高中數(shù)學必修五知識點大全

知識點串講必修五1/21第一章：解三角形1．1．1正弦定理1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。2、已知ABC中，A600，a3,求abcsinAsinBsinC證明出abcabcAsinBsinCsinAsinBsinCsin解：設abck(k>o)sinBsinCsinA則有aksinA，bksinB，cksinC從而AabcsinC=ksinAksinBksinC=ksinsinBsinAsinBsinC又a302k，所以abc=2sinAsin60BsinAsinsinC評述：在ABC中，等式abcabc0sinAsinBsinCsinAsinkkBsinC恒成立。3、已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）1.1.2余弦定理1、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bccosAb2a2c22cosBacc2a2b22abcosC從余弦定理，又可得到以下推論：b2 c2 a2cosA2bca2 c2 b2cosB2acb2 a2 c2cosC2ba2/212、在ABC中，已知a23，c62，B600，求b及A⑴解：∵b2a2c22accosB=(23)2(62)2223(62)cos450=12(62)243(31)8b22.A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cosAb2c2a2(22)2(62)2(23)21,2bc222(62)2A600.解法二：∵sina230bsinB22sin45,A又∵62＞2.41.43.8,3＜21.83.6,a＜c，即00＜A＜900,A600.評述：解法二應注意確定 A的取值X圍。3、在 ABC中，若a2 b2 c2 bc，求角A（答案：A=1200）1．1．3解三角形的進一步討論1、在ABC中，已知a,b,A，討論三角形解的情況分析：先由sinBbsinAB；可進一步求出a則C1800(AB)從而casinCA1．當A為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解。2．當A為銳角時，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：3/211）若absinA，則有兩解；2）若absinA，則只有一解；3）若absinA，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且bsinAab時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。2、（1）在ABC中，已知a80，b100，A450，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若a1，c1，C400，則符合題意的b的值有_____個。2（3）在ABC中，axcm，b2cm，B450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值X圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）2 x 22）3、在ABC中，已知a7，b5，c3，判斷ABC的類型。解：725232，即a2b2c2，ABC是鈍角三角形。4、（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判斷ABC的類型。（2）已知ABC滿足條件acosAbcosB，判斷ABC的類型。（答案：（1）ABC是鈍角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）5、在ABC中，A600，b1，面積為3，求abc的值2sinAsinBsinCabcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由S1bcsinA3得c2，22則2b2c22cosA=3，即a3，abc從而abca2AsinBsinCsinAsin4/211.2解三角形應用舉例1、兩燈塔 A、B與海洋觀察站 C的距離都等于 akm,燈塔A在觀察站 C的北偏東 30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？解略：2akm2、某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？解：由題設，畫出示意圖，設汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=AC2BC2AB2=23,2ACBC31則sin2C=1-cos2C=432,312sinC=123,31所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=35362MAC中，由正弦定理得MC=ACsinMAC=31353=35sinAMC3622從而有MB=MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。5/213、S=1absinC，A,S=1acsinB，S=1bcsin2224、在ABC中，求證：（1）a2b2sin2Asin2B;（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）c2sin2C證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設a=b=c=ksinAsinBsinC顯然k0，所以左邊=a2c2b2k2sin2Ak2sin2Bk2sin2C2sinAsinB=右邊sin2C2）根據(jù)余弦定理的推論，b2c2a2c2a2b2a2b2c2右邊=2(bc2bc+ca2ca+ab2ab)=(b 2+c2-a2)+(c 2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊變式練習1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 3,求a及 ABC的面積S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=9 3;a=12,S=18 35、如圖，在四邊形 ABCD中， ADB= BCD=75 ， ACB= BDC=45 ，DC=3，求：（1） AB的長（2） 四邊形ABCD的面積6/21略解（1）因為 BCD=75 ， ACB=45 ，所以ACD=30 ，又因為 BDC=45 ，所以DAC=180 -（75 +45 +30 ）=30 ，所以 AD=DC= 3在 BCD中， CBD=180 -（75 +45 ）=60 ，所以BD=DC，BD=3sin75=62sin75sin60sin602在ABD中，AB2=AD2+BD2-2ADBDcos75=5,所以得AB=5（3）SABD=1ADBDsin75=32324同理，SBCD=334所以四邊形ABCD的面積S=6334第二章：數(shù)列2．