抽樣與抽樣分布概論

1、第 4 章 抽樣與抽樣分布4.1三種不同同性質(zhì)的的分布4.1.1總體分布布4.1.2樣本分布布4.1.3抽樣分布布總體中各各單位的的觀測(cè)值值所形成成的相對(duì)對(duì)頻數(shù)分分布。分布通常常是未知知的可以假定定它服從從某種分分布4.1.1總體分布布(populationdistribution)總體從總體中中抽取一一個(gè)容量量為的樣本，由由這個(gè)個(gè)觀測(cè)值形形成的相對(duì)頻數(shù)分布布，稱為為樣本分分布，也也稱經(jīng)驗(yàn)分布布。當(dāng)樣本容容量n逐漸增大大時(shí)，樣樣本分布布逐漸接接近總體體的分布布4.1.2樣本分布布(sampledistribution)樣本4.1.3抽樣分布布(SamplingDistribution)抽樣分布

2、布的形成成過(guò)程(samplingdistribution)總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量如：均值、比例、方差等。樣本4.2大數(shù)定律律與中心心極限定定理4.2.1大數(shù)定律律1.獨(dú)立同分分布大數(shù)數(shù)定律2.伯努利大大數(shù)定律律4.2.2中心極限限定理獨(dú)立同分分布大數(shù)定律律設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量量服從同一一分布，且存在在數(shù)學(xué)期期望和方差，對(duì)于于任意給給定的有個(gè)別現(xiàn)象象受到偶偶然因素素的影響響，對(duì)總總體的大大量觀察察后進(jìn)行行平均，能使偶偶然因素素的影響響相互抵抵消，樣樣本平均均數(shù)會(huì)穩(wěn)穩(wěn)定在附附近，為為樣本平平均數(shù)估估計(jì)總體體均值提提供理論論依據(jù)。伯努利大數(shù)數(shù)定律在獨(dú)立試試驗(yàn)序列列中，是是事事件在在次次試驗(yàn)中中發(fā)生的的次數(shù)，

3、是事事件發(fā)發(fā)生的的概率，對(duì)于任任意給定定的有當(dāng)多次重重復(fù)觀察察某個(gè)現(xiàn)現(xiàn)象時(shí)，該現(xiàn)象象發(fā)生的的頻率與與該現(xiàn)象象發(fā)證的的概率之之間的差差距是非非常小的的，是用用頻率去去代替概概率提供供理論依依據(jù)。4.2.2中心極限限定理（Central Limit Theorem）設(shè)總體均均值為，且且存在有有限方差差，從中抽抽取樣本本容量為為n的樣本。當(dāng)樣本本容量足足夠大時(shí)時(shí)（n30），樣本平均均數(shù)的的抽樣樣分布近近似地服服從正態(tài)態(tài)分布，這就是是著名的的中心極限限定理。4.3常用抽樣樣分布及及其特點(diǎn)點(diǎn)4.3.1Z分布及其其特點(diǎn)4.3.2t分布及其其特點(diǎn)4.3.3分布及其其特點(diǎn)4.3.4F分布及其其特點(diǎn)4.3.1Z

4、分布及其其特點(diǎn)當(dāng)連續(xù)型隨隨機(jī)變量量X的密度函函數(shù)為時(shí)，稱X服從正態(tài)態(tài)分布，有時(shí)也稱稱X為正態(tài)隨隨機(jī)變量量。設(shè)則Z是一個(gè)服服從標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分分布的連續(xù)型隨機(jī)變量量，其密度函數(shù)數(shù)為Z分布及其其特點(diǎn)E(z)=0D(z)=11、z分布以Y軸為中心心，左右右對(duì)稱2、服從標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的的隨機(jī)變變量Z的概率，與一般般的正態(tài)態(tài)隨機(jī)變變量原理理相同。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布概率密度度函數(shù)圖圖4.3.2t分布及其其特點(diǎn)若隨機(jī)變變量，隨機(jī)變變量，且隨機(jī)變變量X與Y相互獨(dú)立立，則隨隨機(jī)變量量服從自由由度為的的t分布，記記為其密度函函數(shù)為t分布及其其特點(diǎn)E(t)=0D(t)=n/(n-2)(n2)1、t分布是對(duì)對(duì)稱分布布，均值

5、值為02、當(dāng)自由由度n，方差差極限為為1t分布的形形狀和自自由度n有關(guān)系，自由度度越小，t分布曲線線較為扁扁平，與與標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布布差異越越大；自自由度越越大，t分布曲線線與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分分布曲線線的差異異逐漸縮縮小。圖4-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布以以及各種種自由度度的t分布的密密度函數(shù)數(shù)的曲線線4.3.3分布及其其特點(diǎn)若隨機(jī)變變量獨(dú)獨(dú)立立且同為為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布，則它們們的平方方和服服從自由由度為n的分分布，記為。其概率密度度函數(shù)為為：分布及其特點(diǎn)點(diǎn)E(x)=nD(x)=2n自由度增大，期期望和方方差隨之之增大。是一種不不對(duì)稱偏偏峰分布布，值域域區(qū)間（0，+）隨自由度度增大，曲線的的最高點(diǎn)點(diǎn)逐漸下下移并

