微分方程復(fù)習(xí)課課件

微分方程復(fù)習(xí)課基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.線性方程6.伯努利方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．一、主要內(nèi)容通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.初值問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題，叫初值問(wèn)題．2、一階微分方程及其解法(1)可分離變量的微分方程解法(2)齊次型方程解法(分離變量法)(變量代換法)(3)一階線性微分方程齊次．非齊次.解法齊次方程的通解為（使用分離變量法）非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）(4)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法利用變量代換法化為線性微分方程．變量代換是解微分方程的重要思想和重要方法1、可降階的高階微分方程的解法型解法接連積分n次，得通解．型特點(diǎn)解法代入原方程,得型特點(diǎn)解法代入原方程,得2、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):非齊方程的任兩解之差是相應(yīng)齊方程的解非齊通解=

齊通解

+

非齊特解3、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.(一)、選擇題B1.滿足2.設(shè)函數(shù)y1,y2

都是方程的解，是此方程通解。則必有[].D3.微分方程的特解形式是[].(A)(B)(C)(D)DC4.滿足5.設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1,y2,y3都是方程的解，為任意常數(shù)，則其通解為[].C6.以為特解的三階常系數(shù)的齊次線性微分方程是[].(A)(B)(C)(D)D8.若y=f(x)是(A)x0的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加；(B)x0的某鄰域內(nèi)單調(diào)減少；(C)x0處取極小值；(D)x0處取極大值.C7.微分方程的一個(gè)特解是[].(A)(B)(C)(D)B9.設(shè)函數(shù)p(x)在[a,+∞）連續(xù)非負(fù)，

如果微分方程則必有[].的每一個(gè)解y(x)都滿足D(二)、填空題1.微分方程的通解是______2.微分方程滿足y(1)=1的一個(gè)特解是_____3.微分方程的通解是______4.微分方程有兩個(gè)解則5.以為特解的最低階常系數(shù)齊次線性微分方程______切于該點(diǎn)的積分曲線6.方程7.y=x的經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,1),且與直線

8.通解為y=C1ex+C2e-2x的最低階的齊次線性方程

9.已知是例1求微分方程記兩邊積分得解分離變量得三、典型例題例2求微分方程積分得即原方程化為解設(shè)的通解.代入x=1,y=2，得C=-1,于是積分曲線是兩邊積分得解設(shè)u=xy,則du=ydx+xdy,于是且過(guò)點(diǎn)（1，2）的積分曲線.例3求滿足方程例4求積分得解原方程化為的通解.例5若y=ex是方程這是一個(gè)一元線性非齊次方程，于是于是有程有解首先，求出未知函數(shù)p(x),把y=ex代入原方求滿足y(ln2)=0的特解.的一個(gè)解，例6若解設(shè)ux=t,則當(dāng)u=0,t=0;當(dāng)u=1,t=x.例7設(shè)f(x)在[0，+∞

）上連續(xù)，且解方程的解為證明方程例8解方程解例9解方程解設(shè)積分得再積分得原方程的通解為則原方程可化為例10求微分方程適合條件的特解.解設(shè)則原方程化為解之由于積分兩次有例11求方程解設(shè)原方程可化為當(dāng)p=0時(shí)，y=C是方程的解，當(dāng)p0時(shí)，有積分得例13求方程解不難求出特征根為1，6，對(duì)應(yīng)的齊次方程的可以判斷出其特解為代入初始條件解得通解為例14解方程解不難求出方程的特征根為2，2.方程的特解方程的特解方程的特解原方程的特解代入初始條件，并解方程組，求得解由于是原方程的解，故例15設(shè)y1=φ(x)是方程的一個(gè)解,若求出此方程的另一個(gè)與y1線性無(wú)關(guān)的解,并寫出所給方程的通解.令原方程的通解為例16設(shè)y(x)

是x的連續(xù)可微函數(shù),且滿足解兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得到整理即再求導(dǎo)，并整理得到微分方程解之得即例17求方程解代入原方程得解這個(gè)微分方程，得其通解為的通解.例18若可微函數(shù)f(x)滿足方程解由所給方程可知f(1)=1,兩邊對(duì)x求導(dǎo),得記

y=f(x),則上述方程化為這是關(guān)于n

=3的伯努力方程.則整理即例19設(shè)函數(shù)f(x)滿足xf

(x)–3xf

(x)=–6x2求由曲線y=f(x),x=1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解原方程可化為旋轉(zhuǎn)體的體積為令又所以V(C)在此唯一駐點(diǎn)處取最小值，所求函數(shù)為例20若f(x)可微,解令y=0,則對(duì)任何x,y,有解方程得通解代入條件f(0)=0,則C=0,所以例21若解由線性方程的理論可知是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，也是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，所以也是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，于是都是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，是某二階非齊次線性方程的三個(gè)解，求這個(gè)微分方程.不難寫出這個(gè)齊次方程為（因?yàn)樘卣鞲?/p>