新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題33 直線的方程（解析版）

1、專題33 直線的方程 【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角和斜率1直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫(huà)直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾

2、斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減?。?過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無(wú)關(guān)（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為904三點(diǎn)共線兩直線的斜率相等三點(diǎn)共線；反過(guò)來(lái)，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在知識(shí)點(diǎn)二：直線的方程1直線的截距若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可為0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過(guò)原點(diǎn)的非水平非豎直直線2直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸

3、的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）4線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式5兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.【

4、題型歸納目錄】題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題題型四：直線的方程題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題題型六：兩直線的夾角問(wèn)題題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題題型八：軌跡方程題型九：中點(diǎn)公式【典例例題】題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算例1（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）求經(jīng)過(guò)（其中）、兩點(diǎn)的直線的傾斜角的取值范圍【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，傾斜角，當(dāng)時(shí)，即傾斜角為銳角；綜上得：例2（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為（）ABC1D【答案】A【解析】過(guò)A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為，故選：A例3（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若，且為第二象限角，則角的終邊落在直線

5、（）上.ABCD【答案】B【解析】由為第二象限角可得，則，則角的終邊落在直線即上.故選：B.例4（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，的斜率分別為，則，的大小關(guān)系為（）ABCD【答案】A【解析】由斜率的定義可知，.故選：A例5（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若一次函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為（）ABCD【答案】D【解析】的斜率為即故選：D例6（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，且，因?yàn)椋?故選：A.例7（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（）ABCD【答案】B【解析】由直線

6、的方程為，所以，即直線的斜率，由.所以 ，又直線的傾斜角的取值范圍為，由正切函數(shù)的性質(zhì)可得：直線的傾斜角為.故選：B例8（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)直線的方程是傾斜角為.若，則的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】直線的方程是傾斜角為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，則；當(dāng)時(shí)，.若，則，求得；若，則，求得.綜上可得，的取值范圍為.故選：B.例9（多選題）（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）A若直線的傾斜角為，則B直線的傾斜角的取值范圍為C若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為【答案】ACD【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是，即，所以，

7、當(dāng)時(shí)直線的斜率，故A、C均錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于D：若直線的斜率，此時(shí)直線的傾斜角為，故D錯(cuò)誤；故選：ACD例10（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，則直線l的斜率為_(kāi)；若，則直線l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)【答案】 或.【解析】由題易知直線l的斜率存在，故.則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以或，即直線l的傾斜角的取值范圍是或.故答案為：；或.例11（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角為，則sin2的值為_(kāi).【答案】【解析】由題可知，則.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在

8、，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”這可通過(guò)畫(huà)正切函數(shù)在上的圖像來(lái)認(rèn)識(shí)題型二：三點(diǎn)共線問(wèn)題例12（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若三點(diǎn)共線，則a的值為_(kāi)【答案】【解析】由三點(diǎn)共線故 故答案為：.例13（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若，三點(diǎn)共線，則（）ABCD【答案】A【解析】由于、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：A.例14（2022北京高三期末）已知、三點(diǎn)共線，則的值為（）ABCD【答案】C【解析】利用可得出關(guān)于的等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：C.【方法技巧與

9、總結(jié)】斜率是反映直線相對(duì)于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因題型三：過(guò)定點(diǎn)的直線與線段相交問(wèn)題例15（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線l，且直線l與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的傾斜角和斜率k的取值范圍【解析】因?yàn)?，由與線段相交，所以，所以或，由于在及均為增函數(shù)，所以直線的傾斜角的范圍為：.故傾斜角的范圍為，斜率k的范圍是.例16（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線：，點(diǎn)，若直線與線段相交，則的取值范圍為（）ABCD【答案】C【解析】直線方程變形得：.由得，直線恒過(guò)點(diǎn)，由圖可知直線的斜率

10、的取值范圍為：或，又，或，即或，又時(shí)直線的方程為，仍與線段相交，的取值范圍為.故選：C.例17（2022陜西西安中學(xué)高三階段練習(xí)（理）已知點(diǎn)在直線上，且滿足，則的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】如圖，作出直線及，它們的交點(diǎn)為，直線上滿足的點(diǎn)在點(diǎn)右下方，又直線的斜率為，由圖可得的范圍是故答案為：例18（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，點(diǎn)是線段（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 _【答案】1，2【解析】設(shè)，則可以看成過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的斜率由增大到，如圖所示.又，所以，即的取值范圍是1，2.故答案為：1，2例19（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

