復(fù)雜圖形的比例與面積

復(fù)雜圖形的比例與面積基礎(chǔ)知識(shí)：.三角形面積由兩個(gè)因素決定：底和高兩個(gè)三角形，底相等，面積比等于高的比；兩個(gè)三角形，高相等，面積比等于底的比。.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且=邑=9（1）配=豆=歷；（2）況浮二；邑?_瓦十尾_（3）邑⑻/+國」口。.如圖，在梯形ABCD中，存在以下關(guān)系:（1）左、右部分的面積相等，即S=S；3 4（2）SjSjSjS4=/：T:g.就4.燕尾定理:在三角形如汜中，AD,破，次相交于同一點(diǎn)門，那么口L方。：口口.A.例1.圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長是AE長的3倍，EF的長是BF長的3倍.那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？[答疑編號(hào)505721470101]【答案】22.5【解答】^ABD，ABC等高，所以面積的比為底的比，有覬2,所以'山瓦皿一豆180=90（平方厘米）._1同理有晚偏。通‘%回'可買兜'3。（平方厘米），S-巴3 -1s一前.-1x30=22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面積是22.5平方厘米.例2.如圖1,5個(gè)正方形拼在一起，圖中三角形ABC部分的面積是60,則正方形的邊長是[答疑編號(hào)505721470102]【答案】10【解答】比較有相同底邊的兩個(gè)三角形ABC和BCD,它們的2高的比是3:2，因此三角形BCD的面積是⑨x=40.于是三角形ACD的面積是60+40=100.注意ACD的底邊是小正方形邊長的2倍，而高就是小正方形的邊長，所以它的面積與一個(gè)小正方形的面積是相等的，應(yīng)該都是100,所以小正方形的邊長就是10（因?yàn)?0X10=100）.例3.如圖2,在15個(gè)小正方形拼成的長方形中，三角形ABC的面積是120（其中C是大長方形的對(duì)角線與B所在豎線的交點(diǎn)）.那么小正方形的邊長是[答疑編號(hào)505721470103]【答案】10【解答】如下圖，三角形ABC與三角形BCD的底邊都是BC,而高的比是3：2,所以三角形BCD的面積是口與二配，那么三角形ABD的面積就是120+80=200。三角形ABD的面積是大三角形ADG的面積減去三角形ABE、長方形BEGF、三角形BDF的面積，也就是等于3x51x312x2_n丁丁一亍二個(gè)小正方形的面積，因此每個(gè)小正方形的面積是200+2=100,那么邊長為10。例4.如圖，四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃.那么4個(gè)小三角形中最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃?[答疑編號(hào)505721470104]【答案】21【解答】。口S□業(yè)？I?1S口^1，所以，三角形ABO的面積是18公頃，三角形BOC的面積是21公頃.所以，最大的三角形的面積為21公頃.例5.已知ABCD是一個(gè)梯形，BO=3OD,AD=4,S：b知12,則梯形的高是多少?梯形的下底BC是多少?[答疑編號(hào)505721470105]【答案】12【解答】由于^ABO和4AOD是等高的三角形，并且BO=3OD,可得S△皿o=3S^aod，因此S]°d=4,這樣S△也=12+4=16。換一個(gè)角度去觀察鈍角三角形ABD,將AD作為它的底，將B作為它的頂點(diǎn)。從而根據(jù)S△也=16和AD=4可知4ABD在底邊AD上的高為16X2+4=8,而這個(gè)高也是梯形的高。由于4ABC和4DBC是同底等高的三角形，所以S=△ABCS#,從而S#=Sm0c=12。由于ADOC和AOBC是等高的三角形，并且80=30口，可得S#=3S.0c，因此S#=36,這樣S△dbc=12+36=48o下面可以用兩種方法去求BC的長度，如果把AD看成△ABD的底邊，把BC看成4DBC的底邊，那么^八8口和4DBC是等高的，由于S^BC是S△也的3倍，所以BC=3AD,從而BC=12o或者可以利用梯形面積的計(jì)算公式去求BC的長度，由于梯形的面積=4+12+12+36=64,梯形的高為8,梯形的上底AD=4,于是下底BC=64X2+8-4=12o例6.