講義-第1章利息基本概念

金融數(shù)學(xué)考情分析1．考查內(nèi)容1234利息理論（分?jǐn)?shù)比例約為30%）利率期限結(jié)構(gòu)與隨機(jī)利率模型（分?jǐn)?shù)比例16%

）金融衍生工具定價(jià)理論（分?jǐn)?shù)比例26%

）投資理論（分?jǐn)?shù)比例28%）考試方式考試采用閉卷方式進(jìn)行，題型為客觀題（一般30題單項(xiàng)選擇），考試時(shí)間為3小時(shí)，滿分100分，最后按10分制計(jì)，6分以上（包括6分）為及格。講解內(nèi)容12結(jié)合

大綱講解知識(shí)點(diǎn)結(jié)合經(jīng)典例題及

考試剖析?？伎键c(diǎn)4．指定

及12指定參考書：《金融數(shù)學(xué)》，

主編，：《金融數(shù)學(xué)過關(guān)必做1000題（含主審，中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)，2010年）》，主編，2011年第一篇 利息理論第1章

利息的基本概念【考試要求】1.1

利息度量實(shí)際利率單利和復(fù)利實(shí)際貼現(xiàn)率名義利率和名義貼現(xiàn)率利息力1.2

利息問題求解價(jià)值等式投資期的確定未知時(shí)間問題未知利率問題【要點(diǎn)詳解】§1.1

利息度量1．實(shí)際利率本金：每項(xiàng)業(yè)務(wù)開始時(shí)投資的金額。積累值（或終值）：業(yè)務(wù)在一定時(shí)間后回收到的總金額。積累函數(shù)a（t）：是指0時(shí)刻的本金1在時(shí)刻t的積累值。顯然，a（0）=1，且a（t）通常為單增函數(shù)?？偭亢瘮?shù)A（t）：是指本金為k的投資在時(shí)刻t≥0時(shí)的積累值。顯然，A（t）=k·a（t）。折現(xiàn)函數(shù)a-1

（t）：積累函數(shù)a（t）的倒數(shù)。特別地，把一期折現(xiàn)因子a-1（1）簡(jiǎn)稱為折現(xiàn)因子，并記為v。6現(xiàn)值（或折現(xiàn)值）：是指為在t期末得到某個(gè)積累值，而在開始投資的本金金額。顯然，a-1

（t）是在t期末支付1的現(xiàn)值。7把從投資日起第n個(gè)時(shí)期所得到的利息金額記為In，則：In

A(n)

A(n1)

n

1為整數(shù)注意：In是指一個(gè)時(shí)間區(qū)間上所得利息的量，而A（n）則是在某一特定時(shí)刻的積累量。1.1（8）實(shí)際利率①對(duì)于一個(gè)度量期：某一度量期的實(shí)際利率，是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時(shí)投資的本金金額之比。通常用字母i來表示實(shí)際利率。②對(duì)于多個(gè)度量期：把從投資日算起第n個(gè)度量期的實(shí)際利率記為in，則：【例題1.1】已知A（t）=t2+2t+3，要使in≤10%，則n至少等于（）。[2008年春季]A．18

B．19

C．20

D．21【答案】D【解析】由已知A（t）=t2+2t+3，得：E．22令in≤10%，得：

2n1

10%(n

1)2

2(n

1)

3即

n2－20n－8≥0，解得：n≥20.39，故取n=21。1.2I1A(0)i

a(1)

a(0)

A(1)

A(0)

a(0)

A(0)1.3An1in

A(n)

A(n1)

In

n

1為整數(shù)A(n

1)in

A(n)

A(n

1)

2n

1

A(n

1)(n

1)2

2(n

1)

32．單利和復(fù)利1單利如果一單位本金在t時(shí)的積累值a（t）=1+i·t，那么就說該比投資以每期單利i計(jì)息，并將這樣產(chǎn)生的利息稱為單利。2復(fù)利如果一單位本金在t時(shí)的積累值a（t）=（1+i）t，那么就說該筆投資以每期復(fù)利i計(jì)息，并將這樣產(chǎn)生的利息稱為復(fù)利。3①以每期單利i計(jì)息時(shí)，第n期的實(shí)際利率為【例題1.2】

