專(zhuān)題15 三角形中的范圍與最值問(wèn)題（解析版）

1、第 頁(yè)專(zhuān)題15 三角形中的范圍與最值問(wèn)題 【方法技巧與總結(jié)】1.在解三角形專(zhuān)題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類(lèi)問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，

2、避免結(jié)果的范圍過(guò)大.2.解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見(jiàn)題型：(1)求角的最值；(2)求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；(3)求面積的最值和范圍.【題型歸納目錄】題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題 題型二：面積問(wèn)題題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題題型五： 倍角問(wèn)題題型六： 角平分線(xiàn)問(wèn)題題型七： 中線(xiàn)問(wèn)題題型八： 四心問(wèn)題題型九： 坐標(biāo)法題型十： 隱圓問(wèn)題題型十一：兩邊夾問(wèn)題題型十二：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題題型十三：最大角問(wèn)題題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問(wèn)題題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似題型十六：三角形中的平方問(wèn)題題型十七：等面積法、張角定理【典例例題】題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題 例1（2022云南昆明市第三中學(xué)高一

3、期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(1)求A；(2)從三個(gè)條件：的面積為；中任選一個(gè)作為已知條件，求周長(zhǎng)的取值范圍【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理及已知有，應(yīng)用差角余弦公式化簡(jiǎn)求得，即可確定A的大小.（2）根據(jù)所選的條件，應(yīng)用正余弦定理、三角恒等變換及基本不等式、三角函數(shù)的范圍求周長(zhǎng)的取值范圍(1)在中，由得：，又，即，又，(2)選擇：因?yàn)椋瑒t，得，由余弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是選擇：，因?yàn)?，由正弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，則，故，所以，即的周長(zhǎng)的取值范圍是選擇：因?yàn)?，由正弦定理得，即的周長(zhǎng)，因?yàn)?，?/p>

4、以，則，即的周長(zhǎng)的取值范圍是.例2（2022重慶高一階段練習(xí)）已知向量，函數(shù)(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若的內(nèi)角、所對(duì)的邊分別為、，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)并化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求值域作答.（2）由（1）求出，借助余弦定理求出的范圍，即可求解作答(1)（1）依題意，由得，所以在上的值域?yàn)?(2)由得，則有，解得，在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=“，即有，又因?yàn)?，則，因此，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為例3（2022浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）銳角的內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，.若，且的外接圓半徑為1，則周長(zhǎng)的取值范圍為

5、_.【答案】【解析】【分析】由余弦定理變形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用余弦定理表示出的關(guān)系，并由基本不等式得出的一個(gè)范圍，結(jié)合三角形的性質(zhì)求得的范圍，從而可得結(jié)論【詳解】解：由余弦定理，得，即，因?yàn)?，所?由正弦定理，得.因?yàn)?，由?nèi)切圓的性質(zhì)可得，所以，在中，由余弦定理，得，即，解得，又，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍.故答案為：.例4（2022浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，的最小值為(1)求的值及的對(duì)稱(chēng)中心；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若，求周長(zhǎng)的取值范圍【答案】(1)，對(duì)稱(chēng)中心；(2)【解析】【分析】（1）先由倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)得，再結(jié)合

6、已知求得周期即可求出，由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求得對(duì)稱(chēng)中心；（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求得周長(zhǎng)的取值范圍(1)，顯然的最大值為1，最小值為，則時(shí)，的最小值等于，則，則，；令，解得，則的對(duì)稱(chēng)中心為；(2)，又，則，由正弦定理得，則，則周長(zhǎng)為，又，則，則，故周長(zhǎng)的取值范圍為.題型二：面積問(wèn)題例5（2022貴州黔東南高一期中）在面積為S的ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求C的值；(2)若ABC為銳角三角形，記，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式、正弦定理及余弦定理即可求解；（2）根據(jù)題干得

7、出角的取值范圍，利用三角形面積公式及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后利用角的取值范圍進(jìn)行求解.(1)解：在中，由三角形面積公式得，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，又，故.(2)解：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?例6（2022浙江高二階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為(1)求角；(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，且，求面積的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合輔助角公式得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）結(jié)合正弦定理以及三角恒等變換求出，然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出的面積的取值范圍，從而根據(jù)即可求出結(jié)果.(1)因?yàn)椋?，?2)，因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足，所以,例7（2022浙江杭師大附中

