matlab復(fù)化Simpson求積公式計算數(shù)值積分

1、復(fù)化 Simpson 求積公式計算數(shù)值積分一復(fù)化 Simpson 求積公式的數(shù)學(xué)理論如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson 公式計算積分近似值，就可導(dǎo)出復(fù)化 Simpson公式。二復(fù)化 Simpson 求積公式的算法和流程圖將積分區(qū)間 a,b分成 n=2m等分，分點為xkakh,(k0,1,., n)bax2 k 2, x 2k （ k=0,1, ,n-1）上。用 Simpson 公式求積分，則有hn, 在每個小區(qū)間 x2kf (x) dxx2kx2 k 2 f (x2k 2 )4 f (x 2 k 1) f (x 2 k )x2k26h f (x 2 k 2 )4

2、f (x 2k1 ) f (x 2k )3求和得amx 2 kf (x) dxf (x) dxbx 2 k 2k1mk1h f (x2 k 2 ) 4 f (x2 k 1 )f (x 2 k )3整理后得到bh f (a)m 1mf (x) dxf (b) 2f (x 2k ) 4f (x 2 k 1)a3k 1k 1（ 5-21 ）式（ 5-21 ）稱為復(fù)化 Simpson 公式。如果 f (x)c(4) a, b ，則由 Simpson 插值余項公式可得復(fù)化公式的截斷誤差為bh f (a)m 1mR ( f )f (x) dx(b) 2f (x) 4f (x)2k2k1Sa3k 1k1m(

3、2 h)5f (4) ( )x 2k2 , x 2k k 12880因為 f (4) x 為連續(xù)，故存在a, b ，使得f(4)1 mf(4)( k )( )m k1代入上式得m(2 h)5b a h4 f (4) ( )Rs ( f )mf (4) ( )(a,b)k 12880180（5-22 ）式（ 5-22 ）表明，步長 h 越小，截斷誤差越小。與復(fù)化梯度公式的分析相類似，可以證明，當(dāng)n=2m時，用復(fù)化 Simpson 公式所得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。程序中需要選擇的積分函數(shù)F1,F 2,F 3F1表示函數(shù) f ( x )1 sin xdx。0 xF224 5 x

4、 exx21 ln x表示函數(shù) f ( x)2 x 21dx 。11 cos x sin xF3表示函數(shù)f ( x)1 cos 4dx 。0 x操作流程圖 ：三復(fù)化 Simpson求積公式的 Matlab 實現(xiàn)function I=squad(x,y)%復(fù)化 Simpson 求積公式，其中，%x 為向量，被積函數(shù)自變量的等距結(jié)點；%y 為向量，被積函數(shù)在結(jié)點出的函數(shù)值；n=length(x);m=length(y);%積分自變量的結(jié)點數(shù)應(yīng)與它的函數(shù)值的個數(shù)相同Ifrem(n-1,2)=0I=tquad(x,y);return;endN=(n-1)/2;H=（ x(n)-x(1) ）/N;a=zeros(1,n);for k=1 :N;a(2*k-1)=a(2k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4;a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);四復(fù)化 Simpson 求積公式的算例實現(xiàn)I11dx利用程序計算積分11x2解：先用 M 文件定義一個名為myfun 的函數(shù)：function y=f(x);y=1/(1+x2);在 MATLAB命令窗口中輸入.Q = quad(myfun,-1,1)Q