初始投資額為100，假定年復(fù)利為4%，則這個(gè)人從第6年到第10年的5[2008年春季

]所賺利息為（）。A．26

B．27

C．28【答案】A【解析】從第6年到第10年的5D．29

E．30所賺利息為：100[（1+0.04）10－（1+0.04）5]=261.4in

a(n)

a(n

1)

i

a(n

1)顯然，常數(shù)的單利意味著遞減的實(shí)際利率。②以每期復(fù)利i計(jì)息時(shí)，第n期的實(shí)際利率為1

i

n11.5in

a(n)a(n

1)

ia(n

1)顯然，常數(shù)的復(fù)利意味著常數(shù)的實(shí)際利率。3．實(shí)際貼現(xiàn)率（1）某一度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率：是指該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可回收金額之比。通常用字母d來表示實(shí)際貼現(xiàn)率。（2）對(duì)于有多個(gè)度量期的情形，可以分別定義各個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率，令dn為從投資日算起第n個(gè)時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率，則（3）三個(gè)重要關(guān)系①實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系：②實(shí)際貼現(xiàn)率d與實(shí)際利率i的關(guān)系：③貼現(xiàn)率d與折現(xiàn)因子v的關(guān)系：d=iv1.6I1A(1)d

a(1)

a(0)

A(1)

A(0)

a(1)

A(1)1.7n

1為整數(shù)dn

A(n)

A(n1)

InA(n)

Ani

d1

dd

i1

i（4）單貼現(xiàn)、復(fù)貼現(xiàn)①對(duì)于單貼現(xiàn)，第n期的實(shí)際貼現(xiàn)率為：dn

a(n)

a(n

1)a(n)顯然，常數(shù)的單貼現(xiàn)率意味著單增的實(shí)際貼現(xiàn)率。②對(duì)于復(fù)貼現(xiàn)，第n期的實(shí)際貼現(xiàn)率為：顯然，常數(shù)的復(fù)貼現(xiàn)率意味著常數(shù)的實(shí)際貼現(xiàn)率?！纠}1.3】已知年利率為9%，為了在第三年末得到1000元，分別用單利和復(fù)利進(jìn)行計(jì)算，在開始時(shí)必須投資）元。A．785.0；768.0E．789.7；776.5【答案】CB．786.2；770.2

C．787.4；772.2

D．788.6；774.3（

1.811d1

n1d1

nd

1

n

1

d1nd

1a(n)

a(n

1)a(n)dn

d

1.91d

n

1d

(n1)1d

n【解析】①按單利計(jì)算：1000a1(3)

10001

0.093

787.4（元）1.093②按復(fù)利計(jì)算：1000a1(3)1000v3

1000

772.18（元）。4．名義利率與名義貼現(xiàn)率1

定義：在一個(gè)度量期中利息支付不止一次或在多個(gè)度量期利息才支付一次，稱相應(yīng)的一個(gè)度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義”的。記i（m）為每一度量期付m次利息的名義利率，d（m）為每一度量期付m次利息的名義貼現(xiàn)率。2三個(gè)重要關(guān)系①名義利率i（m）與實(shí)際利率i之間的關(guān)系：②名義貼現(xiàn)率d（m）與實(shí)際貼現(xiàn)率d之間的關(guān)系：③名義利率i（m）與名義貼現(xiàn)率d（m）之間的關(guān)系：【例題1.4】假定名義利率為每季度計(jì)息一次的年名義利率6%，則1000元在3年末的積累值為（[2008年春季

]A．1065.2【答案】D）元。B．1089.4C．1137.3D．1195.6E．1220.1【解析】1000元在3年末的積累值為：

i(m)

m1i

1

m

m

d(m)

m

1

d

1i(m)

1d

(m)

m

1

m

16%

12AV

100014

1195.6【例題1.5】已知在未來三年中，銀行第一年的實(shí)際利率為7.5%，第二年按計(jì)息兩次的名義利率12%計(jì)息，第三年按計(jì)息四次的名義利率12.5%計(jì)息，

為了在第三年未得到500000元的款項(xiàng)，第一年初需要存入銀行多少？（]B．365389）[2011年春季A．365001【答案】CC．366011D．366718E．367282【解析】設(shè)第一年初需存入銀行X元，則得：X=366010.853。A．30

B．33【答案】AD．37

E．40【解析】由已知條件，得：故

m=30。X

(1

0.075)(1

0.12

/

2)2

(1

0.125

/

4)4

500000mC．35【例題1.6】已知

1

d

(m)

5

，則m=（

）。1

d

(5)1

d

(6)6565

1i

d

(5)

d

(m)

30

5

()630d(6)

m

6

1

5

d

(5)

