新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題21 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離的問題（解析版）

1、專題21 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離的問題【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)1：線與線的夾角（1）位置關(guān)系的分類：（2）異面直線所成的角定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）范圍： = 3 * GB3 求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形知識點(diǎn)2：線與面的夾角定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角范圍： = 3 * GB3 求法：常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線與平面的夾角接下來在中解三角形即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線

2、段的長度）；知識點(diǎn)3：二面角（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面（二面角或者是二面角）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍（3）二面角的求法法一：定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條

3、異面直線的夾角即可） 法二：三垂線法在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角如圖1，具體步驟：找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)，作于；過點(diǎn)（與中是同一個點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接；計(jì)算：為二面角的平面角，在中解三角形 圖1 圖2 圖3法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；法四：補(bǔ)棱法當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法

4、解題法五：垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角例如：過二面角內(nèi)一點(diǎn)作于，作于，面交棱于點(diǎn)，則就是二面角的平面角如圖3此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了知識點(diǎn)4：空間中的距離求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解【題型歸納目錄】題型一：異面直線所成角題型二：線面角題型三：二面角題型四：距離問題【典例例題】題型一：異面直線所成角例1（2022吉林長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）ABCD【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可知且，所以為平

5、行四邊形，所以，所以異面直線與所成的角的平面角為，又，則，則，所以，故選：C例2（2022四川內(nèi)江模擬預(yù)測（理）如圖，在直三棱柱中，面，則直線與直線夾角的余弦值為（）ABCD【答案】C【解析】連接交于，若是的中點(diǎn)，連接，由為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：是的中點(diǎn)，所以，故直線與直線夾角，即為與的夾角或補(bǔ)角，若，則，面，面，則，而，又，面，故面，又面，所以所以，在中故選：C例3（2022全國模擬預(yù)測）已知正方體中，E，G分別為，的中點(diǎn)，則直線，CE所成角的余弦值為（）ABCD【答案】C【解析】如圖所示：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，易知，則ECF（或其補(bǔ)角）為直線與CE所成角不妨設(shè)，則，由

6、余弦定理得，即直線與CE所成角的余弦值為故選：C例4（2022全國模擬預(yù)測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑為，母線長為4，點(diǎn)C是底面直徑AB所對弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PB的中點(diǎn)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）ABCD【答案】B【解析】設(shè)底面圓心為O，連接PO，OC，取PO的中點(diǎn)E，連接DE，CE，則，且，所以為AB與CD所成的角（或其補(bǔ)角）由題意知，所以，所以由題意知，AB，平面POB，所以平面POB又平面POC，所以平面平面POB，又平面平面，平面POB且，所以平面POC，因?yàn)槠矫鍼OC，所以又，所以，所以故選：B例5（2020黑龍江哈師大附中高三期末（文）如圖，在正三棱柱ABCA1B

7、1C1中，AB=AA1=2，M、N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（）ABCD【答案】D【解析】作的中點(diǎn)，連接，作的中點(diǎn)，連接、，即為異面直線AM與CN所成的角，由已知條件得，則，由余弦定理得，在中，有余弦定理可知，即，解得，故選：D例6（2023全國高三專題練習(xí)（文）如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（）ABCD【答案】D【解析】在四面體ABCD中，平面，平面，則，而，即，又，平面，則有平面，而平面，于是得，因P為AC的中點(diǎn)，即，而，平面，則平面，又平面，從而得，所以直線BP與AD所成的角為故選：D例7（2022河

8、南省杞縣高中模擬預(yù)測（文）如圖，在三棱柱中，平面ABC，則異面直線與所成角的余弦值為（）ABCD【答案】B【解析】把三棱柱補(bǔ)成如圖所示長方體，連接，CD，則，所以即為異面直線與所成角（或補(bǔ)角）由題意可得，所以故選：B例8（2022全國高三專題練習(xí)）在正方體ABCDA1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（）A不存在B2條C4條D無數(shù)條【答案】C【解析】在正方體ABCDA1B1C1D1中，連接，如圖，則有，顯然，即直線BA1和B1D1所成角，過點(diǎn)C做直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為可以轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)B做直線與直線BA1和BD所成的角均為