8、模擬預(yù)測(cè)）在中，D的邊的中點(diǎn)，(1)求角C；(2)求面積的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)內(nèi)角和公式和二倍角余弦公式化簡(jiǎn)求角C；(2)由余弦定理可得的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求的最大值，根據(jù)三角形面積公式求面積的取值范圍(1)因?yàn)?，所以所以，故，又；所?(2)在中，由余弦定理可得因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積例8（2022江蘇省天一中學(xué)高一期中）在中，角ABC所對(duì)應(yīng)的邊分別為abc，若.是銳角三角形，則面積的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意和余弦定理，求得，再結(jié)合余弦定理求得，再由正弦定理可得，化簡(jiǎn)，根據(jù)是銳角三角

9、形求得，得到，即，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由余弦定理可得，整理得，又由，因?yàn)?，所以由正弦定理可知：，所以，故，因?yàn)槭卿J角三角形，解得，可得，所以，故，又由的面積，所以故答案為：題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題例9（2022遼寧模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求角C的大小；(2)設(shè)，若的外接圓半徑為4，且有最大值，求m的取值范圍【答案】(1)(2)（1，4）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.（2）由題意及正弦定理可知，利用正弦定理及正弦函數(shù)兩角和公式將化為型函數(shù)進(jìn)行求解.(1)解：由已知及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，所?2)由正

10、弦定理得，所以，其中，又，所以，若存在最大值，則有解，則，即，所以解得，即m的取值范圍是（1，4）例10（2022河南模擬預(yù)測(cè)（文）在中，角，的對(duì)邊分別為，(1)求；(2)求的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出，利用余弦定理求出，即可求出；（2）先求出，即可求出的取值范圍(1)因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，由余弦定理得：，解得?所以.(2)由（1）可知：.而，所以，所以，所以.故的取值范圍為.例11（2022江蘇高三專(zhuān)題練習(xí)）已知 內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， ，的面積.(1)求邊c；(2)若為銳角三角形，求a的取值范圍.【答案】(1)1(2)【解

11、析】【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得，由三角形面積公式結(jié)合，求得答案；（2）由正弦定理表示，由三角形為銳角三角形確定，即可求得答案.(1)因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?.(2)在 中，由正弦定理，由（1）知，代入上式得：，因?yàn)闉殇J角三角形，則,所以，所以，所以.例12（2022陜西寶雞中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文）已知，(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根據(jù)，即可得解(1

12、)解：因?yàn)?，且，所以即，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)解：因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ?，即，即而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，又因?yàn)?，所以，即?3（2022江蘇南京模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)?jiān)谙蛄?，且；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線(xiàn)上并解答在銳角三角形中，已知角，的對(duì)邊分別為，c，(1)求角；(2)若的面積為，求的取值范圍注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)選：根據(jù)平面共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示和正弦定理可得，結(jié)合余弦定理即可求出C；選：根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；(2)由三角形

13、的面積公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.(1)選擇：因?yàn)?，所以，由正弦定理得，即，即，即，即因?yàn)?，又為銳角，所以選擇：因?yàn)?，由正弦定理得，即又，所以因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，(2)因?yàn)?，所以，則(法一)由余弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以即將代入上式可得即解得令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即的取值范圍為(法二)由正弦定理得，又，所以因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得因?yàn)?，所以，即，解得令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即的取值范圍為例14（2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且(1)求角；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍【答案

14、】(1)；(2).【解析】【分析】（1）角換邊，在利用余弦定理求解；（2）邊換角，將待求表達(dá)式表示成關(guān)于的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出的范圍，最后再求表達(dá)式的范圍即可.(1)因?yàn)?，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得因?yàn)?，所?2)由正弦定理得因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為例15（2022遼寧撫順市第二中學(xué)三模）在，這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，問(wèn)題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，_(1)求角B(2)求的范圍【答案】(1)任選一條件，都有(2)【解析】【分析】（1）若選由正弦定理可得，再由余弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得答案; 若選由余弦的

15、二倍角公式結(jié)合余弦的差角公式可得出答案;若選由正弦定理結(jié)合切化弦可得，從而得到，得出答案.(2)由正弦定理可得，即，結(jié)合,利用正弦的差角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)結(jié)合角的范圍可得答案.(1)選擇：，由正弦定理可得：，可得：，可得：，由余弦定理可得：，整理可得：，可得：選擇：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以；選擇：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又由，可得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?2)在中，由（1）及，故，因?yàn)?，則所以的范圍為例16（2022浙江模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別是，若，則的最小值為_(kāi)【答案】12【解析】【分析】利用正弦定理及和角公式可得，再結(jié)合條件及正弦定理可得，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【詳解