6、向向右移動(dòng)動(dòng)，趨于于對(duì)稱。圖4-3不同自由由度的分分布4.3.4F分布及其其特點(diǎn)若隨機(jī)變變量、相相互獨(dú)立立，且分分別服從從自由度度為、的的分分布，則則隨機(jī)變變量服服從第一一自由度度為，第二二自由度度為的的F分布，記記為其密度函函數(shù)為：F分布及其其特點(diǎn)E(F)=n2/(n2-2)D(F)=2n22(n1+n2-2)/n1(n2-2)2(n2-4)非對(duì)稱的的正偏分分布，值值域（0，+）F分布的極極限是正正態(tài)分布布，隨第第一自由由度n1的增大，分布曲曲線逐漸漸趨于對(duì)對(duì)稱，隨隨兩個(gè)自自由度的的增大，分布曲曲線逐漸漸趨于正正態(tài)分布布。圖4-4不同自由由度的F分布4.4常用統(tǒng)計(jì)計(jì)量的抽抽樣分布布4.4.1

7、樣本均值值的抽樣樣分布4.4.2樣本比率率的抽樣樣分布在重復(fù)選選取容量量為n的樣本時(shí)時(shí)，由樣樣本均值值的所有有可能取取值形成成的相對(duì)對(duì)頻數(shù)分布布，一種理論概率分布布。推斷總體體均值的理論基基礎(chǔ)4.4.1樣本均值值的抽樣樣分布樣本均值值的抽樣分布布(例題分析析)【例4-1】設(shè)一個(gè)總總體，含含有4個(gè)元素(個(gè)體)，即總體體單位數(shù)數(shù)N=4。4個(gè)個(gè)體分分別為X1=1，X2=2，X3=3，X4=4。從總體體中采取取重復(fù)抽抽樣方法法抽取容容量為2的隨機(jī)樣樣本，寫(xiě)寫(xiě)出樣本本均值的的抽樣分分布?？傮w分布14230.1.2.3均值和方方差樣本均值值的抽樣分布布(例題分析析)現(xiàn)從總體體中抽取取n2的簡(jiǎn)單隨隨機(jī)樣本本

8、，在重重復(fù)抽樣樣條件下下，共有有42=16個(gè)樣本。所有樣樣本的結(jié)結(jié)果為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n = 2 的樣本（共16個(gè)）樣本均值值的抽樣分布布(例題分析析)計(jì)算出各各樣本的的均值，如下表表。并給給出樣本本均值的的抽樣分分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）x樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P ( x )1.53.04.03.52.02.

9、5樣本均值值的抽樣分布布(數(shù)學(xué)期望望與方差差)1.樣本均值值的均值值(數(shù)學(xué)期望望)等于總體均值值2.樣本均值值的方差差等于總總體方差差的1/n樣本均值值的分布布與總體體分布的的比較(例題分析析)= 2.52=1.25總體分布布14230.1.2.3抽樣分布P ( x )1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x兩個(gè)重要要結(jié)論：1.樣本統(tǒng)計(jì)計(jì)量抽樣樣分布的的平均數(shù)數(shù)等于總總體平均均數(shù),即2.樣本統(tǒng)計(jì)計(jì)量抽樣樣分布的的標(biāo)準(zhǔn)差差等于總總體標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差除以以樣本單單位數(shù)的的平方根根。即又稱為抽樣樣標(biāo)準(zhǔn)誤差差，用表表示。x樣本均值值的抽樣樣分布以上兩個(gè)結(jié)論論具有普普遍意義這一等式式可以看看出

10、一項(xiàng)項(xiàng)重要事事實(shí)抽樣平均均誤差比比總體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差小小的多，僅為其其。例如一個(gè)個(gè)縣的糧糧食畝產(chǎn)產(chǎn)高低懸懸殊，畝畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為80公斤，如果隨隨機(jī)抽取取100畝求平均均畝產(chǎn)，那么樣樣本平均畝產(chǎn)產(chǎn)量的差異就就顯著減減小，平平均誤差差只及總總體畝產(chǎn)產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差的的，即8斤。樣本均值值的抽樣樣分布樣本均值值的抽樣樣分布樣本均值值的抽樣樣分布樣本抽樣樣分布原總體分分布樣本均值值的抽樣分布布與中心極限限定理 = 50 =10X總體分布n = 4抽樣分布xn =16當(dāng)總體服服從正態(tài)態(tài)分布N(,2)時(shí)，來(lái)自自該總體體的所有有容量為為n的樣本的的均值x也服從正正態(tài)分布布，x的數(shù)學(xué)期期望為，方差為為2/n。即xN(,2/

11、n)中心極限限定理(CentralLimitTheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n 30) ，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限限定理：設(shè)從均均值為，方差為為2的一個(gè)任任意總體體中抽取取容量為為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)時(shí)，樣本本均值的的抽樣分分布近似似服從均均值為、方差為為2/n的正態(tài)分分布一個(gè)任意分布的總體x中心極限限定理(CentralLimitTheorem)x的分布趨趨于正態(tài)態(tài)分布的的過(guò)程抽樣分布布與總體體分布的的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布樣本分布布樣本均值值的數(shù)學(xué)期望望樣本均值值的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本均值值的抽樣分布布(數(shù)學(xué)期望望與方差差)教材P88總體(或樣本)中具有某某種屬性性的單位位與全部部單位總總數(shù)之比比,稱為比率率。不同性別的人與與全部人人數(shù)之比比合格品(或不合格格品)與全部產(chǎn)產(chǎn)品總數(shù)數(shù)之比總體比率可表表示為樣本比率可表表示為4.4.2樣本比率