9、，的平分線AO與直線BA1和BD都成的角，讓繞著點(diǎn)B從AO開始在過直線AO并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，在轉(zhuǎn)動到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，由于直線的轉(zhuǎn)動方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，又的鄰補(bǔ)角大小為，其角平分線與直線BA1和BD都成的角，當(dāng)直線繞著點(diǎn)B從的鄰補(bǔ)角的平分線開始在過該平分線并與平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，在轉(zhuǎn)動到平面的過程中，直線與直線BA1和BD所成的角均相等，角大小從到，由于直線的轉(zhuǎn)動方向有兩種，從而得有兩條直線與直線BA1和BD所成的角均為，綜上得，這樣的直線有4條，所以過點(diǎn)C與直線BA1和B1D1所成的角均為的直

10、線l有4條故選：C例9（2022湖南長沙一中高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)A為圓臺O1O2下底面圓O2的圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓O1的圓周上一點(diǎn)，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，記直線SA與直線O1O2所成角為，則（）ABCD【答案】C【解析】由題意，設(shè)上下底面半徑分別為，其中，如圖，過作垂直下底面于，則，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即，而，由圓的性質(zhì)，所以，所以，故選：C例10（2022湖北武漢模擬預(yù)測）已知異面直線，的夾角為，若過空間中一點(diǎn)，作與兩異面直線夾角均為的直線可以作4條，則的取值范圍是_【答案】【解析】如圖，將異面直線a、b平移到過P點(diǎn)，此時兩相交直線確定的平面為，如圖

11、，a平移為，即PA，b平移為，即BE設(shè)APB=，PC且PC是APB的角平分線，則PC與和的夾角相等，即PC與a、b夾角均相等，將直線PC繞著P點(diǎn)向上旋轉(zhuǎn)到PD，當(dāng)平面PCD時，PD與、的夾角依然相等，即PD與a、b的夾角依然相等；將直線PC繞著P點(diǎn)向下旋轉(zhuǎn)時也可得到與a、b的夾角均相等的另外一條直線，易知PC與PA夾角為，當(dāng)PC向上或向下旋轉(zhuǎn)的過程中，PC與PA夾角增大，則若要存在與兩異面直線夾角均為的直線，有；同理，APE=，將APE的角平分線繞著P向上或向下旋轉(zhuǎn)可得兩條直線與a、b的夾角均為，則，如此，即可作出4條直線與異面直線a、b夾角均為，又0，故答案為：例11（2022江蘇常州模擬預(yù)

12、測）在三棱錐中，已知平面，若，則與所成角的余弦值為_【答案】【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，所以，則（或其補(bǔ)角）即為與所成角，因?yàn)槠矫?，所以，所以，則，因?yàn)椋?，所以，取中點(diǎn)，連接，所以，所以平面，所以，又，所以，所以所以與所成角的余弦值為故答案為：題型二：線面角例12（2022福建三明一中模擬預(yù)測）已知正方體中，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_【答案】【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以由可得，即在四面體中，所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，又因?yàn)?，所以，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑

13、為1的圓，所以故答案為：例13（2022全國模擬預(yù)測（理）如圖，在三棱臺中，平面，則與平面所成的角為（）ABCD【答案】A【解析】將棱臺補(bǔ)全為如下棱錐，由，易知：，由平面，平面，則，所以，故，所以，若到面的距離為h，又，則，可得，綜上，與平面所成角，則，即故選：A例14（2022河南安陽模擬預(yù)測（理）如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，PB=PC，D為AB的中點(diǎn)（1）證明：BCPD；（2）若ACPB，PA=3，求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值【解析】（1）證明：如圖，取BC中點(diǎn)E，連接PE，DE，E為BC中點(diǎn)又D為AB的中點(diǎn)，所以底面ABC是直角三角形，A

