計(jì)算機(jī)系課程線性代數(shù)總結(jié)

1、r(A)A Ax Ar(A) Ax0AAA的列（行） ATAA p p p p1 RnAx 關(guān)于e1e2,en 稱為 n的標(biāo)準(zhǔn)基， ne1e2,en e1,e2,en tr(E)=n任意一個(gè)n 維向量都可以用e1e2,en A A與B都是方陣（不必同階）,A(1)mn A B 2 a (1)n(2 a 1n AA1 BT CTbad bc a 1aa 11a1n 1 an1 an A1 AAA1AAnn 方陣的冪的性質(zhì)：AmAn (Am)n ( 設(shè)f(x)amxm am1xm1a1xa0對(duì)n階矩陣A規(guī)定：f(A)amAm am1Am1a1A 設(shè) Amn,Bns, A 的列向量為 1,2,B 的

2、列向量為1,2,s ， AB 的列向量,則：riAi,i1,2, ,s,即A(1,2,s) (A1,As若 (b1,b2, ,b )T,則A b b b1 2 n AB的第i個(gè)行向量r是B的行向量的線性組合,組合系數(shù)就是即：AB的第i個(gè)列向量ri是A的AB的第i個(gè)行向量r是B的行向量的線性組合,組合系數(shù)就是左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對(duì)角矩陣 右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. BB,B A kk kk kk ABA 22 A B kk kk 向量組1,2 ,n 線性無關(guān) 向量組中每一個(gè)向量i 都不能由其余n 1 m 維列向量組

3、1,2,n 線性相關(guān) rA) nm 維列向量組1,2,n 線性無關(guān) rA) n r(A)0 A 若1,2,n 線性無關(guān)，而1,2,n 線性相關(guān),則 可由1,2,n 線性表示,且表示法惟矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.1,2 ,n 和12 ,n 可以相互線性表示. 記作：1,2,n12,AB. 記作： A A B 等價(jià) rA) r(B) AB 作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).AB 作為向量組等價(jià) r(1,2,n ) r(12,n ) r(1,2,n12,n ) 矩陣 A 與 B 等價(jià). 向量組12,s 可由向量組1,2,n r(1,2,n ,1,2,s ) r(1,2 ,n )

4、 r(1,2 ,s )r(1,2,n ) 向量組12,s 可由向量組1,2,n 線性表示,且s n，則12,s 線性相關(guān).向量組1, 2 , s 線性無關(guān),且可由1,2 ,n 線性表示,則s A是mn矩陣,則rAminmn,若rAmA1,2 ,n Ax 若rA nAx11x22 xnn a1n x1b11j ,x b ,amamnamamn n x m baa2n x 2, 2 2j,j1, mj Ax 有無窮多解 1,2 ,n線性相可由1,2 ,n線性表示 ,n線性表示 Ax有解rAr) Ax有唯一組解 不可由1,2 1,2,n線性無, 線性表示 Ax無解 rA, 線性表示 Ax無解 rAr

5、n r(A)1r(A (AT)T (AB)T BT(kA)T AT (AB)T AT (A1)1 (AB)1 B1(kA)1k1A1 A(A1)T (AT(A1)k (Ak)1 (A) An2 (AB) B(kA) A A(A1)(A)1 A(AT)(A)k (AkAA AA A 若rArA 若rAn若rAnAB A kA kn Ak A1,2是Ax0的解,12是Ax 0的解對(duì)任意kk(3) , , 是Ax 0的解對(duì)任意k個(gè)常1 21 2 k 也是它的是Ax 的解,是其導(dǎo)出組Ax 0的解, 是Ax 的(5) ,是Ax的兩個(gè)解, 是其導(dǎo)出組Ax02是Ax 的解,則1也是它的解1 2是其導(dǎo)出組Ax

6、 0,k是Ax 的解 也是Ax的解 1 2 k 1122kk是Ax012k A為mn矩陣,若rA) m,則r(Ar(A Ax 當(dāng)mnm 是r(A)和r(A r(A)r(AT)r(AT r(AB)r(A) r(AB)minr(A), r(kA)r(若k 若k A r r(A)B若A 0,則r(A 若AmnBns,且rAB) 0,則rAr(B) 若B可逆,則r(AB) 若r(An,則r(ABr(BAAB0BAB ACB與正(,)與正(, (, (,0,且(,) 0 (1 2,) (1,)(2,(c,)(c,)(,c 1 (21 (3,1)1(3,2) ( ) ( ) 1 2 單位化：1 23 AA

7、T E AA的n個(gè)行（列）向量構(gòu)成 n 正交矩陣的性質(zhì)： AT A1 AAT ATAEAAT（A1）E AEA f ()EA 0AxAx與x線性nA 0,則0AAx0的基礎(chǔ)解系即為屬于0 A i 1若r(A)1,則A一定可分解為A=a2 b b b 、A2 (ab a b a b )A,從而1 2 n an 的特征值為：1 trAa1b1a2b2anbn2 3 n 0 若 A 的全部特征值1,2 ,n，f (x) 是多項(xiàng)式,則, f(n) AA11 , 1 An1 An, A , A A AA1 ,2 aAa AAaAa也是x是A關(guān)于的特征向量,則也是 關(guān)AAB （P為可逆陣記為：AA恰有nP

8、A的特征向量拼成的矩陣， P1AP 為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為 A 的特征值. A可對(duì)角化的充要條件：nr(iE A) ki為i的重?cái)?shù)nA有nAB （P為正交矩陣相似矩陣的性質(zhì)： （k 為整數(shù) EA EB AB有相同的特征值,但特征向量不一定相同.x A關(guān)于 P1x B 關(guān)于 的特征向量. A r(A)A為可對(duì)角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算） rA 設(shè)i 為對(duì)應(yīng)于i A(1,2 ,n) (A1,A2,An )(11,22,nn)1,2Pn 若B, D,則：CD 若B,則f (f (B)f(A) f (B) f(x,x ,x )XTX (x,x ,xnABB CTAC 記作：ABrA f(x1xnXTAX nX CY 化為f (x ,x ,x ) d y2 r(正慣性指數(shù)負(fù)慣性當(dāng)中的系數(shù)di 為1，-1或0時(shí),則為規(guī)范形（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)） 任一實(shí)對(duì)稱矩陣A與惟一對(duì)角陣 合同 對(duì)n 構(gòu)造C（正交矩陣）,C1AC 作變換X CY ,新的二次型為f (x ,x ,x ) d y2 ,的主對(duì)角上的元素d 即為Ai 1x1,x2,