空間向量與立體幾何

文檔編碼:CI5P3N8B2X5——HE4E7X9Y8M6——ZZ2G5G3J8B8[鍵入文字] [鍵入文字]空間向量與立體幾何1.如圖,在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,A1ECF1．A1D11,M是線段EF的（1）求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值；（2）求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值．2.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB2,AF中點(diǎn)．（1））求二面角ADFB的大小；60o．E（2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使PF與BC所成的角是MDCFAB-1-[鍵入文字]AC,AB3,AC34,BCAC．[鍵入文字]3.如圖,已知直三棱柱ABCABC中,ABA大小的余弦值為,求（1）求AA的長．BP的值．（2）在線段BB存在點(diǎn)P,使得二面角PAC3BB11AB1AC1P4.如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4．BC（1）設(shè)ADAB,異面直線AC1與CD所成角的余弦值為910,求的值；B150（2）如點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),求二面角D—CB1—B的余弦值．C1A1ACDB-2-[鍵入文字]AA12,BDDC.[鍵入文字]5.直三棱柱ABCABC中,AB1 1 1AC,AB2,AC4,（1）如1,求直線DB與平面ACD所成角的正弦值；B1A1DC1（2）如二面角B1AC1D的大小為60,求實(shí)數(shù)的值.ACB第5題圖6.如圖,在直三棱柱ABCABC中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC1,AA12,點(diǎn)P是棱BB上一點(diǎn),中意BPBB1〔0≤≤1〕.B1A1C1（1）如=1,求直線PC與平面ABC所成角的正弦值；3（2）如二面角PACB的正弦值為2,求的值.3PBAC（第6題）-3-[鍵入文字] [鍵入文字]7.如圖,在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中,側(cè)面 ADD1A1⊥底面ABCD,D1A＝D1D＝ 2,底面ABCD為直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD＝2AB＝2BC＝2；（1）在平面ABCD內(nèi)找一點(diǎn)F,使得D1F⊥平面AB1C；（2）求二面角 C－B1A－B的平面角的余弦值；-4-空間向量與立體幾何1.如圖,在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中,A1EA1CFD11．（1）求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值；（2）求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值．解：∵DA,DC,DD1兩兩垂直,∴以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如以下圖,∵棱長為3,A1ECF1,〔,3〕1,0,y就D〔0,0,0〕,A〔3,0,0〕,B〔3,3,0〕,C〔0,3,0〕,A1D1zD1〔0,0,3〕,A1〔3,0,3〕,B1〔3,3,3〕,C1〔0,3,3〕,E〔3,0,2〕,F〔0,3,1〕,∴AC1〔3,3,3〕,D1E〔,30,〕1∴cosAC1,D1E9999391230,15兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值是230x15（2）設(shè)平面BED1F的法向量是n〔x,y,z〕,又∵BE〔0,,32〕,BFnBE,nBF,∴nBE,nBF0,〔3,3,3〕,即3y2z00,令z3,就x,1y2,所以n〔,1,23〕,又AC13xz∴cosAC1n1439699242,99212,AF1,M是線段EF的∴直線AC1與平面BED1F所成角是2AC,n,它的正弦值是sin〔2AC1,n〕cosAC1,n242.212.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB中點(diǎn)．（1））求二面角ADFB的大??；EMFB成的角是（2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使PF與BC所60o．C-5-DA22．解：（1）以u(píng)uuruuruurCDCBCE為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系,就E〔001〕,D〔2,00〕,,F2,2,1,B〔0,2,0〕,A〔2,2,0〕,uuurBD〔2,2,0〕,uuurBF〔2,0,1〕．面ADF的法向量r

t〔1,0,0〕,?????????????????????2分設(shè)面DFB法向量r

n〔,,〕,就ruuurnBD0,ruuurnBF0,所以2ac2b0,令a1,得b1,c2,所以r

n〔1,1,2〕．????..4分2a0.設(shè)二面角ADFB的大小為〔02〕cosrr

nt1,從而cos60,2故二面角ADFB的大小為60o．???????..6分（3）依題意,設(shè)Paa〔,,0〕（0a2）,就uuurPF〔2a,2a,1〕,uurCB〔0,2,0〕．由于uuuruur

PFCB60o,所以cos60o22〔2a〕211,解得a2,?..9分2〔2a〕22所以點(diǎn)P應(yīng)在線段AC的中點(diǎn)處．??????????????????.10分3.如圖,已知直三棱柱ABCABC中,ABAC,AB3,AC4,BCAC．（1）求AA的長．1（2）在線段BB存在點(diǎn)P,使得二面角PACA大小的余弦值為3,求BP的值．3BB1A1B1C1-6-PABC（23題圖）23．（1）以 ABACAA所在直線為 xyz軸建立如以下圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè) AA1 t,就 A〔0,0,0〕 ,C1〔0,4,〕t, B1〔3,0,〕t,C〔0,4,0〕 ∴ AC1 〔0,4,〕t, BC1 〔3,4, t〕BC AC1 ACBC 0,即16 t 20,解得 t 4,即 AA的長為4． ??3分（2）設(shè) P〔3,0,m,又 A〔0,0,0〕 ,C〔0,4,0〕 , A1〔0,0,4〕AC 〔0,4, 4〕, AP 〔3,0,m 4〕,且0 m 4設(shè)n 〔,,〕xyz為平面 PAC的法向量 n ACn AP∴

