動動力放大系數(shù)反應(yīng)了慣性力影響，取決于（頻率比），曲線以下列圖所表示（縱坐標(biāo)取絕對值）。減小振幅方法(1)設(shè)置阻尼（后面討論）。共振區(qū)(2)調(diào)整結(jié)構(gòu)剛度。時，稱為共振后區(qū)，應(yīng)設(shè)法降低，即減小結(jié)構(gòu)剛度，這種方法稱為柔性方案。時，稱為共振前區(qū)，應(yīng)設(shè)法加大，即增加結(jié)構(gòu)剛度，這種方法稱為剛性方案。共振前區(qū)共振后區(qū)結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第41頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動【例1】懸臂梁長，梁為10號工字鋼，，，自由端機(jī)械總質(zhì)量。旋轉(zhuǎn)部分，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)/min，偏心距。求梁最大撓度。（3）求干擾力幅值（4）求動力放大系數(shù)（5）求最大撓度（2）求干擾力頻率【解】（1）求自振頻率結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第42頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動【解】靜定結(jié)構(gòu)，用柔度法計算【例2】圖示簡支梁跨中有一集中質(zhì)量，支座處受動力矩作用，不計梁質(zhì)量，試求①質(zhì)點(diǎn)動位移；②支座處動轉(zhuǎn)角幅值；③梁最大動力彎矩圖。（1）求柔度系數(shù)

圖乘法可求：質(zhì)點(diǎn)動位移幅值為，其中為動荷載幅值所引發(fā)質(zhì)點(diǎn)靜位移，為質(zhì)點(diǎn)位移動力放大系數(shù)。穩(wěn)態(tài)解整理后，其中，（2）建立質(zhì)點(diǎn)動位移方程

由疊加原理：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第43頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動【解】靜定結(jié)構(gòu)，用柔度法計算【例2】圖示簡支梁跨中有一集中質(zhì)量，支座處受動力矩作用，不計梁質(zhì)量，試求①質(zhì)點(diǎn)動位移；②支座處動轉(zhuǎn)角幅值；③梁最大動力彎矩圖。（1）求柔度系數(shù)

圖乘法可求：支座處轉(zhuǎn)角幅值為，其中為動荷載幅值所引發(fā)支座靜轉(zhuǎn)角，為支座轉(zhuǎn)角動力放大系數(shù)。將（2）求出代入上式，整理后，（3）建立處轉(zhuǎn)角動位移方程

由疊加原理：結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第44頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動【例2】圖示簡支梁跨中有一集中質(zhì)量，支座處受動力矩作用，不計梁質(zhì)量，試求①質(zhì)點(diǎn)動位移；②支座處動轉(zhuǎn)角幅值；③梁最大動力彎矩圖。（4）求作最大動力彎矩圖可見，慣性力和動力荷載同頻率、同相位，二者同事到達(dá)峰值?！窘狻勘容^可見，質(zhì)量點(diǎn)位移動力系數(shù)與支座處轉(zhuǎn)角動力系數(shù)不一樣。單自由度體系，當(dāng)動力荷載沿質(zhì)量運(yùn)動方向作用在質(zhì)量點(diǎn)上時，體系各處動位移和動內(nèi)力均可看作是有質(zhì)量位移引發(fā)，所以含有相同動力系數(shù)。當(dāng)動力荷載不作用在質(zhì)量體上，或作用方向與質(zhì)量運(yùn)動方向不一致時，不一樣點(diǎn)動力系數(shù)是不一樣。最大動彎矩圖由可求慣性力為結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第45頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動【思索題】試求圖示體系①質(zhì)點(diǎn)最大動位移；②最大動力彎矩圖?！窘狻縿恿奢d與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方向不一致，關(guān)鍵在于運(yùn)動方程建立。任一時刻，質(zhì)點(diǎn)上力平衡可經(jīng)過質(zhì)點(diǎn)上附加約束約束力等于零來表示（位移法基本思緒）體系受到外部作用包含①附加約束位移②慣性力③干擾力（動力荷載）超靜定結(jié)構(gòu)，選擇剛度法建立動力平衡方程。基本結(jié)構(gòu)只發(fā)生附加約束位移基本結(jié)構(gòu)只承受慣性力作用基本結(jié)構(gòu)只承受干擾力作用和

怎樣計算？從而得動力平衡方程為結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第46頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動2.普通動力荷載下無阻尼強(qiáng)迫振動運(yùn)動方程為或線彈性體系運(yùn)動方程是線性，故疊加原理適用。將普通動力荷載分解成若干瞬時沖量。設(shè)時刻，速度、位移均為零。由沖量定理，所以，（速度增量）位移增量為沖量使體系在時刻以后以為初速度、為初位移作自由振動，因?yàn)槭嵌A微量，忽略后，依據(jù)上一節(jié)，由初速度引發(fā)自由振動為通常把單位沖量引發(fā)位移稱作單位脈沖函數(shù)。則結(jié)構(gòu)動力學(xué)主題知識講座第47頁/4/24結(jié)構(gòu)力學(xué)§10-5單自由度體系強(qiáng)迫振動2.普通動力荷載下無阻尼強(qiáng)迫振動將任意荷載看成一系列獨(dú)立沖量（脈沖），則由疊加原理可得或上式就是零初始條件解，動力學(xué)中稱為Duhamel積分。數(shù)學(xué)上稱為卷積。如有初始位移和初始速度，則位移為有了通解，對給定荷載情況，代入并積分即可得到各種詳細(xì)荷載下解答。突加荷載：將荷載代入Duhamel積