如圖，ABCD是梯形，三角形ADE面積是1.8,三角形ABF的面積是9,三角形BCF的面積是27.那么陰影部分面積是多少?[答疑編號(hào)505721470106]【答案】4.8【解答】設(shè)4ADF的面積為“上”，4BCF的面積為“下”△ABF的面積為“左”，4DCF的面積為“右”.左=右=9；上乂下=左X右=9X9=81,而下=27,所以上=81+27=3.△ADE的面積為1.8,那么4AEF的面積為1.2,貝IJEF：DF=。：￡械fd=1.2：3=0.4.△CEF與4CDF的面積比也為EF與DF的比，所以有Snce=0.4X%cd=0.4X(3+9)=4.8.即陰影部分面積為4.8.F是DG的中例7.如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC=2F是DG的中[答疑編號(hào)505721470107]【答案】12【解答】如下圖，連接FC,△DBF、△BFG的面積相等，設(shè)為x平方厘米，△FGC、ADFC的面積相等，設(shè)為y平方厘米，那么4DEF1的面積為0y平方厘米.氏血=2x+2y=1,R阪=x+石y=lX3=3.Jz+y=0.5CD所以有i3葉尸1②.比較②、①式，②式左邊比①式左邊多2x,②式右邊比①式右邊大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.2 5而陰影部分面積為y+3y=3X0.25=方平方厘米.例8.如圖，正方形ABCD的邊長是12,BF=CE=4,則四邊形ABOD的面積是[答疑編號(hào)505721470108]4【答案】丐【解答】如圖，假設(shè)4OBF和4OEC的面積分別為x和y,么4OCF和4OED的面積就分別為2x和2y.根據(jù)4BEC和△OCF的面積，可以列方程組得：「走十2萬十^二12乂02十5+2=12x(12^3x2)^2化簡(jiǎn)即得：貨十」=24郎42工=42TOC\o"1-5"\h\z3 5r=3-尸=13三解得7， 九所以四邊形ABOD的面積為:x3Q2-=x3Q2-=7.J-+1J-12X12-1?丹例1.已知EF=2BF,AD=3BD,三角形ABC的面積為36,那么四邊形ADFE的面積是多少？分析：四邊形ADFE是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，無法直接計(jì)算它的面積。做輔助線連接口和￡，將四邊形ADFE分成2個(gè)三角形4ADE和ADFE，三角形的面積就比較好求了。請(qǐng)大家想一想，除了公式以外，還可以利用什么方法去求三角形的面積？題目中給出的條件是線段與線段之間的關(guān)系，一定要將線段與線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形與圖形的關(guān)系，這樣才有助于計(jì)算面積。比如：由EF=2BF,可知$疑陛=2$加即。這是連接口和￡做輔助線的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，它將線段之間的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成了三角形面積之間的倍數(shù)關(guān)系，這就使得線段與圖形相互聯(lián)系了起來。諦[答疑編號(hào)505721470201]10【答案】11【解答】由EF=2BF,可知S"E=2S4dbf，S#=2S#,從而S#=2S#。由于AD=3BD,可知S^A0c=3S?。如果設(shè)S"="1"，那么S4edc="2"，S,c="3"，所以S#="1”，S/="4”。由于大三角形ABC的面積為36,所以$,=“1”=36+4=9。下面求ADFE的面積。由于人13=381),可得$4.=3$9郎,因此Sadbe=9+3=3。因?yàn)镾adfe=2Sadbf，而Sadfe+Sadbf=Sadbe，所以S^dfE=3+3X2=2。由$^^=9,S/e=2,可知四邊形ADFE的面積是11?？