14、C=BC=2，即平面平面，（2）由（1）知，又且平面平面，直線PA與平面PBC所成的角為在中，直線PA與平面PBC所成的角的正弦值為例15（2022河南安陽模擬預(yù)測（理）如圖，在四面體ABCD中，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)（1）求證：平面平面BDF；（2）若，求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值【解析】（1）在四面體ABCD中，E為BD的中點(diǎn)，則，而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面（2）依題意不妨設(shè)，則，又，則，在中，所，則，由（1）得，因，即，則設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)B到平面ACD的距離為設(shè)直線BF與平面ACD所成角為，所以因?yàn)?，所以，故?dāng)時，最短

15、，此時，正弦值最大為例16（2022吉林長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，且（1）求證：平面；（2）當(dāng)直線與底面所成的角都為，且時，求出多面體的體積【解析】（1）證明：連接，設(shè)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又平面，平面所以平面；?）因?yàn)槠矫?，所以即為直線與底面所成的角的平面角，即為直線與底面所成的角的平面角，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，故，所以?7（2022全國高三專題練習(xí)（文）已知正三棱柱中，是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時，求三棱錐的體積【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢?/p>

16、平行四邊形，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，故平面（2）因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，則，平面，平面，則，所以，平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則例18（2022四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，為等腰直角三角形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)（1）在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由（2）為等邊三角形，在（1）的條件下，求直線SE與平面SBC所成角的正弦值【解析】（1）在線段AD上存在點(diǎn)E滿足題意，且E為AD的中點(diǎn)如圖，取AD中點(diǎn)E連接EF，SE，SF，因?yàn)樗倪呅?/p>

17、ABCD是矩形，所以又E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈妊苯侨切危珽為AD的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，平面，平面，所以平面又平面所以平面平面故AD上存在中點(diǎn)E，使得平面平面（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，由（1）知平面，又則平面，平面，所以，又，所以平面，所以直線SE與平面SBC所成的角為，由為等腰直角三角形，得，又，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，在中，所以則，即直線與平面所成角的正弦值為例19（2022江蘇南通模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB2AD4，M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)將矩形AMND沿MN折起，形成多面體AMBDNC（1）證明：BD平面ANP；（2）若二面角AMNB大小為

18、120，求直線AP與平面ABCD所成角的正弦值【解析】（1）證明：連接MD交AN于點(diǎn)O，連接OP，四邊形AMND為矩形O為MD的中點(diǎn)，又P為BM的中點(diǎn)，BD平面ANP，OP平面ANP，BD平面ANP（2），AMB即為二面角的平面角，且MN平面ABM，BC平面ABM，BC平面ABCD，平面ABCD平面ABM過P作于點(diǎn)Q，PQ平面ABCD，PAB即為AP與平面ABCD所成角，題型三：二面角例20（2023河北高三階段練習(xí)）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線（1）證明：平面；（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以因?yàn)槭菆A柱的母線，

19、所以且，所以四邊形是平行四邊形所以，所以因?yàn)槭菆A柱的母線，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，平面，所以平面?）由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形設(shè)，則在中有：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時，三棱錐的體積最大，（另等積轉(zhuǎn)化法：易得當(dāng)F與距離最遠(yuǎn)時取到最大值，此時E、F分別為、中點(diǎn)）下面求二面角的正弦值：由（1）得平面，因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，所以平面因?yàn)槠矫?，所以，所以是二面角的平面角，由?）知為直角三角形，則故，所以二面角的正弦值為例21（2023全國高三專題練習(xí)（理）如圖，在三棱錐中，O為AC的中點(diǎn)（1）證明：PO平面ABC；（