11、當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；故設(shè) 而可看作函數(shù)的圖象上的點(diǎn)與點(diǎn) （-1，-2）連線的斜率，故時(shí)，,而 ,所以 故選：B.例20（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）AB或CD【答案】B【解析】如下圖示，當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，當(dāng)直線過(guò)B時(shí)，由圖知：或.故選：B【方法技巧與總結(jié)】一般地，若已知，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，過(guò)點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊題型四：直線的方程例21（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中真命題有_個(gè)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用

12、方程表示；經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)的直線都可以用方程表示；不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程表示；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示【答案】1【解析】由于直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可用方程表示，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程是，不正確；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線方程是，滿足方程，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線的斜率是，則直線方程是，整理得，正確；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線方程是，不可以用方程表示，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線可以用方程表示，不正確；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程是，不可以用方程表示，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線可以用方程表示，不正確，所以給定的4個(gè)命題中，真命題只有

13、1個(gè).故答案為：1例22（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為_(kāi)條【答案】3【解析】當(dāng)坐標(biāo)軸截距為0時(shí)，設(shè)方程為，將代入得：，所以方程為；當(dāng)坐標(biāo)軸截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，則有，解得：，或，從而方程為或所以滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為3條.故答案為：3例23（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（）ABCD【答案】C【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.例24（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)兩點(diǎn)和的直線在y軸上的截距為（）ABCD【答案】C【解析】由題可知直線方程為：，即，令x=0，則，

14、故直線在y軸上的截距為.故選：C.例25（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（）ABCD【答案】C【解析】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即故選：C例26（2022江蘇高三專題練習(xí)）已知直線和直線都過(guò)點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是（）ABCD【答案】A【解析】把坐標(biāo)代入兩條直線和,得,過(guò)點(diǎn),的直線的方程是：,則,所求直線方程為：故選 ：A.例27（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（）A1BC或1D2或1【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.

15、由，解得：.故的值是2或1.故選：D例28（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線共有（）A1條B2條C3條D4條【答案】B【解析】當(dāng)直線的兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，由題意有，則，直線方程為滿足條件；當(dāng)直線的兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)的方程為把點(diǎn)代入直線方程得解得，從而直線方程為.故滿足條件的直線方程為和故選：B例29（2022北京西城高三階段練習(xí)（理）已知直線不通過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍_【答案】【解析】由題意得直線恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，直線不通過(guò)第一象限，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是答案：例30（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若直線l的方程中，則此直線必不經(jīng)過(guò)

16、（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】C【解析】由，知直線斜率，在軸上截距為，所以此直線必不經(jīng)過(guò)第三象限.故選：C例31（2022福建莆田二中高三開(kāi)學(xué)考試）直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則（）A，B，C，D，【答案】C【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則該直線的斜率，可得，該直線在軸上的截距，可得.故選：C.例32（多選題）（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）ABCD【答案】AC【解析】當(dāng)截距為0時(shí)，過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)，直線方程為，即，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，可得，所以直線方程為,故選：AC.例33（多選題）（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)，并且在

17、兩軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為（）ABCD【答案】AB【解析】若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線的方程為，將點(diǎn)代入得，所以直線方程為，即；若直線不過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入得，故直線的方程為；所以直線的方程為：或故選：AB例34（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為；故選：C【方法技巧與總結(jié)】要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問(wèn)題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題例

18、35（2022江蘇高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A存在正實(shí)數(shù)使得面積為的直線l恰有一條B存在正實(shí)數(shù)使得面積為的直線l恰有二條C存在正實(shí)數(shù)使得面積為的直線l恰有三條D存在正實(shí)數(shù)使得面積為的直線l恰有四條【答案】A【解析】由題意，直線與軸、軸交點(diǎn)分別為，作出其圖象如圖所示， 由圖知，當(dāng)時(shí)，有兩解；當(dāng)時(shí)，有三解；當(dāng)時(shí)，有四解.故選：A例36（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（）ABCD【答案】C【解析】直線可變?yōu)?，所以過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線與

19、軸的交點(diǎn)為，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，所以此時(shí)直線為：.故選：C.例37（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，3)，且與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若點(diǎn)O到直線l的距離為4，求直線l的方程；（2）求OAB面積的最小值.【解析】（1）由題意可設(shè)直線的方程為，即，則，解得故直線的方程為，即；（2）直線的方程為，依題意，解得，則的面積為則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）故面積的最小值為例38（2022江蘇高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)、，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l與的邊AB交于點(diǎn)M（其中點(diǎn)M異于A、B兩點(diǎn)），與邊OB交于N（其中點(diǎn)N異于O、B兩點(diǎn)），若設(shè)直線