偨Y(jié)：在直線形計(jì)算的問題中，如果碰到一個(gè)不規(guī)則的圖形，通常需要添加輔助線將它分割成若干個(gè)可以計(jì)算面積的圖形，例如分割成三角形、平行四邊形或者梯形。如果題目中的條件給出了線段與線段之間關(guān)系，也可以利用添加輔助線的方法將線段與三角形（或者其它的圖形）聯(lián)系起來，這樣線段之間的關(guān)系就變成了三角形（或者其他圖形）之間的關(guān)系，從而有助于計(jì)算圖形的面積。11例2.如圖1,在rABC中，DC=3BD,rABC的面積是84,DE=EA,則陰影部分的面積是等[答疑編號(hào)505721470202]【答案】36【解答】連結(jié)DF,因?yàn)镈E=EA,所以三角形ACE的面積與三角形CDE的面積相等，三角形AEF的面積與三角形DEF的面積相等.因此陰影部分的面積等于三角形CDF的面積，也等于三角形ACF的面積.又因?yàn)镃D=3XBD,所以三角形DEF的面積是三角形CDFL =04-1+1+-=36面積的3,因此陰影部分的面積 I3).例3.如圖1,已知三角形ABC的面積為1,AF=FD,BF=3FE.則陰影部12分的面積是[f]答疑編號(hào)505721470203]【答案】97.5【解答】連DE.由BF=3FE二SaASZ)=3￡穌4由AF=FD=孔皿=用旦西記$3=2a，則$w=6a,SDVBD=8a而￡叱5 D口邑1CDE,n1-融=1-1口也+24/n20=24加= 12從而陰影部分的面積是*BDAFAE2 — — 例4.如圖，4ABC的面積是1,且西一礪武一虧，則4OAB的面積13[答疑編號(hào)505721470204]4【答案】王【解答】——_8口恥口—X_品助中吊am+用加口FB§口配門EC國比白 $口酬白2B口用s+用aw=5224__■■,■___—△OAB的面積是弓丁云.例5.在長方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在CE上且EF：FC=3：1,已知三角形BFD的面積是60,則長方形ABCD的面積是[答疑編號(hào)505721470205]14【答案】192【解答】OE：OC=1：2,EF：FC=3：1,1-A-45三角形BED的面積：三角形BFD的面積=3.12因?yàn)槿切蜝FD的面積是60,所以，三角形BED的面積是48,則長方形ABCD的面積是48X4=192.例6.如圖，梯形ABCD外有一點(diǎn)E,使得△ABE,AADE和4EDC的面積相等.(1)證明：4ABF和4AFD的面積相等；(2)證明：4ADF和AAHD的面積相等；(3)如果已知4ABF和4DGH的面積分別為3和1,求梯形ABCD的面積.?[答疑編號(hào)505721470206]【答案】1815【解答】（1）證明：因?yàn)?ABE與4ADE都是以AE為底且面積相等，所以4ABE在邊AE上的高與4ADE在邊AE上的高相等.因?yàn)?ABF與4AFD同底（AF）等高，所以4ABF與4AFD的面積相等。（2）證明：由（1）同理，AAHD與AHDC面積相等，所以4ADF是4ABD面積的一半，AAHD是4ACD面積的一半.因?yàn)樘菪蜛BCD中，4ABD與4ACD的面積相等，所以△ADF和4AHD面積相等.（3）解：由AABF的面積是3,可得△ADF'AHDC面積都是3,所以4AGD的面積是3-1=2.因?yàn)?ABG與4ADG有相同的高，且面積分別為4和2,所以BG是DG的2倍.因?yàn)?CBG與4CDG有相同的高，所以4CBG的面積是△CDG的2倍，為8,所以梯形ABCD的面積為2+4+4+8=18.例7.如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn).三角形ABC由①?⑥這6部分組成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的16面積是多少平方厘米?[答疑編號(hào)505721470207]【答案】48【解答】因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD=2FE且平行于EF,則四邊形ADEF為梯形.在梯形ADEF中有③=④，②X⑤;③乂④，②：⑤二月爐：F爐=4:1.又已知②