4y 4z 0,取 z 1,解得 y 1,x 4 m,3x 〔m 4〕z 0 3∴n 〔 4 m,1,1〕為平面 PAC的一個(gè)法向量． ??6分3又知 AB 〔3,0,0〕 為平面 ACA的一個(gè)法向量,就 cos nAB 4 m3 11 〔4 m〕 23∵二面角 P AC1 1 A大小的余弦值為 3 , ∴ 4 m 3,33 11 〔4 m〕 2 33解得： m 1 BP 1??10分BB1 44.如圖,在四棱柱 ABCD ABCD中,1 1 1 1 AD 1,DD1 2,點(diǎn)P為棱 CC的中點(diǎn)；1（1）設(shè)二面角 A AB P的大小為 ,求sin 的值；AM（2）設(shè)M為線段 AB上的一點(diǎn),求 的取值范疇；MP-7-5.如圖,在直三棱柱 ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4．（1）設(shè) AD AB,異面直線 AC1與CD所成角的余弦值為 910,求 的值；50（2）如點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),求二面角 D—CB1—B的余弦值．-8-C1 B1A1Cn1B〔4,3,3〕立如以下圖的AD22.解：（１）由AC=3,BC=4,AB=5得ACB900?????１分以CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建空間直角坐標(biāo)系．就Ａ〔3,0,0〕,C〔0,0,4〕,B〔0,4,0〕,設(shè)D〔x,y,z〕,就由ADAB得CD〔33,4,0〕,而AC1〔3,04〕,依據(jù)910|525999|解得,1或502185；1

3?????５分（２）CD〔3,2,0〕,CB1〔0,4,4〕,可取平面CDB的一個(gè)法向量為12??????????７分而平面CBB的一個(gè)法向量為1n2〔1,0,0〕,并且nn1 2與二面角D—CB1—B相等,所以二面角D—CB1—B的余弦值為coscosnn2234．???１０分176.如圖,在長方體ABCDABCD中,AA1AB2AD2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),F在DE上的一點(diǎn),1DF12FE.z（1）證明：平面DFC⊥平面DEC；（2）求二面角ADFC的大??；DCA1B1FxADEBCy-9-【命題立意】此題旨在考查空間向量,空間坐標(biāo)系,向量的運(yùn)算,平面與平面垂直的向量證法,二面角的求法等基礎(chǔ)學(xué)問．難度中等．解：（1）以D為原點(diǎn),分別以 DA、DC、DD1所在直線為就A〔1,0,0〕,B〔1,2,0〕,C〔0,2,0〕,D1〔0,0,2〕.∵E為AB的中點(diǎn),∴E點(diǎn)坐標(biāo)為E〔1,1,0〕,∵D1F=2FE,∴DF2DE2〔1,1,2〕〔22,33,4〕,333x軸、y軸、z軸建立如以下圖空間直角坐標(biāo)系,DF DD1 DF 〔0,0,2〕 〔

22, ,

4〕 〔

222, , 〕????? 2分33 3 333設(shè)n 〔,,〕是平面DFC的法向量,就 n DF 0,∴

23

x

23

y

23

z 0,n DC 0 2y 0,取x=1得平面FDC的一個(gè)法向量 n 〔1,0,1〕, ????????????? 3分設(shè) p 〔,,〕是平面ED1C的法向量,就 p DF 0,∴

23

x

23

y

43

z 0,p DC 0, 2y 2z 0,取y=1得平面D1EC的一個(gè)法向量 p 〔1,1,1〕, ????? 4分∵np 〔1,0,1〕〔1,1,1〕 0,∴平面DFC 平面D1EC. ???????? 5分（2）設(shè) q 〔,,〕是平面ADF的法向量,就 q DF 0,q DA 0,∴