20、2）若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與面ABC所成角的正切值為，求二面角的平面角的余弦值【解析】（1）證明：連接OB法一：，即ABC是直角三角形，又O為AC的中點(diǎn)，又，OB、AC平面ABCPO平面ABC法二：連接，O為AC的中點(diǎn)因?yàn)?，OB、AC平面ABCPO平面ABC（2）由（1）知，PO面ABCOM為PM在面ABC上的射影，PMO為PM與面ABC所成角，在OMC中由正弦定理可得，M為BC的中點(diǎn)作MEAC于E，E為OC的中點(diǎn)，作交PA于F，連MFMFPAMFE即為所求二面角的平面角，例22（2022廣東大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)（1）求證：平面

21、PAC平面PBC；（2）若AB2，AC1，PA1，求：二面角CPBA的正切值【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)锳B是圓的直徑，C是圓上的點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面PAC平面PBC（2）過作，垂足為，過作，垂足為，連，如圖：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)椋云矫?，所以，所以是二面角C-PB-A的平面角，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，在直角三角形中，在直角三角形中，所以二面角C-PB-A的正切值為例23（2022北京景山學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面平面，M是AB的中點(diǎn)（1）證明：平面BEF；（2）若，求平面BEF與平

22、面ABC夾角的大小【解析】（1）證明：在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，所以平面，過在平面內(nèi)作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面（2）由題設(shè)平面，平面平面，四邊形是平行四邊形，又且，所以，延長，相交于點(diǎn)，連接，則、分別為、的中點(diǎn)，則平面與平面所成的角就是二面角，可知，所以平面，是二面角的平面角，又，所以，即平面與平面所成的角為；例24（2022湖南雅禮中學(xué)二模）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（1）若平面，求的值；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，求二面角的正切值【解析】（1）過作于，連接則，而，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以四邊形是平?/p>

23、四邊形，所以因?yàn)?，所以所以，所以?）過作于，過作，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以所以是二面角的平面角設(shè)正方體的棱長為，則在Rt中，則即二面角的正切值為例25（2022天津耀華中學(xué)一模）如圖，在四棱錐中，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則且，又，所以且，所以是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，由已知，得是正方形，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，又，所以?/p>

24、所以平面與平面夾角的正弦值為例26（2022浙江海寧中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，在四邊形ABCD中，現(xiàn)將沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置（1）試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得；（2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，在四邊形ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，并延長交BC于則點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，所以F也為BC中點(diǎn)將沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置時，有，所以平面EFM，也為平面EFM，所以，（2）過點(diǎn)M作交BC于點(diǎn)則則在三棱錐中，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以平面因?yàn)椋B接EN，則有所以即為二面角的平面角，設(shè)，則所以在中，所以二面角所成角的正切值為例27（2022湖北武漢模擬

25、預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，D，E分別為，中點(diǎn)，且（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值【解析】（1）作于F，連接，平面平面，平面平面，面平面平面，平面，平面，平面，平面，D，E分別為，中點(diǎn)，（2）由，取中點(diǎn)為G，連接，由，為等腰三角形，故，則為二面角的平面角，所以二面角的余弦值為例28（2022陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模（理）在如圖所示的圓錐中，是該圓錐的三條不同母線，分別為的中點(diǎn)，圓錐的高為，底面半徑為，且圓錐的體積為（1）求證：直線平行于圓錐的底面；（2）若三條母線兩兩夾角相等，求平面與圓錐底面的夾角的余弦值【解析】（1）連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?/p>

26、；（2）由，且，可解得，則母線長為，因?yàn)槿龡l母線兩兩夾角相等，所以為等邊三角形，則邊長為，設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在底面的投影為，則，連接，則為平面與圓錐底面的夾角，在中，則在中，所以，則，所以所以平面與圓錐底面的夾角的余弦值為例29（2022天津河北二模）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，四邊形PACQ是矩形，且平面平面ABCD（1）求直線BP與平面PACQ所成角的正弦值；（2）求平面BPQ與平面DPQ的夾角的大??；【解析】（1）連接交于，連接，四邊形是菱形，平面平面，平面平面，平面，平面，即為與平面所成角四邊形為矩形，又平面平面，平面平面，平面，平面，在中，故與平面所成角的正弦值為（2）取的中點(diǎn)