1

1

611i6

651i

1

d

m

d

(m)

，可得：

m

又由1

i

1m

d

(m)

m30

d

(m)

m

1

1（3）在利息力為常數(shù)的情況下，δ與i的關(guān)系為：

ln1i

ln

vtA(t)5．利息力（1）定義：對(duì)利息在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的度量稱為利息力。即定義

At

attr

dra(t)的變化率。為t時(shí)刻的利息力。由δt的定義可知，δt為t時(shí)每一單位（2）應(yīng)用：a(t)

e0【例題1.7】已知0時(shí)刻在基金A中投資一元到t時(shí)刻的積累值為1.5t+1，在基金B(yǎng)中投資一元到3t時(shí)刻的積累值為9t2-3t+1元，假設(shè)在t時(shí)刻基金B(yǎng)的利息力為基金A的利息力的兩倍，則0時(shí)刻在基金B(yǎng)中投資10000元，在7t時(shí)刻的積累值為（

）。[2011年春季

]

A．566901

B．567902

C．569100【答案】DD．570000E．570292【解析】由題意知，又因?yàn)榧唇獾胻=8/7，因此AB(7t)

=

10000aB(8)

=

10000

′

57

=

570000aA(t)

=

1.5t

+

1a

(3t)

=

9t2

-

3t

+

1

TBδB(t)

=

2δA(t)Ba

(t)

=t2

-

t

+

1

A

AAδ

(t)

=a

(t)a￠(t)

1.5=1.5t

+12t

-

1t2-

t

+

1

B

BBδ

(t)

=a

(t)a￠(t)=t

2

-

t

+

12t

-

131.5t

+

1=]）。[2008年春季E．0.1874A．0.1671【答案】DB．0.1688

C．0.1715

D．0.1818，【例題1.9】己知δt=abt，其中a>0，b>0為常數(shù)，則積累函數(shù)a（t）為（）。[2008年春季

]2t2

d

t【解析】由已知條件得：a(t)

e

0t1

t110112所以da(10)

a(10)

a(10)

a(9)

1

a(9)

1

102，22d

2

又1

d10

(1

10

2

1

102

)

，故

d

2

1

1

d11

2

1

0.1818

。C．ea(bt

1)/lnbA．eb(at

-1)/lnbD．ea(bt

-1)/ln

aB．ea(bt

1)/ln

aE．ea(bt

-1)/lnba(bt

1)lnbt0

a

br

dr【答案】E

【解析】a

t

=e

e1【例題1.8】已知t

t

2，則第10年的d

（2）等于（【例題1.10】甲基金以月度轉(zhuǎn)換12%的利率積累，乙基金以利息力δt=t/6積累，期初存入兩支基金相等的金額，]E．1.4386則兩支基金金額相等的下一個(gè)時(shí)刻為（

）。[2008年春季A．1.4328

B．1.4335

C．1.4362

D．1.4371【答案】A【解析】不妨設(shè)期初存入的金額為1，則甲基金的積累值為：乙基金的積累值為：12

0.1212tS（1

t)

1

1.0112tt2dx2S（t)

e0t

r6

e12t2由S1（t）=S2（t），得：1.0112t

e12

，解得：t=1.4328。【例題1.11】基金A在利息力函數(shù)δt=a+bt下積累，基金B(yǎng)在利息力函數(shù)δt=g+ht下積累，在t＝0和t＝n時(shí)，基金A與基金B(yǎng)價(jià)值相等。已知a＞g＞0，h＞b＞0，計(jì)算n=（

）。，基金B(yǎng)的積累值為：，已知t＝n時(shí)基金A與基金B(yǎng)價(jià)值相等，即：an

1bn2

gn

1

hn2解得：n

。2a

gCD．

h

bE2a

gh

b a

g2hbA．a(chǎn)

g

B．hb．

h

b．

a

g2n

e0

abt

dt

an

1bn

2【答案】C【解析】t＝n時(shí)，基金A的積累值為：A

e2n

0

g

ht

dt

gn1hn2B

e

e2

22a

g

h

b故第5年年末兩基金之和為：P

10.065

R10.085

690.3010

10§1.2

利息問題求解1．價(jià)值等式通常，一個(gè)簡(jiǎn)單的利息問題包括以下四個(gè)基本量：1234最初投資的本金；投資時(shí)期的長(zhǎng)度；利率；本金在投資期末的積累值。如果已知其中的任何三個(gè)，就可以建立一個(gè)價(jià)值等式，由此等式確定第四個(gè)量?！纠}1.12】甲基金按6%的年利率增長(zhǎng)，乙基金按8%的年利率增長(zhǎng)，在第20年的年末兩個(gè)基金之和為2000，]在第10年末甲基金是乙基金的一半，則第5年年末兩基金之和為（