16、】在中，角所對(duì)的邊分別是，即，因?yàn)椋?，又，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為為12.故答案為：12.例17（2022安徽黃山二模（文）在中，角，的對(duì)邊分別為，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合正弦定理的邊角互化，易得且、，可知存在最大值即，進(jìn)而可求的范圍.【詳解】，由正弦定理得：，其中，又，存在最大值，即有解，即，解得，又，解得，故的范圍是故答案為：例18（2022浙江高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的三邊長(zhǎng)分別為，角是鈍角，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由B是鈍角，得出，再按ca和ca放縮，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)得解.【詳解】的三邊長(zhǎng)分別為，且角是鈍角

17、，則，當(dāng)ca時(shí)，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即，ca時(shí)，令，在上單調(diào)遞增，即，綜上得，所以的取值范圍是.故答案為：例19（2022黑龍江哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由均值不等式可得出的最小值，由余弦定理可得，再由正弦定理結(jié)合條件可化為，由輔助角公式可得最大值.【詳解】(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))由，可得， 其中 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以故選：C題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題例20（2022河北秦皇島二模）在銳角中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦

18、定理角化邊，再根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而求出的大小；（2）依題意可化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍求出的取值范圍即可.(1)因?yàn)椋?，?因?yàn)?，所?因?yàn)椋?(2)由（1）知.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?例21（2022廣東茂名模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，且(1)判斷的形狀并給出證明；(2)若，求的取值范圍【答案】(1)為等腰三角形或直角三角形，證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出，可得出或，可得出或，即可得出結(jié)論；（2）分析可得，且，利用誘導(dǎo)公式以及輔助角公式可得出，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.(1)解：為等腰三角形或

19、直角三角形，證明如下：由及正弦定理得，即，即，整理得，所以，故或，又、為的內(nèi)角，所以或，因此為等腰三角形或直角三角形(2)解：由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因?yàn)椋?，得，所以，因此的取值范圍為?2（2022浙江溫州三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，運(yùn)用正弦定理可以求另外一個(gè)角；（2）由三角恒等變換公式或積化和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成的形式，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.(1)由正弦定理得：，或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以舍去，所以.(2)（或者用

20、積化和差公式一步得到），所以A為銳角，又，所以，所以，所以，所以.例23（2021河北滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最大值；(2)已知在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足，求的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式得到，在根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)三角形為銳角三角形求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：，此時(shí)，即，；(2)解：由，由正弦定理及已知可得，整理得，即，由，則，所以，則，因?yàn)?，所以，由?/p>

21、由，即，所以，所以，所以，則，則，的取值范圍為例24（2022山西模擬預(yù)測(cè)（理）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.(1)及，化簡(jiǎn)得，又，.(2)由（1）可得為銳角三角形，且，.，故的取值范圍為.例25（2022安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊是，且，若變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】利用化已知等式為邊的齊次式，然后由正弦定理化邊為角

22、，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換求得關(guān)系，并求得角范圍，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，則最大值的存在性得出與的關(guān)系，從而得范圍【詳解】因?yàn)?，所以化為，由正弦定理得，即，所以或，即或（舍去），是銳角三角形，所以，令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得最大值，因?yàn)?，所以故答案為：?6（2022江西南昌十中模擬預(yù)測(cè)（理）銳角中，角A的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)， ,則 的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理表示出，從而表示出，根據(jù)角的范圍結(jié)合三角恒等變換求得答案.【詳解】由已知得， ,在中，由正弦定理得， ,同理可得 ,故,而 ，因?yàn)殇J角中， ,故，則，故，故答案為：例27（2022遼寧高一期

23、中）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，已知，且為鈍角，則_，的取值范圍是_【答案】 # 【解析】【分析】先通過(guò)正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求得；再將化為，然后展開(kāi)并結(jié)合二倍角公式求出答案.【詳解】由已知，,，即，所以，故的取值范圍是例28（2021云南師大附中高三階段練習(xí)（理）如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB4千米，則ACB_；現(xiàn)要在空地中修建一個(gè)三角形的綠化區(qū)域，其三個(gè)頂點(diǎn)為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點(diǎn)，若使，則BDBE最小值為_(kāi)平方千米【答案】 # 【解析】【分析】在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；設(shè)分別在，中，利用正弦定理分別求得BD，BE，再由；令轉(zhuǎn)化為求解