23

x 23

y 23

z 0,取y=1得平面ADF的一個(gè)法向量 q 〔0,1,1〕, ????7分x 0,設(shè)二面角A-DF-C的平面角為 ,由題中條件可知 〔 π,π〕,2就cos ＝－| nq |＝－0 0 1 1,???????????????? 9分|n||q| 2 2 2∴二面角A-DF-C的大小為120°.7.如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD為矩形,SA平面ABCD,AB,1ADAS2,P是棱SD上一點(diǎn),且SP1PD；2（1）求直線AB與CP所成角的余弦值；（2）求二面角APCD的余弦值；-10-【答案】（1）341 41；（2）4242【命題立意】此題旨在考查空間向量,空間坐標(biāo)系,向量的運(yùn)算,直線與直線所成的角,二面角的求法等基礎(chǔ)學(xué)問．難度中等．（1）如圖,分別以AB,AD,AS為x,,軸建立空間直角坐標(biāo)系．Dy就A〔000〕,,,B〔100〕,C〔120〕,,,D〔0,,,S〔0,,02〕.設(shè)Px0,y0,z0〕,由SP1SD,得〔x0,y0,z02〕1〔0,,2〕,33x00,y0423,z04,點(diǎn)P坐標(biāo)為〔0,,2 43 3〕．2分Sz3CP〔1, 4,3〕,AB〔100〕,??????3設(shè)直線AB與CP所成的角為,P就cos11〔〔443〕0〕40341．????4分BAC31〕2〔4321413x（第22題）6分8分10分（2）設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為m〔x1,,yz1〕,mACx12y=0,所以mAP2y14z10.33令y12,就x14,z11,m〔4,21〕,．?????????????????設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n〔x2,,2 z2〕,由于DC〔100〕,,,DS〔0,22〕,,所以nDCx2y202z20,令y21,就z21,n〔011〕,,．????????nDS2設(shè)二面角APCD的大小為,由于cosmn041〔2〕1142,22142所以,由向量mn,的方向,得coscosmn=42.??????????42-11-8.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF中,AB＝2,CE＝1,CE⊥平面ABCD．BBy（1）求異面直線DF與BE所成角的余弦值；（2）求二面角A－DF－B的大小．EFCDA（第23題圖）23．解：⑴以{CD→,CB→,CE}為正交基底,建立如圖空間直角坐標(biāo)系C－xyz,就D〔2,0,0〕,F〔2,2,1〕,E〔0,0,1〕,B〔0,2,0〕,C〔0,0,0〕,所以DF→＝〔0,2,1〕,BE→＝〔0,–2,1〕,??????2分從而cos<DF→,BE>＝–13＝－13．????????4分Ez3所以直線DF與BE所成角的余弦值為1

3．???????5分F〔2〕平面ADF的法向量為m＝CD→＝〔2,0,0〕.?????6分C設(shè)面BDF的法向量為n=〔x,y,z〕．又BF→＝〔2,0,1〕．DA由n·→＝0,n·→＝0,x8分得2y＋z＝0,2x＋z＝0,取x＝1,就y＝1,z＝–2,所以n=〔1,1,－2〕,???????????????所以cos<m,n>＝422＝12．又由于<m,n>∈[0,],所以<m,n>＝3．所以二面角 A–DF–B的大小為3．?????????????????????? 10分9.直三棱柱 ABC ABC中,AB1 1 1 AC, AB 2, AC 4, AA1 2,BD DC.（1）如 1,求直線 DB與平面 ACD所成角的正弦值；（2）如二面角 B1 AC1 D的大小為60,求實(shí)數(shù) 的值.A1 C1B1-12-BADC第22題圖解：分別以 ABACAA所在直線為 xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系 .就 A〔0,0,0〕 , B〔2,0,0〕 ,C〔0,4,0〕 , A1〔0,0,2〕 ,B1〔2,0,2〕 ,C1〔0,4,2〕 ????2分（1）當(dāng) 1時(shí),D為BC的中點(diǎn),所以 D〔1,2,0〕 ,DB1 〔1,2,2〕,AC1 〔0,4,0〕 ,AD 〔1,2,2〕,設(shè)平面 ACD的法向量為 n1 〔,,〕就

4y 0,所以取 n1 〔2,0,1〕,又 cos DBn1 1 DB1 n1 4 4 5,x 2z 0 |DB1||n1| 35 15所以直線 DB與平面1 ACD所成角的正弦值為1 1 4 5. ????6分15（2） BD DC, D〔 2,

4,0〕 , AC1 1 〔0,4,0〕 , AD 〔 2,

4,2〕,1 1 1 14y 0設(shè)平面 ACD的法向量為1 1 n1 〔,,〕xyz,就 2 x 2z 0 ,1所以取 n1 〔 1,0,1〕. ????8分又平面 ABC的一個(gè)法向量為1 1 1 n2 〔0,0,1〕,由題意得 |cos nn2 | 1,2所以 1 1,解得 3 1或 3 1（不合題意,舍去）,〔 1〕

21 2所以實(shí)數(shù) 的值為 3 1. ????10分10.如圖,在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中,側(cè)面ADD1A1⊥底面ABCD,D1A＝D1D＝ 2,底面ABCD為直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD＝2AB＝2BC＝2；（1）在平面ABCD內(nèi)找一點(diǎn)F,使得D1F⊥平面AB1C；（2）求二面角 C－B1A－B的平面角的余弦值；-13-11.如圖,在直三