20、l的斜率為k(1)試用k來(lái)表示點(diǎn)M和N的坐標(biāo)；(2)求的面積S關(guān)于直線l的斜率k的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)k為何值時(shí)，S取得最大值？并求此最大值【解析】(1)由已知得直線l斜率存在，設(shè)由，得；又，所以.由，得(2).(3)設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立例39（2022湖北孝感高二期中）已知直線的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為.(1)證明：直線一定經(jīng)過(guò)第一象限；(2)設(shè)直線與軸軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取得最大值時(shí)，求的面積.【解析】(1)直線：，整理可得：，直線恒過(guò)和的交點(diǎn)，即直線恒過(guò)定點(diǎn)在第一象限，直線一定經(jīng)過(guò)第一象限；(2)由（1）可得：直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)與垂直時(shí)，到直線的距離最大，為，又，故直線的斜率

21、為，即，可得，直線的方程為：，令得：；令得：，即，.例40（2022全國(guó)高二專題練習(xí)）設(shè)直線的方程為(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的一般式方程；(2)若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值【解析】(1)對(duì)于直線的方程為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求得，此時(shí)它的方程為；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它的方程即，由于它兩坐標(biāo)軸上的截距相等，故有，求得，它的方程為，綜上可得，的一般式方程為，或(2)因?yàn)?，令，則，令，則，所以，與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，的橫坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，求得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值為6例41（2022江蘇高二專題練習(xí)）直線，相

22、交于點(diǎn)，其中.（1）求證：、分別過(guò)定點(diǎn)、，并求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）問(wèn)為何值時(shí)，最大？【解析】（1）在直線的方程中令可得，則直線過(guò)定點(diǎn)，在直線的方程中令可得，則直線過(guò)定點(diǎn)；（2）聯(lián)立直線、的方程，解得，即點(diǎn).，所以，；（3）且，因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即.例42（2022江蘇蘇州中學(xué)高二期中）已知，為實(shí)數(shù)，過(guò)原點(diǎn)分別作直線，的垂線，垂足分別為， .（1）若，且直線與軸、軸交于,兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在一條直線上.【解析】（1）直線，令，令，當(dāng)時(shí)，面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)的值為；（2）原點(diǎn)的直線距離為，同理原點(diǎn)的直線距離為，所以為圓的切線

23、，為切點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，且直線與相交于，不在軸上，設(shè)，所以直線化為，整理得，同理方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為，所以有，所以直線方程為，且過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)在直線上.例43（2022江蘇高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)對(duì)于最小，面積最小，若選擇_作為條件，求直線l的方程.【解析】(1)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，且是等腰直角三角形，所以直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即；(2)設(shè)，直線l的方程為，代入點(diǎn)可得，若選：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即；若選：由，可得，

24、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積最小為4，此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.例44（2022安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn).(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若直線與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)且斜率為負(fù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.【解析】(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則直線的方程為在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線l的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以直線的方程為，綜上所述直線的方程為或；(2)設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.例45（2022全國(guó)高二）過(guò)點(diǎn)作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點(diǎn)(1)當(dāng)取最小值時(shí)，

25、求出最小值及直線的截距式方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求出最小值及直線的截距式方程【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為,則,直線l過(guò)點(diǎn),又(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),即,的最小值為8,此時(shí)直線l的截距式方程為.(2)由（1）可知,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)).的最小值為4,此時(shí)直線l的截距式方程為.例46（2022浙江紹興一中高二期中）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線l交x軸，y軸正半軸于AB兩點(diǎn)，求使：(1)面積最小時(shí)l的方程；(2)最小時(shí)l的方程.【解析】(1)設(shè)直線的方程為，直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最小值4，此時(shí)直線的方程為，即(2)由，得，變形得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最小值4此時(shí)直線的方程為例47

26、（2022黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中）直線l過(guò)點(diǎn)，且分別與軸正半軸交于、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時(shí)直線l的方程.【解析】(1)設(shè)直線，且直線過(guò)點(diǎn)則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值為，直線1即.(2)由，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線,故的最小值為9，此時(shí)直線l的方程.例48（2022江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知直線：（1）求經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程【解析】（1）由可得：，由可得，所以經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線：，令可得；令，可得，所以，

27、由可得：，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為，此時(shí)直線的方程為：即；設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，所以，令，因?yàn)椋傻?，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為.【方法技巧與總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說(shuō)（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問(wèn)題的解決例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確

28、定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式在求直線方程的過(guò)程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏題型六：兩直線的夾角問(wèn)題例49（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）直線與的夾角為_(kāi)【答案】【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，直線的斜率，即傾斜角滿足，所以，所以，又兩直線夾角的范圍為，所以兩直線夾角為，故答案為：.例50（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為_(kāi).【答案】3【解析】直線的斜率，直線的斜率，設(shè)底邊所在直線為，由題意，與的夾角等于與的夾角，于是有，即，化簡(jiǎn)得，解得