24、.【詳解】在中，由余弦定理得，則根據(jù)正弦定理有所 以，；設(shè)則在中，由正弦定理得 在中，由正弦定理得則；令則則易知分母且是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，則是一個(gè)單調(diào)遞減的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為：；.例29（2021浙江舟山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在中，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的外接圓半徑=_，的最小值為_(kāi)【答案】 ；【解析】【分析】第一空，在中，由正弦定理，即得解；第二空，設(shè)，在中，由正弦定理可得，在中，即得解【詳解】在中，由正弦定理，設(shè)，在中，由正弦定理，得，在中，其中，從而，由最小值為的最小值故答案為：，.例30（2022湖北武漢二中模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，則角的范圍是_，的取值范圍為_(kāi).【答案】 【解析】

25、【分析】由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求【詳解】解：因?yàn)榧?，所以，由正弦定理得，所以，整理得，即，所以，即，又為銳角三角形，所以，解得，故，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，即故答案為：；例31（2022新疆喀什一模）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，且為銳角，則的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】將式子中的邊b、c都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即變?yōu)?，由于，利用均值不等式便可求得其最小?【詳解】，即，為銳角，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為故選：A例32（2021北京高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳

26、角中，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，則的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】確定B的范圍,利用正弦定理化簡(jiǎn)表達(dá)式,求出范圍即可.【詳解】在銳角中,，,而，所以，所以由正弦定理可知:,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,注意銳角三角形中角的范圍的確定,是本題解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,邏輯推理能力,屬于中檔題.例33（2022石家莊模擬）如圖，平面四邊形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線(xiàn)的最大值為【解答】解：設(shè)，由余弦定理可得，；由正弦定理可得：，時(shí)，取得最大值為3故答案為：3題型五： 倍角問(wèn)題例34（2021安徽蕪湖一中高一期中）的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，若，則的取值

27、范圍為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出的范圍，結(jié)合正弦定理，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過(guò)三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，故，在中，由正弦定理，得，因，所以，故，所以的取值范圍為，故答案為：.例35（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則的取值范圍為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理和，將轉(zhuǎn)化為，然后令，則，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出的取值范圍，進(jìn)而可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，令，則，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考

28、查正弦定理的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題例36（2020全國(guó)高二單元測(cè)試）已知是銳角三角形，分別是的對(duì)邊.若，則的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由題意和內(nèi)角和定理表示出C，由銳角三角形的條件列出不等式組，求出B的范圍，由正弦定理和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，由函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)論【詳解】，又是銳角三角形，解得，由正弦定理得：，由，得，即，令 ，令，則在上單調(diào)遞增，即的范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中

29、檔題例37（2020陜西無(wú)高一階段練習(xí)）已知是銳角三角形，若，則的取值范圍是_.【答案】（）【解析】由正弦定理可得：，根據(jù)題意，確定的范圍，再代入求出即可【詳解】解：，由正弦定理可得：，當(dāng)為最大角時(shí)，當(dāng)為最大角時(shí)，可得：，、故，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查了三角形求邊角的范圍，中檔題例38（2019四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試（文）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)整理可得，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出值域即可【詳解】 在中，利用正弦定理可得： 又，設(shè)，則，令，則令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞

30、增，所以的取值范圍為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題例39（2021江西鷹潭一模（理）已知的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，若，則的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】【分析】作，則，由，可得，可求，令，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求在，單調(diào)遞，在，上單調(diào)遞增，可得，從而得解【詳解】解：由于，作，則，因?yàn)椋傻茫?，令，可得，所以，令，可得，由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，綜上故答案為：例40（2022蕪湖模擬）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則最小值是【解答】解：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則最小值是3，故答案為：3例4

31、1（2022道里區(qū)校級(jí)一模）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，則的取值范圍為【解答】解：，因?yàn)椋?，所以，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞減，所以（1），即，故的取值范圍為故答案為：題型六： 角平分線(xiàn)問(wèn)題例42（2022河北保定高一階段練習(xí)）記的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.(1)求的大??；(2)若邊上的高為，且的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根據(jù)面積得，整理分析(1)由正弦定理得，得，因?yàn)?，所以，?(2)因?yàn)椋?由余弦定理得，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），即.因?yàn)?/p>