1數(shù)列的概念與簡單表示法1、概括數(shù)列的概念： 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列， 數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。辯析數(shù)列的概念：“1，2，3，4，5”與“5，4，3，2，1”是同一個數(shù)列嗎？與“ 1，3，2，4，5”呢？給出首項與第 n項的定義及數(shù)列的記法： {an}2、數(shù)列的分類 :有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列，常數(shù)列。3、數(shù)列的表示方法：項公式列表和圖象等方法表示數(shù)列4、 =2an-1+1（n∈N，n>1），（※） 式稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。7/212．2等差數(shù)列1、數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2、個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的等差中項。3、等差數(shù)列中，若m+n=p+q則amanapaq4、通項公式：以a1為首項，d為公差的等差數(shù)列{an}的通項公式為：ana1(n1)d5、迭加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：（迭加法）：{an}是等差數(shù)列，所以anan1d,an1an2d,an2an3d,??a2a1d,兩邊分別相加得ana1(n1)d,所以ana1(n1)d（迭代法）：{an}是等差數(shù)列，則有anan1dan2ddan22dan3d2dan33d??a1(n1)d所以ana1(n1)d8/216、 ⑴求等差數(shù)列 8，5，2，?的第 20項.⑵-401是不是等差數(shù)列 -5，-9，-13，?的項？如果是，是第幾項？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得a20 8 (211) (3) 49⑵由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項公式為 an 5 4(n 1) 4n 1,由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù) n,使得-401=-4n-1 成立。解這個關于 n的方程，得 n=100，即-401是這個數(shù)列的第 100項。7、某市出租車的計價標準為 1.2元/km，起步價為 10元，即最初的 4km（不含4千米）計費 10元。如果某人乘坐該市的出租車去往 14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為 0，需要支付多少車費？解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于 4km時，每增加 1km，乘客需要支付 1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列 {an}來計算車費.令a1=11.2，表示4km處的車費，公差 d=1.2。那么當出租車行至 14km處時，n=11，此時需要支付車費a11 11.2 (111) 1.2 23.2(元)答：需要支付車費 23.2元。2．2等差數(shù)列的前 n項和1、倒序相加法求和我們用兩種方法表示 Sn：（1）Sna1(a1d)(a12d)...[a1(n1)d],①Snan(and)(an2d)...[an(n1)d],②由①+②，得2Sn（a1an）+（a1an）+（a1an）+...+（a1an）n個n(a1an)由此得到等差數(shù)列{an}的前n項和的公式Snn(a1an)29/21（2）Sna1a2a3...an=a(ad)(a2d)...[a(n1)d]1111=na1[d2d...(n1)d]=na1[12...(n1)]d=na1n(n1)d22、已知一個等差數(shù)列{an}前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？解：由題意知S10310，S201220，Snna1（）將它們代入公式nn1d，210a145d，310得到20a1190d1220解這個關于a1與d的方程組，得到a1=4，d=6，所以Sn4n（）63n2nnn12a1an另解：S10103102得a1a1062；①S20a1a202012202所以a1a20122；②②-①，得10d60，所以d6代入①得：a14Sna1n（）3n2n所以有nn1d21n，求這個數(shù)列的通項公式3、已知數(shù)列{an}的前n項為Snn2.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果2是，它的首項與公差分別是什么？10/21解：根據(jù)Sna1a2...an1an與Saa2...a（n＞1）n11n1可知，當n＞1時，anSnSn1n21（[n211n1）（n1）]2n①222當n=1時，a1S112113也滿足①式.221所以數(shù)列{an}的通項公式為an2n.2由此可知，數(shù)列{an}是一個首項為3，公差為2的等差數(shù)列。