29、或，因?yàn)樵c(diǎn)在等腰三角形的底邊上，所以.故答案為：3.例51（2022上海高三專題練習(xí)）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是_【答案】【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，的傾斜角為，且由解得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以可設(shè)兩直線夾角平分線所在直線的方程為：，解得，即兩直線夾角平分線所在直線的方程為：故答案為：例52（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線，若直線l過(guò)且與直線mn在第一象限圍成一個(gè)等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（）ABCD2【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線的斜率為，直線，兩直線相交于點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)在直線上，直線與直線相交于點(diǎn)，為等腰銳角三角形，則，則，故必為頂點(diǎn)，必有則有，必有，解可得：或，則

30、，故選：例53（2022全國(guó)高三專題練習(xí)（文）若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，則斜邊所在直線的斜率為（）A或2B或3C或4D或5【答案】C【解析】因?yàn)榈妊苯侨切我粭l直角邊所在直線的斜率為，即，設(shè)其傾斜角為，則，因?yàn)樾边吪c直角邊的傾斜角相差45，則斜邊的傾斜角為或，所以，所以斜邊所在直線的斜率為或4故選：C【方法技巧與總結(jié)】若直線與直線的夾角為，則.題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例54（2022浙江高三專題練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是_【答案】【解析】把直線的方程改寫(xiě)成：，由方程組，解得：，所以直線總過(guò)定點(diǎn)，故答案為：例55（2022上海市中國(guó)中學(xué)高三期中）動(dòng)直線，恒過(guò)的定點(diǎn)是_【答案】【

31、解析】，解得：x2，y2即方程（aR）所表示的直線恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）故答案為：例56（2022浙江高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)_【答案】【解析】由已知得，代入直線得，即，由，解得，直線必過(guò)定點(diǎn)，故答案為:.例57（2022上海高三專題練習(xí)）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線恒經(jīng)過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是_【答案】【解析】由直線整理得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線恒經(jīng)過(guò)的一個(gè)定點(diǎn).所以，解得由點(diǎn)代入直線，滿足所以點(diǎn)在直線上，即直線恒過(guò)定點(diǎn)故答案為: 例58（2022河北滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線上，其中m、n均為正數(shù)，則的最小值為（）A4BC8D【答案】C【解析】由，得直線恒過(guò)定點(diǎn)，

32、即，點(diǎn)A在直線上，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)的最小值為：8故選:C例59（2022陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模（理）已知向量，且.若點(diǎn)的軌跡過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)?，故，整理得到：，故定點(diǎn)為：.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)題型八：軌跡方程例60（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)M與A，B兩點(diǎn)連線的斜率分別為、，若，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程【解析】設(shè)，則，又，當(dāng)，且時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，M的軌跡方程為(且)或().例61（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A

33、（2x，0），B（0，2y），l1l2，PAB為直角三角形，化簡(jiǎn)，得x2y50，此即M的軌跡方程.綜上可知，點(diǎn)M的軌跡方程為x2y50.例62（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，.若點(diǎn)滿足，其中，且，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，則，即，解得即例63（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）直線1與x，y軸交點(diǎn)的連線的中點(diǎn)的軌跡方程是_【答案】xy1(x0，x1)【解析】【詳解】直線1與x，y軸的交點(diǎn)為A(a,0)，B(0,2a)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x，y)，則x，y1，消去a，得xy1a0且a2，x0且x1例64（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段

34、OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請(qǐng)你求OF的方程：_【答案】【解析】由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程，又原點(diǎn)O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程例65（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中，且則點(diǎn)的軌跡方程為（）ABCD【答案】A【解析】由，且+1，得，即，則C、A、B三點(diǎn)共線設(shè)C（x，y），則C在AB所在的直線上，A（2，1），B（4，5），AB所在直線方程為 ，整理得：故的軌跡方程為：故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫(xiě)出方程，例如

35、在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）題型九：中點(diǎn)公式例66（2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理）過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_(kāi)【答案】x4y40【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,82a)，求得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱點(diǎn)在直線上求得，即得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線方程【詳解】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,82a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(a,2a6)在l2上，代

36、入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.故答案為：x4y40.例67（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.【解析】設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8-2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)100，解得a4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，直線l的方程為即x4y-40.例68（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線 ：過(guò)定點(diǎn)，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點(diǎn)平分，求的值.【解析】則直線過(guò)定點(diǎn)設(shè)

37、直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，依題意為中點(diǎn)在中令，則，即所以，即，將其代入直線中可得解之得【方法技巧與總結(jié)】若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2【答案】D【解析】直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10.直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2.故選:D.2（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）直線的傾斜角為（）A30B45C60D135【答案】A【解析】直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)?，則.

