機器人動力學

1、機器人動力學Dynamics of Robotics研究機器人的運動特性與力的關系。有兩類問題：動力學正問題：各關節(jié)的驅(qū)動力（或力矩），求解機器人的運動（關節(jié)位移、速度和加速度），主要用于機器人的仿真。動力學逆問題：已知機器人關節(jié)的位移、速度和加速度，求解所需要的關節(jié)力（或力矩），是實時控制的需要。機器人動動力學DynamicsofRobotics5.1工工業(yè)機機器人速速度分析析5.2工工業(yè)機機器人靜靜力分析析5.3機機械手手動力學學方程5.1工工業(yè)機機器人速速度分析析5.1.1雅可比比矩陣兩空間之之間速度度的線性映射射關系雅可比比矩陣（簡稱雅雅可比）。它可可以看成成是從關關節(jié)空間間到操作作空

2、間運運動速度度的傳動比，同時也也可用來來表示兩兩空間之之間力的傳遞遞關系。vxvy存在怎樣樣的關系系首先來看看一個兩兩自由度度的平面面機械手手，如圖圖5-1所示。圖5-1 兩自由度平面機械手 容易求得得將其微分分得寫成矩陣陣形式簡寫成：dx=Jd。式中J就稱為為機械手手的雅可可比（Jacobian）矩矩陣，反映了了關節(jié)空空間微小小運動d與手手部（手手爪）作作業(yè)空間間微小位位移dx之間的的關系。機器人末末端在操操作空間間的位置置和方位位可用末末端手爪爪的位姿姿X表示示，是關關節(jié)變量量的函數(shù)數(shù)是n個關關節(jié)變量量的函數(shù)數(shù)，可寫寫成：，并且是是一個6維列矢矢量。反映了操操作空間間的微小小運動，由機器器

3、人末端端微小線線位移和和微小角角位移(微小轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動)組組成?？煽蓪憺槭街校菏鞘?n的偏導導數(shù)矩陣陣，稱為為n自由由度機器器人速度度雅可比比矩陣。 或其中:v機器器人手部部在操作作空間中中的廣義義速度，(q)速度度雅可比比矩陣機器人人關節(jié)在在關節(jié)空空間中的的速度從上式可可以看出出，對于于給定的的關節(jié)變變量q，雅可比矩矩陣是從從關節(jié)空空間的關關節(jié)速度度向操作作空間的的廣義速速度映射射的線性性變換。5.1.2機器器人速度度分析若令J1，J2分別為上上例中雅雅可比矩矩陣的第第一列矢矢量和第第二列矢矢量，即即由上式可可知，分分別是是由產(chǎn)產(chǎn)生生的手部部速度的的分量。而J1是在時時，也就是是第二個個關節(jié)固固定

4、時，僅在第第一個關關節(jié)轉(zhuǎn)動動的情況況下，手手部平移移速度在在基礎坐坐標系上上表示出出的向量量。同樣樣，J2是第一關關節(jié)固定定時，僅僅在第二二關節(jié)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動的情情況下，手部平平移速度度在基礎礎坐標系系上表示示出的向向量。因此，機機器人速速度雅可可比的每每一列表表示其它它關節(jié)不不動而某某一關節(jié)節(jié)運動產(chǎn)產(chǎn)生的端端點速度度。例5-1如圖所所示二自自由度機機械手，手部沿沿固定坐坐標系Xo軸正正向以1.0m/s速度移移動，桿桿長為。設在在某瞬時時求求相應應瞬時的的關節(jié)速速度。圖5-1 兩自由度平面機械手 相應的關關節(jié)速度度：因此，在在該瞬時時兩個節(jié)節(jié)的位置置分別為為速度分別別為，手部瞬瞬時速度度為1m/s。因

5、此,逆雅可比比矩陣矩陣A可逆且 A可可逆時，n階方陣A可逆的充充分必要要條件是是A為非非奇異矩矩陣，而而且 對于關節(jié)節(jié)空間的的某些形形位，機機械手的的雅可比比矩陣的的秩減少少，這些些形位稱稱為操作作臂（機機械手）的奇異異形位。當2=0或或2=180時，機械手手的雅可可比行列列式為0，矩陣陣的秩為為1，因因此處于于奇異狀狀態(tài)。在在奇異形形位時，機械手在在操作空空間的自自由度將將減少。奇異位形形：由于雅可可比矩陣陣J(q)是關關節(jié)變量量q的函函數(shù),總總會存在在一些位位形,在在這些位位形處,|J(q)|=0,即J(q)為為奇異矩矩陣,這這些位形形就叫奇奇異位形形。一般，奇奇異位形形有兩種種類型：工作