32、，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.故的最小值為.例43（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.且滿(mǎn)足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角C的大??；(2)設(shè)AB邊上的角平分線(xiàn)CD長(zhǎng)為2，求ABC的面積的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）先通過(guò)正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合兩角和與差的正弦公式將式子化簡(jiǎn)，然后求得答案；（2）在和中，分別運(yùn)用正弦定理，進(jìn)而求出，然后在中再次運(yùn)用正弦定理得到，最后通過(guò)三角形面積公式結(jié)合基本不等式求得答案.(1)根據(jù)題意，由正弦定理可知：，則，因?yàn)?，所以，則，而，于是.(2)由（

33、1）可知，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，所以.在中，由正弦定理得：，所以.由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.于是，.即ABC的面積的最小值為.題型七： 中線(xiàn)問(wèn)題例44（2022江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足.(1)求角A；(2)若是的中線(xiàn)，且，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦的二倍角公式，再利用正弦定理的角化邊及余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)特殊值對(duì)應(yīng)特殊角及角的范圍即可求解；（2）根據(jù)已知條件及中線(xiàn)的向量的線(xiàn)性表示，再利用向量的數(shù)量積極及基本不等式即可求解.(1)由及二倍角的余弦公

34、式，得，即，于是有，及正弦定理，得，由余弦定理，得，.(2)因?yàn)槭堑闹芯€(xiàn)，所以，兩邊平方，得,由（1）知，所以，所以即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.例45（2022山西運(yùn)城高一階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.(1)若的面積為為邊的中點(diǎn)，求中線(xiàn)的長(zhǎng)度；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求得A，根據(jù)三角形面積公式求得bc的積，根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算表示 ，利用余弦定理結(jié)合向量的模的計(jì)算，求得答案;（2）由已知可得到，繼而化簡(jiǎn)為，兩邊平方，結(jié)合可得到，從而將變?yōu)?，利用基本不等式即可求得答?(1)由正弦定理，得，得，

35、得，即.的面積為.為邊的中點(diǎn)，又，即，中線(xiàn)的長(zhǎng)度為.(2)為邊上一點(diǎn)，即，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故的最小值為.例46（2022湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）銳角中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且(1)求角C的大??；(2)若邊，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線(xiàn)CD長(zhǎng)的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及正弦定理化簡(jiǎn)求解，因?yàn)?，所以；?）由余弦定理與正弦定理，然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解其取值范圍即可.(1)因?yàn)?，所以，即，又因，所以又由題意可知，所以，因?yàn)椋?(2)由余弦定理可得，又，則，由正弦定理可得，所以，所以，由題意得，解得，則，所以所以所以所以

36、中線(xiàn)CD長(zhǎng)的取值范圍為例47（2022山東濱州二模）銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)求A；(2)若，D為AB的中點(diǎn)，求CD的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理可得，進(jìn)而可得，又為銳角三角形，從而即可求解；（2）在中，由余弦定理可得，又為銳角三角形，進(jìn)而有，又，可得，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.(1)解：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以；(2)解：由（1）知，又，在中，由余弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由余弦定理可得，又，所以 ，解得，所以由二次函數(shù)性質(zhì)可得CD的取值范圍是

37、.例48（2022安徽合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文）在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足_(1)求C；(2)若 的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值【答案】(1)(2)2【解析】【分析】（1）選，由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，求得答案; 選,由正弦定理邊化角，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，求得答案; 選，由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)可得，求得答案; （2）利用三角形的面積公式可得，由余弦定理結(jié)合基本不等式可推出，即可求得答案.(1)選條件由可得，由正弦定理得， 因?yàn)?，所以，?/p>

38、以，故，又，于是，即，因?yàn)?，所? 選條件因?yàn)椋杂烧叶ɡ砑巴侨呛瘮?shù)的基本關(guān)系式，得，即，因?yàn)?，所以，又，故 ,所以，因?yàn)椋?選條件在 中，由正弦定理得 ，又，所以,所以，所以，即，又，所以 ；(2)由題意知，得，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以BD的最小值為2.例49（2022山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）在，兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.在中，內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是、，且_.(1)求角；(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求線(xiàn)段的取值范圍.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【解析】【分析】（1）選，由正弦定理化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選，由正

39、弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.(1)解：選，由及正弦定理可得，所以，因?yàn)椤?，所以，則，所以，；選，由及正弦定理可得，所以，、，所以，則.(2)解：因?yàn)椋?，由已知，即，所以，所以，即，所以?例50（多選題）（2022甘肅定西高一階段練習(xí)）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，BC邊上的中線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的有：（）ABCDBAD的最大值為60【答案】ABC【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積公式,余弦定理及基本不等式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行