2這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.已知前n項和S，可求出通項na1（n）an1SnSn1（n＞1）4、如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.5、已知等差數(shù)列，2，4，....的前n項和為Sn，求使得Sn最大的序號n的值.54377245解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，，，....，所以547377Snn[25（n1）（5）]27=75n5n25152112514（n2）5614于是，當n取與15最接近的整數(shù)即7或8時，S取最大值.2n6、已知數(shù)列an,是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，設kN,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問題 .解：設 an,首項是a1，公差為d則：S6 a1 a2 a3 a4 a5 a611/21S12S6a7a8a9a10a11a12(a16d)(a26d)(a36d)(a46d)(a56d)(a66d)(a1a2a3a4a5a6)36dS636dS18S12a13a14a15a16a17a18(a76d)(a86d)(a96d)(a106d)(a116d)(a126d)(a7a8a9a10a11a12)36dS12S636dS6,S12 S6,S18 S12為等差數(shù)列同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列.7、求集合mm7n,nN*,且m100的元素個數(shù)，并求這些元素的和。解由m=100，得n10027147滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，?7×14即：7，14，21，28，?98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為an,其中a17,a149814(798)S142735解由m=100，得n10014277滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：7，7×2，7×3，7×4，?7×14即：7，14，21，28，?98這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為an,其中a17,a1498S1414(798)7352答：集合m中共有14個元素，它們和等于73512/213等比數(shù)列1、等比數(shù)列的定義：一般地，若一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 .這個常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0），an即：an1=q（q≠0）2、既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．3、等比數(shù)列的通項公式1:ana1qn1(a1,q均不為0)qnm(am，q等比數(shù)列的通項公式2:anam0)4、若{an}為等比數(shù)列，mnpq(m,n,q,pN)，則amanapaq．由等比數(shù)列通項公式得：ama1qm1,ana1qn1，apa1qp1,aqa1qq1，故aman22qpq2，a1qmn2且apaqa1∵mnpq，∴amanapaq．5、已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。解：由題意可以設這三個數(shù)分別為a,a,aq，得：qaaaq27a3qa2(12a22221q2)91q2aaq91q∴9q482q290，即得q29或q21，1，9∴q3或q31，3，9或9，3，1或9，3，1．故該三數(shù)為：1，3，9或說明：已知三數(shù)成等比數(shù)列，一般情況下設該三數(shù)為a,a,aq．q6、數(shù)列an為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項和為80，且前n項中數(shù)值最大的項為54，它的前2n項和為6560，求首項a1和公比q。解：若q1，則應有S2n2Sn，與題意不符合，故q1。依題意有：13/21a11 qn80 (1)qa11q2n1q6560(2)(2)得1q2nn82即q2n82qn8101q得qn81或qn1（舍去），qn81。由qn81知q1，數(shù)列an的前n項中an最大，得an54。將qn81代入（1）得a1q1（3），由aaqn154得aqn54q，即81a154q（4），n11聯(lián)立（3）（4）解方程組得a12q。32.4等比數(shù)列的前n項和1、等比數(shù)列的前n項和公式：一般地，設等比數(shù)列a1,a2a3,an它的前n項和是Sna1a2a3anSna1a2a3an由ana1qn1Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1得qSna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn14/21(1q)Sna1a1qna1(1qn)a1anq論同上）∴當qSn1qSnq1時，①或1②當q=1時，Snna11,1,1,，求使得Sn大于100的最小的n的值.2、已知等比數(shù)列93答案：使得Sn大于100的最小的n的值為7.3、設數(shù)列{an}的前n項和為Sn3na．當常數(shù)a滿足什么條件時，{an}才是等比數(shù)列？答案：a14、已知等比數(shù)列an中,S420,S81640,求S12.15、某商店采用分期付款元的方式促銷一款價格每臺為6000電的腦.商規(guī)店定，購買時先支付貨款的3，剩余部分在三年內按每月底等額還款的方式支付欠款，且結算欠款的利息.已知欠款的月利率為0.5%到第一個月底，貨主在第一次還款之前，他欠商店多少元？