）。[2008年春季A．652.86

B．663.24

C．674.55

D．682.54

E．690.30【答案】E【解析】設(shè)甲、乙基金分別為P、R，則有：P(10.06)20

R(10.08)20

2000R(10.08）

2P(10.06)P182.2解方程組，得：R

303.30【例題1.13】某賬戶在

有一筆存款，4月1日取走50元，7月1日存入100元，9月1日存入30元，到了息分別為（，賬戶內(nèi)金額為1051元，該年度的基金收益率為1.12%。則

的存款及2008年度獲得的利）元。A．955；10【答案】B【解析】設(shè)B．960；11

C．965；12

D．970；13

E．975；14的存款為A元，又i=0.0112，由題意，得：9

6

4A1i501i12

1001i12

301i12

1051解之，得：A=959.95≈960；故2008年度獲得的利息為：1051－960－100－30+50=11（元）。②常規(guī)單利法（歐洲大陸法，常記為“30/360”）。計(jì)算公式為：天數(shù)=360（Y2－Y1）＋30（M2－M1）＋（D2－D1）（1.10）其中：Y1為第一日期的年份；M1為第一日期的月份；

D1為第一日期的日期；Y2為第二日期的年份；

M2為第二日期的月份；D2為第二日期的日期。2．投資期的確定1年數(shù)：在實(shí)際問題中常常會(huì)遇到投資時(shí)期不為整數(shù)個(gè)度量期的情況，通常定義：年數(shù)

投資期天數(shù)基礎(chǔ)天數(shù)由于一般在投資期不足一個(gè)度量期的情況下，通常使用單利來計(jì)息，因此計(jì)算利息的基本公式可表示為：利息=金額×利率×年數(shù)2對(duì)國(guó)際金融領(lǐng)域來說，目前常用的方法有以下三種：①嚴(yán)格單利法（英國(guó)法）。計(jì)算公式為：投資期的時(shí)間長(zhǎng)度實(shí)際投資天數(shù)對(duì)應(yīng)年份的一年實(shí)際總天數(shù)360③銀行家規(guī)則（歐洲貨幣法，常記為“實(shí)際/360”）。計(jì)算公式為：1.11投資期的時(shí)間長(zhǎng)度

天數(shù)1.12360投資期的時(shí)間長(zhǎng)度

實(shí)際投資天數(shù)【例題1.14】

在法和銀行家規(guī)則計(jì)算其利息金額為（存入1000元，于2008年的11月27日取出，利率為單利8%。則分別按英國(guó)）元。B．54.8；55.6

C．55.8；56.6

D．56.2；57.6A．53.8；54.6E．56.8；57.6【答案】E【解析】①按英國(guó)法計(jì)算：天數(shù)=31+30+31+30+31+31+30+31+14=259（天），年數(shù)=259/365=0.71。故利息金額為：I1=1000×8%×0.71=56.8（元）；②按銀行家規(guī)則計(jì)算：天數(shù)=259天，年數(shù)=259/360=0.72。故利息金額為：I2=1000×8%×0.72=57.6（元）?！敬鸢浮緾【解析】3．未知時(shí)間問題1對(duì)于只有一次付款的未知時(shí)間問題，常用的方法有：①使用計(jì)算機(jī)或具有指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算器，此方法是最簡(jiǎn)單和最有效的；②利用復(fù)利函數(shù)表；③級(jí)數(shù)展開法；④對(duì)整數(shù)時(shí)期用復(fù)利，對(duì)非整數(shù)時(shí)期用單利近似。2不同時(shí)刻的多次付款情形，可以利用等時(shí)間法：設(shè)在t1，t1，…，tn時(shí)分別付出s1，s1，…，sn，在等時(shí)間法下的t近似為：n1.13ks

t

s

t

s

ts1

s2

snsktkt

11 2

2

n

n

k

n1s26

33n2

2m1A．D．6k

1【例題1.15】在第n年末付款n，第2n年末付款2n，第mn

年末付款mn

。則按等時(shí)間法確定的t的近似值為（）。mnm1

mnm

12m1

n2m1mn2

m12m1B．

C．E．n2m13n2t

n

n

n2

2