40、判斷即可.【詳解】A正確；，故B正確；由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），由A選項(xiàng)知，解得，故C正確；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），又，BAD的最大值30，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選: ABC題型八： 四心問(wèn)題例51（2022山東泰安模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O是的外心，(1)求角A；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍，【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形外心的定義和向量數(shù)量積的幾何意義對(duì)條件化簡(jiǎn)，然后利用正弦定理邊化角，整理化簡(jiǎn)可得；（2）先求外接圓半徑，結(jié)合（1）和正弦定理將三角形周長(zhǎng)表示為角C的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.(1)過(guò)

41、點(diǎn)O作AB的垂線(xiàn)，垂足為D，因?yàn)镺是的外心，所以D為AB的中點(diǎn)所以，同理所以，由正弦定理邊化角得：所以整理得：因?yàn)?，所以所以，即又，所以，?2)記外接圓的半徑為R，因?yàn)橥饨訄A的周長(zhǎng)為，所以，得所以周長(zhǎng)由（1）知，所以因?yàn)椋运运?，即所以周長(zhǎng)的取值范圍為例52（2021河南南陽(yáng)高三期末（理）在中，.(1)求A；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，再結(jié)合解三角方程即可求解.（2）由題意可知，利用三角形的等面積法及余弦定理得出含有和的關(guān)系式，再利用基本不等式的變形即可求得的最小值.(1)在中,，整

42、理得，即，于是所以，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解?所以.(2)令，（1）知.由，得，即，由余弦定理及（1）知，得，所以，即，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以，或又的內(nèi)切圓半徑， ，的最小值為.例53（2022江西高三階段練習(xí)（理）已知O是三角形ABC的外心，若，且，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用外心的性質(zhì)以及正弦定理，轉(zhuǎn)化已知條件，從而求得關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式即可求得其最大值.【詳解】設(shè)三角形的外接圓半徑為，因?yàn)镺是三角形ABC的外心，故可得，且，故，即，也即，則，又，由正弦定理可得：，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.故選：A.例54（202

43、2全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A3BCD【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由題設(shè)條件得到的關(guān)系：，由是三角形的外心可得，對(duì)，消去AO，利用基本不等式求得m的范圍.【詳解】如圖所示：設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得，由是三角形的外心可知，是三邊中垂線(xiàn)交點(diǎn)，得，代入上式得，.根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.例55（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為ABC的外心，G為ABC的重心，則OG的最小值為（ ）A1BC1D【答案】D【解析】首先根據(jù)條件解ABC可得

44、：C和ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sin，即可得解.【詳解】A=5sin（B），c=5，acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB），sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，cosC=sinC，即tanC=1，C（0，）.C.ABC外接圓的半徑R .如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）.ABC外接圓的方程為：x2.設(shè)C（cos，sin）.（0，）則G

45、.|OG|2sin，|OG|的最小值為：.故選：D.例56（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知的周長(zhǎng)為9，若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（）AB1C2D【答案】C【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)，可得：，再結(jié)合圖形即可得解.【詳解】法一：角靠攏，形助興，整理得：，如圖有：由，可得，代入，整理可得：，法二：，得：法三：，得，由正弦定理，得，如圖可得：，例57（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在鈍角中，分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】延長(zhǎng)交于，由重心性質(zhì)和直角三角形特點(diǎn)可求得，由，利用余弦定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到，由此確定為銳角，則可假設(shè)為鈍角，得到，由此可構(gòu)造

46、不等式組求得的取值范圍，在利用余弦定理可得，利用的范圍，結(jié)合為銳角可求得的取值范圍.【詳解】延長(zhǎng)交于，如下圖所示：為的重心，為中點(diǎn)且，；在中，；在中，；，即，整理可得：，為銳角；設(shè)為鈍角，則，解得：，由余弦定理得：，又為銳角，即的取值范圍為.故選：C.例58（2022廣東深圳高三階段練習(xí)）在中，的內(nèi)切圓的面積為，則邊長(zhǎng)度的最小值為（）A16B24C25D36【答案】A【解析】【分析】由條件可求內(nèi)切圓半徑，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和三角形的面積公式可得三邊關(guān)系，結(jié)合基本不等式可求邊長(zhǎng)度的最小值.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，所以的內(nèi)切圓半徑為4設(shè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，因?yàn)椋?，所以因?yàn)椋栽O(shè)內(nèi)切圓與