6、域邊邊界上的的奇異：這種奇異異位形出出現(xiàn)在機機器人的的機械手手于工作作區(qū)的邊邊界上時時，也就就是在機機器人手手臂全部部展開或或全部折折回時出出現(xiàn)。這這種奇異異位形并并不是特特別嚴重重，只要要機器人人末端執(zhí)執(zhí)行器遠遠離工作作區(qū)邊界界即可。工作域內(nèi)內(nèi)部奇異異：這種奇異異位形出出現(xiàn)在兩兩個或多多個關節(jié)節(jié)軸線重重合時，這種奇奇異位形形很難處處理，因因為它可可能出現(xiàn)現(xiàn)在工作作區(qū)的任任何位置置，并且且機器人人的末端端執(zhí)行器器在這種種奇異位位形附近近的可操操作性會會變壞，這樣極極大的減減少了機機器人的的可行區(qū)區(qū)。對機器人人通過奇奇異位形形時軌跡跡控制方方法的研研究可以以大致分分為如下下四種方方法:1)回避避

7、機器人人操作器器的奇異異位形預測奇異異位形的的可能出出現(xiàn)位置置,并避避免它。理論上上對給定定的機器器人操作作器只要要令其雅雅可比行行列式的的值等于于零，即即可找到到它的奇奇異位形形。2)根據(jù)據(jù)機構(gòu)的的各向同同性原理理設計機機器人操操作器通過設計計上的優(yōu)優(yōu)化，能能使得機機器人機機構(gòu)在一一個比較較大的區(qū)區(qū)域內(nèi)保保持各向向同性，即在各各個方向向的可能能誤差和和施加的的力都是是相同的的。3)利用用降秩雅雅可比矩矩陣求近近似反解解在奇異位位形附近近利用矩矩陣論中中的偽逆矩陣陣理論，通過定定義一種種偽逆雅雅可比矩矩陣，將將雅可比比矩陣降降秩處理理，求解解近似反反解。4)利用用具有冗冗余度的的機器人人操作器

8、器使機器人人通過奇奇異位形形時給機機械臂增增加多余余的關節(jié)節(jié)。定義：設設，若若，且且同時有有則稱A+是A的偽偽逆矩陣陣。5.2機器人的的靜力學學y0 x0存在怎樣樣的關系系用矢量來來標標記力，用表表示示對于所所定義坐坐標系各各軸x,y,z的分力力。用矢矢量來來標標記力矩矩，以表表示作作用于任任何定義義的坐標標系（而而不是基基坐標）各軸的的分力矩矩。5.2.1靜力力和靜力力矩的表表示5.2.2虛虛功功原理虛功原理理：約束力不做功的的力學系系統(tǒng)，若若在某一一位置已已處于靜靜止狀態(tài)態(tài)，則其其能夠保保持靜止止的必要要與充分分條件是是，所有有主動力力在該位位置的任任意虛位移上所作的的虛功之之和等于于零。

9、已知作用用在杠桿桿一端的的力，試用用虛功原原理求作作用于另另一端的的力。設桿桿長為已已知知。杠桿及作作用在它它兩端上上的力對于一個個系統(tǒng)來來說，限限制系統(tǒng)統(tǒng)中質(zhì)點點運動的的各種條條件就是是系統(tǒng)的的約束，而約束束力是使使系統(tǒng)動動作受到到制約的的力。另一個概概念就是是虛位移移，這里里所說的的虛位移移是描述述作為對對象的系系統(tǒng)力學學結(jié)構(gòu)的的位移，也就是是當系統(tǒng)統(tǒng)的質(zhì)點點位于某某個位置置的時候候，為約約束所允允許的可可能實現(xiàn)現(xiàn)的任何何無限小小的位移移，具有有：無限小小性質(zhì)不破壞壞約束與是否否發(fā)生實實際運動動無關，不同于于隨時間間一起產(chǎn)產(chǎn)生的實實際位移移，為此用“虛”一一詞來表表示。虛虛位移在在數(shù)學上上