22解(1)因為購買電腦時,貨主欠商店3的貨款,即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一個月底的欠款數(shù)應為4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一個月底,欠款余額為4020元.(2)設第i個月底還款后的欠款數(shù)為yi,則有y1=4000(1+0.5%)-ay2=y1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-ay3=y2(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a15/21yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)i-a(1+0.5%)i1i2-a,-a(1+0.5%)-整理得ia(10.5%)i1,36)yi=4000(1+0.5%)0.5%.(i=1,2,-(3)因為y36=0,所以36a(10.5%)3614000(1+0.5%)-0.5%=0即每月還款數(shù)4000(10.5%)360.5%121.69a=(10.5%)361(元)所以每月的款額為121.69元.第三章不等式3.1不等式與不等關系1、不等式的基本性質：（1）ab,bcac（2）abacbc（3）ab,c0acbc（4）ab,c0acbc2、已知ab0,c0,求證cc。ab證明：以為ab0，所以ab>0,10。ab16/21于是1111ab，即aababb由c<0，得ccab3.2 一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式的定義象x2 5x 0這樣，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的不等式，稱為一元二次不等式．2、設一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的兩根為 x1、x2且x1 x2， b2 4ac，則不等式的解的各種情況如下表：0 0 0二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根b無實根ax2bxc0x1,x2(x1x2)x1x22aax2bxc0xxx1或xx2xxbR(a0)的解集2aax2bxc0xx1xx2(a0)的解集3、一個汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價值y（元）之間有如下的關系：y2x2220x若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內大約應該生產多少輛摩托車？解：設在一個星期內大約應該生產x輛摩托車，根據(jù)題意，我們得到2x2220x6000移項整理，得x2110x3000017/21因為△1000，所以方程x2110x30000有兩個實數(shù)根x150,x260．由二次函數(shù)的圖象，得不等式的解為：50x60．因為x只能取正整數(shù)，所以，當這條摩托車整車裝配流水線在一周內生產的摩托車數(shù)量在51-59輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益．4、設A{x|x24x30}，B{x|x22xa80}，且AB，求a的取值X圍．解：令f(x)x22xa8由AB，及二次函數(shù)圖象的性質可得f(1)0，即12a80，解之得9a5．f(3)096a80因此a的取值X圍是9a5．3．3二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．1、畫出不等式2x+y－6＜0表示的平面區(qū)域。解：先畫直線2x+y－＝（畫成虛線）。60取原點（0，0），代入2x+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，∴原點在2x+y－＜0表示的平面區(qū)域內，不等式2x+y－＜0表示的區(qū)域如圖：662、線性規(guī)劃的有關概念：①線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量 x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件．18/21②線性目標函數(shù)：關于x、y的一次式 z=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量 x、y的解析式，叫線性目標函數(shù)．③線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．④可行解、可行域和最優(yōu)解 ：滿足線性約束條件的解（ x,y）叫可行解．由所有可行解組成的集合叫做可行域．使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解3、有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果見表．效果方式輪船運輸量／t飛機運輸量／t種類糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內運輸至少2000t糧食和1500t石油，需至少安排多少艘輪船和多少架飛機？答案：解：設需安排x艘輪船和y架飛機，則≥，6x3y≥，y300x150y2000405x2y300≥，5x2y≥，250x100y150030x≥0，即x≥，0y≥0．y≥．0目標函數(shù)為zxy．作出可行域，如圖所示．作出在一組平行直線xyt（t為參數(shù)）中經過可行域內某點且和原點距離最小的直線，此直線經過直線x20，，直線方程6x3y400和y0的交點A03為：x20y．3由于20不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中x，y必須都是整數(shù)，所以，可行域內點20，不是最優(yōu)解．033經過可行域內的整點（橫、縱坐標都是整數(shù)的點）且與原點距離最近的直線經過的整點是(7，0)，19/21即為