47、邊切于點(diǎn)，由可求得，則又因?yàn)?，所以所以又因?yàn)?，所以，即，整理得因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值故選：A題型九： 坐標(biāo)法例59（2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)（文）在中，點(diǎn)在內(nèi)部，則的最小值為_(kāi)【答案】2【解析】【分析】先利用正弦定理求得的外接圓半徑，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法把轉(zhuǎn)化為，即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)椋?在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫(xiě)出（為參數(shù)）.因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿(mǎn)足，）.所以因?yàn)闈M(mǎn)足，所以，所以當(dāng)時(shí)最小.故答案為：2例60（2022南通一模）在

48、平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線(xiàn)段的長(zhǎng)的取值范圍為【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，如圖所示當(dāng)時(shí)，取得最小值或最大值由，可得，或，由，可得或解得，故答案為：，例61為等邊內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為【解答】解：如圖所示，不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在弦所對(duì)的弓形上，由圖可知：當(dāng)點(diǎn)取與軸的交點(diǎn)時(shí)，可得：，點(diǎn)所在圓的方程為：設(shè)參數(shù)方程為：，令，化為：，解得，故最小值為，故答案為：例62（2022江蘇模擬）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)是以為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值是【解答】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，；則故答案為： 例63（20

49、22秋新華區(qū)校級(jí)期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”與三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)正好三等分“費(fèi)馬點(diǎn)”所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為，根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為A2BCD【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖象并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為，函數(shù)表示的是點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的距離之和，可知為等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”在高線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，連接，則，距離之和為即函數(shù)的最小值為故選：例64（2022唐山二模）在等邊中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A1BCD【解答】解：如圖所示，不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，為內(nèi)一動(dòng)

50、點(diǎn)，點(diǎn)在弦所對(duì)的弓形上，由圖可知：當(dāng)點(diǎn)取與軸的交點(diǎn)時(shí)，可得：，點(diǎn)所在圓的方程為：設(shè)參數(shù)方程為：，化為：，解得，故選：例65（2022春仁壽縣校級(jí)期末）銳角中，角，所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：不妨將看作定值，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，；點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，又是銳角三角形，當(dāng)在軸上時(shí)，為最?。划?dāng)時(shí)，代入，即，（取不到），則的取值范圍為，故選：例66（2022春博望區(qū)校級(jí)月考）在等腰中，角，所對(duì)的邊分別為，其中為鈍角，點(diǎn)與點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)，且，則的面積的最大值為ABCD3【解答】解：如圖所示，以為原點(diǎn)，為軸正方向建立直角坐標(biāo)

51、系，點(diǎn)在單位圓上，可得：，由，可得：，可得：，可得：，由為鈍角，可得，設(shè)，可得：，可得：，由題意及余弦定理可得：，可得，；，消去可得的軌跡為：，可得：時(shí)，有，由，可得：故選：例67（2022淮安模擬）拿破侖定理是法國(guó)著名的軍事家拿破侖波拿馬最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三個(gè)角形的頂點(diǎn)”在中，以，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，若的面積為，則的周長(zhǎng)的取值范圍為【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，所以以、為邊作等邊三角形，其中一邊在、的延長(zhǎng)線(xiàn)上；由，；所以，；同理，；所以等邊的面積為，解得

52、，所以；在中，由，所以，所以的周長(zhǎng)為，又，且，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”；又，所以，即的周長(zhǎng)最小值為，故答案為：，題型十： 隱圓問(wèn)題例68（2022鹽城二模）若點(diǎn)為的重心，且，則的最大值為【解答】解：設(shè)中點(diǎn)為，連接，可得重心在上且以所在直線(xiàn)為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系設(shè)，則，設(shè)，可得，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)、兩點(diǎn)除外）由此可得，整理得因此，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)軸上兩點(diǎn)除外）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中觀(guān)察的變化，可得當(dāng)點(diǎn)在軸時(shí)，達(dá)到最大值而且同時(shí)達(dá)到最大值此時(shí)，可得故選：例69（2022江蘇三模）在平面四邊形中，若，則的最小值為【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸建立如圖坐標(biāo)系