10、用變分分符號表示，實實位移在在數(shù)學上上用微分分符號d表示。5.2.3機器器人靜力力關系式式的推導導可用虛功功原理證證明。以圖所示示的二自自由度機機械手為為研究對對象，要要產(chǎn)生圖圖所示的的虛位移移，推導導出圖b所示各各力之間間的關系系。證明:假假設如果施加加在機械械手上的的力為F，以機機械手為為研究對對象，這這個力成成為手爪爪力的反反力（-F來表表示）時時，機械械手的虛虛功可表表示為：應用虛功功原理，則可得得到：手爪的虛虛位移和和關關節(jié)虛位位移之之間間的關系系，用雅雅克比矩矩陣表示示為可得：由于這一一公式對對任意的的 都成成立，因因此機械手靜靜力學關關系式：式中，廣義義關節(jié)力力矩，F(xiàn)機機器人手手

11、部端點點力，與與手手部端點點力和廣廣義關節(jié)節(jié)力矩之之間力傳傳遞有關關，稱為為機器人力力雅可比比。機器器人力雅雅可比正正好是速速度雅可可比的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置。 若J是關節(jié)空間向操作空間的映射（微分運動矢量），則 把操作空間的廣義力矢量映射到關節(jié)空間的關節(jié)力矢量。關節(jié)空間間操作空間間雅可比J力雅可比比JT上式表明明關節(jié)的的力可由由手坐標標系中期期望的力力和力矩矩決定。由于前前面對速速度的分分析已得得知速度度雅可比比矩陣，所以控控制器可可根據(jù)手手坐標系系中的期期望值計計算關節(jié)節(jié)力和力力矩，并并對機器器人進行行控制。顯然，隨著機機器人構(gòu)構(gòu)型的變變化，雅雅可比矩矩陣也隨隨之發(fā)生生變化。因此當當機器人人進行運運動時

12、，機械手手在不斷斷的對工工件進行行操作，為了使使機械手手能夠持持續(xù)施加加同樣的的力，關關節(jié)處的的力矩也也要隨之之發(fā)生變變化，這這時需要要控制器器根據(jù)這這個關系系式不斷斷的計算算所需的的關節(jié)力力矩。從操作臂臂手部端端點力F與廣義義關節(jié)力力矩之之間間的關系系式可可知，操操作臂靜靜力計算算可分為為兩類：已知外界界對手部部作用力力F，求求滿足靜靜力平衡衡條件的的關節(jié)驅(qū)驅(qū)動力矩矩（）已知關節(jié)節(jié)驅(qū)動力力矩，確定定機器人人手部對對外界環(huán)環(huán)境的作作用力F或負荷荷質(zhì)量（逆解，即解）當自由度度n6時，力力雅可比比可能不不是方陣陣，沒有有逆解，一般情情況下不不一定能能得到唯唯一的解解。例3：一一個6自自由度機機器人

13、的的雅可比比矩陣數(shù)數(shù)值如下下。為了了在部件件上鉆孔孔，希望望沿手坐坐標系Z軸產(chǎn)生生1N的的力，并并對于Z軸產(chǎn)生生20N/m的的力矩，求需要要的關節(jié)節(jié)力和力力矩。解： 解：由前面的的推導知知例 2:由圖所示示的一個個二自由由度平面面關節(jié)機機械手，已知手手部端點點力，忽略略摩擦，求時時的的關節(jié)力力矩。所以得：圖3-18 關節(jié)力和操作力關系y0 x0根據(jù)所以在某一瞬瞬時,則與手部部端點力力相對應應的關節(jié)節(jié)力矩為為5.2.4運動動學、靜靜力學和和動力學學的關系系運動學動力學靜力學Robotics動力學5.3機機器人人動力學學分析5.3.1拉格格朗日方方程Lagrange方程程i=1，2，3，.,n系統(tǒng)

14、選定定的廣義義坐標（動能和和勢能的的坐標）廣廣義坐標標對對時時間的一一階導數(shù)數(shù)廣義義力,作作用在第第i個坐坐標上的的力或力力矩n為連桿桿數(shù)目Robotics動力學5.3.1拉格格朗日方方程兩桿機器器人如圖圖。對連桿1：對連桿2：l1l2Robotics動力學5.3.1拉格格朗日方方程二桿動能能和勢能能分別為為：l1l2Robotics動力學5.3.1拉格格朗日方方程系統(tǒng)的總總動能和和勢能及及拉格朗朗日函數(shù)數(shù)分別為為：分別求得得注意：這這里只求求顯因變變量的偏偏導數(shù)Robotics動力學5.3.1拉格格朗日方方程 寫成矩陣陣有：慣性力向向心心力哥哥式式力重重力5.3.2牛頓頓-歐拉拉法 式中等等的含義義與拉格格朗日法法的一樣