27、，連接、，由（1）知，平面，四邊形是菱形，四邊形為矩形，即為二面角的平面角，在中，由余弦定理知，故二面角的大小為，則平面與平面的夾角為例30（2021江蘇蘇州高三階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，且平面平面（1）證明：；（2）若點(diǎn)Q到平面的距離為2，記二面角的正切值為m，求的最小值【解析】（1）在四棱錐中，是正方形，則，因平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，所以（2）在平面內(nèi)過Q作于M，過點(diǎn)A作于N，連接BN，如圖，因平面平面，平面平面，則平面，即有，由（1）知，而，平面，于是得平面，平面，則，因此，是二面角的平面角，在中，即，顯然，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以的最小值是

28、3題型四：距離問題例31（2022四川廣安模擬預(yù)測（文）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，面面ABCD，且，點(diǎn)M在棱AE上（1）若，求證：平面BDM（2）當(dāng)平面MBC時，求點(diǎn)E到平面BDM的距離【解析】（1）連接AC與BD交于點(diǎn)N，連接MN，又因?yàn)?，又平面BDM，平面BDM，平面BDM（2）平面MBC，平面MBC，M是AE的中點(diǎn)，平面平面ABCD，點(diǎn)E到平面ABCD的距離為，在中，點(diǎn)E到平面BDM的距離滿足，所以距離例32（2022全國模擬預(yù)測（文）如圖，在三棱錐中，平面平面，且點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為直徑的半圓上（1）求證：；（2）若，且與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離【解析】（1）連接

29、，因?yàn)?，故，又，平面，故平面又平面，故?）由（1）因?yàn)椋移矫嫫矫?，平面平面于，故平面，故與平面所成角為，故，又點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為直徑的半圓上，故，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則因?yàn)?，即，解得?3（2022河南安陽模擬預(yù)測（文）如圖，在三棱錐中，底面ABC是直角三角形，D為AB的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若，求點(diǎn)A到平面PDC的距離【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸侵苯侨切?，所以，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）連接，由（1），因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，即，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)橹苯侨切危裕驗(yàn)?/p>

30、平面，平面，所以，又，所以，所以在等腰中，邊上的高為，所以，設(shè)點(diǎn)A到平面PDC的距離為，因?yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)A到平面PDC的距離為例34（2022全國高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，底面是直角梯形，點(diǎn)P在面上，過點(diǎn)P和棱的平面把直棱柱分成體積相等的兩部分（1）求截面與直棱柱的側(cè)面所成角的正切值；（2）求棱到截面的距離【解析】（1）如圖所示，作出截面為交AD于Q，A1D1于Q1為直棱柱，平面，為截面與直棱柱的側(cè)面所成角的平面角過Q作，垂足為，由題意可得：，過Q作，垂足為，則，解得：，所以，即截面與直棱柱的側(cè)面所成角的平面角的正切值為（2）因?yàn)榻孛妫岳獾浇孛娴木嚯x即為點(diǎn)到截面的距離平面平面平

31、面，交線為，過作，垂足為平面，則的長度為棱到截面所在平面的距離因?yàn)?，即因?yàn)椋运岳獾浇孛嫠谄矫娴木嚯x為例35（2021湖南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，已知為等邊三角形，D，E分別為，邊的中點(diǎn)，把沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，平面平面，若（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求直線到平面的距離【解析】（1）如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為O，的中點(diǎn)為F，連接，則因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面因?yàn)槠矫妫?，所以即為直線與平面所成的角因?yàn)?，則，所以在中，所以在中，所以（2）如圖，因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為，邊的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，平面，所以又，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫嬉驗(yàn)槠矫嫫矫?，作交于點(diǎn)G，則平面在中，所以，因?yàn)辄c(diǎn)O在直線上，所以直線到平面的距離等于例36（2022黑龍江齊齊哈爾三模（文）如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點(diǎn)在平面上的射影恰是AB的中點(diǎn)H，M是的中點(diǎn)（1）判斷HM與面的關(guān)系，