38、故選：A.3（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（）ABC2D-2【答案】B【解析】由題，直線的傾斜角為，故故選：B4（2022上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，給出以下結(jié)論：；當(dāng)時(shí)，有最小值，無(wú)最大值；當(dāng)且時(shí)，的取值范圍是.正確的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【答案】B【解析】將代入有，而與在的兩側(cè)，則，錯(cuò)誤；由上知：且，則在直線上方與y軸右側(cè)部分，所以，故無(wú)最值，錯(cuò)誤；由上圖知：在直線左上方，則，正確；由過(guò)且且，即在直線上方與y軸右側(cè)部分，而表示與連線的斜率，由圖知：，正確.故選：B5（2022全國(guó)高三專

39、題練習(xí)）已知，三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，直線恒過(guò)定點(diǎn)，且在直線上，其中，則的最小值為（）ABC2D4【答案】B【解析】易知，則，整理得，由解得，則，則，即，又，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，故的最小值為.故選：B.6（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）直線過(guò)點(diǎn)，且軸正半軸軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，直線的方程是（）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意，直線不與軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為， 則，因此，直線，令則有，則，令則有，則.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等（舍去），故面積最小值為4，此時(shí)，即.故選：C.7（2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知集合，集合，則的取值范圍是（）AB且C且D且且【答案】C【解析】集合表示直線上去掉

40、點(diǎn)所構(gòu)成的兩條射線，在方程中，令可得，集合表示過(guò)定點(diǎn)且斜率存在的直線，由得兩直線斜率不同，則，解得故選：C.8（2022河南高三階段練習(xí)（理）已知直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，則面積的最大值為（）ABC5D10【答案】C【解析】由直線的方程是得直線過(guò)定點(diǎn)，同理直線方程為，即，所以定點(diǎn)，又，所以，即在以為直徑的圓上，由圓的性質(zhì)知點(diǎn)到的距離最大值等于圓半徑，即，所以面積的最大值為故選：C二、多選題9（2022湖南長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）設(shè)直線系：，則下面四個(gè)命題正確的是（）A直線系中包含傾斜角為和的直線B點(diǎn)到直線系中的所有直線的距離恒為定值C直線系中能構(gòu)成三角形的任意三條直線所圍成的三角形面積

41、都相等D存在點(diǎn)不在直線系中的任意一條直線上【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，直線系：，傾斜角為；當(dāng)時(shí)，直線系：，傾斜角為，故A正確；點(diǎn)到直線系中的所有直線的距離為，故B正確；因?yàn)辄c(diǎn)到直線系中的所有直線的距離恒為定值1，所以直線系中的所有直線均為圓的切線，取其中4條直線分別為，如圖所示，直線所圍成的與的面積不相等，故C錯(cuò)；存在點(diǎn)不在直線系中的任意一條直線上，D正確故選：ABD10（2022江蘇高三階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)，曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線的方程可以是（）ABCD【答案】BC【解析】由，知點(diǎn)一定在AB的垂直平分線上，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的方程為.則滿足條件的曲線要與有交點(diǎn).與平行，故無(wú)交

42、點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；是圓心為，半徑的圓，圓心到直線的距離為，故直線與圓相交，故B正確；把直線與雙曲線進(jìn)行聯(lián)立，得，所以與雙曲線存在交點(diǎn).故選項(xiàng)C正確；將直線的方程代入，得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解.故拋物線與直線無(wú)交點(diǎn).故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.11（2022重慶模擬預(yù)測(cè)）已知直線的方程為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A當(dāng)變化時(shí)，直線始終經(jīng)過(guò)第二、第三象限B當(dāng)變化時(shí)，直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C當(dāng)變化時(shí)，直線始終與拋物線相切D當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，直線可取遍第一象限內(nèi)所有點(diǎn)【答案】AC【解析】由題斜率時(shí)，軸截距，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限；斜率時(shí)，軸截距，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)第二、第三、第四象限；故A正確；當(dāng)變化時(shí)，直線顯然不恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；聯(lián)立方程，可得，所以，所以直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，又，所以當(dāng)變化時(shí)，直線始終與拋物線相切，故C正確；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，直線不可以取遍第一象限內(nèi)所有點(diǎn)，故D錯(cuò)誤故選：AC.12（2022江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三階段練習(xí)）以下命題正確的是（）A若直線的傾斜角為，則其斜率為B已知，三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則，四點(diǎn)共面C