53、，設(shè)則，所以，即，即點(diǎn)在以為圓心，以2為半徑的圓上，取，則，所以，所以，即，所以取得最小值即取得最小值，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，故填：例70（2022涪城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若滿(mǎn)足條件，則面積的最大值為【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)可得；則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，且去掉點(diǎn)，和，；所以的面積的最大值為故答案為：例71已知，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是【解答】解：如圖示：設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則，所以，故的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，故故答案為：，例72（2022合肥模擬）銳角中，為角，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的重心，若，則的取值范圍為A

54、，B，C，D，【解答】解：設(shè)，是單位圓的直徑的端點(diǎn)，在圓上，設(shè)，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)在圓上是銳角，點(diǎn)在圓上，且，設(shè)直線(xiàn)，的傾斜角分別為，則，故選：例73（2022江漢區(qū)校級(jí)模擬）中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積最大值為ABCD【解答】解：以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，由，可得，可得，即有點(diǎn)既在為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，1為半徑的圓上，可得，由兩邊平方化簡(jiǎn)可得，則的面積為，由，可得，取得最大值，且為故選：例74（2022上城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，為單位向量，向量滿(mǎn)足，則的最大值為A2B1CD【解答】解：由得，說(shuō)明的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心

55、與的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等）故選：例75（2022春瑤海區(qū)月考）在平面四邊形中，連接對(duì)角線(xiàn)，已知，則對(duì)角線(xiàn)的最大值為A27B16C10D25【解答】解：根據(jù)題意，建立如圖的坐標(biāo)系，則，中點(diǎn)為，則，設(shè)三點(diǎn)都在圓上，其半徑為，在中，由正弦定理可得，即，即，則，則的坐標(biāo)為，故點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，10為半徑的圓上，當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；故選：例76已知圓，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為AB，CD，【解答】解：連接，由題意可得，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上，設(shè)的中點(diǎn)為，則，由題意可得，因?yàn)楫?dāng)，在圓上運(yùn)

56、動(dòng)時(shí)，始終有為銳角，所以以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓相離，即，解得：或，故選：題型十一：兩邊夾問(wèn)題例77（2022合肥一模）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊長(zhǎng)，成等比數(shù)列，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為 【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)殚L(zhǎng)，成等比數(shù)列，所以，由正弦定理得：，得：，化簡(jiǎn)得：，解得：，又，所以，：，即，即，即三角形為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為，由已知有，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)），故答案為：例78（2022靜安區(qū)二模）設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊為，已知，依次成等比數(shù)列，且，延長(zhǎng)邊到，若，則面積的最大值為【解答】解：，依次成等比數(shù)列，由正弦定理可得，可得，即為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取

57、等號(hào)故答案為：例79（2022常德一模）在中，角，所對(duì)的邊分別為，已知，且（）求角；（）延長(zhǎng)至，使得，求面積的最大值【解答】解：（）已知，所以，所以：，故，整理得，故或由于，所以滿(mǎn)足條件，故（）延長(zhǎng)至，使得，所以，由于，所以，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為例80在中，若，且的周長(zhǎng)為12（1）求證：為直角三角形；（2）求面積的最大值【解答】解：（1）在中，可得可得，、是三角形內(nèi)角，由可得若，則，若，則，這都是不可能的，可得，是直角三角形（也可以，是直角三角形（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為、，斜邊為，則直角三角形的面積由已知，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值題型十二：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題例81（2022湖南長(zhǎng)

58、郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且求：(1)；(2)的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；（2）由正弦定理及正弦的兩角差將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的范圍，再利用2倍角公式化為即可求解.(1)因?yàn)?，所?因?yàn)?，因?yàn)?(2)由正弦定理，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?例82（2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若，則的取值范圍為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等變換可得，由的范圍可得的范圍，令，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，從而可得出答案.【詳解】解

59、：，或（不符合題意舍去），設(shè)，是銳角三角形，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，.故選：C例83（2022山西呂梁二模（文）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由，利用余弦定理得到，再利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)得到，結(jié)合外接圓半徑得到，進(jìn)而得到，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故選：C.例84（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi).【答案】

60、【解析】【分析】由余弦定理化簡(jiǎn)已知式，再由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換得，由銳角三角形求得的范圍，待求式切化弦，通分后利用已知條件化為，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得范圍【詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由，得，所以故答案為：例85（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理化簡(jiǎn)條件得、關(guān)系，再根據(jù)二倍角正切公式以及函數(shù)單調(diào)性求范圍【詳解】，所以因此設(shè)，是銳角三角形，在上單調(diào)遞增，故選：C例86（2022全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在銳角中，角，的對(duì)邊分別為，為的面積，且，