(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時練習(xí)7.1《數(shù)列的概念及簡單表示法》(含解析)

1、第1講數(shù)列的概念及簡單表示法最新考綱考向預(yù)測1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).命題趨勢以考查Sn與an的關(guān)系為主，簡單的遞推關(guān)系也是考查的熱點(diǎn)在高考中以選擇、填空的形式進(jìn)行考查，難度為低檔.2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理1數(shù)列的有關(guān)概念(1)數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)(2)數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺

2、動數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)周期數(shù)列對nN*，存在正整數(shù)常數(shù)k，使ankan(3)數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法2數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表達(dá)，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，則aneq blc(avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)3數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(n2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式常用結(jié)論1數(shù)列與函數(shù)的關(guān)

3、系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在正整數(shù)集或其子集1，2，3，n上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值2在數(shù)列an中，若an最大，則eq blc(avs4alco1(anan1，,anan1；)若an最小，則eq blc(avs4alco1(anan1，,anan1.)常見誤區(qū)1數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)2易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對應(yīng)的位置序號3由Sn求an時，利用aneq blc(avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2，)求出an后，要注

4、意驗(yàn)證a1是否適合求出的an的關(guān)系式1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用通項(xiàng)公式表示()(3)數(shù)列an和集合a1，a2，a3，an是一回事()(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)()(5)一個確定的數(shù)列，它的通項(xiàng)公式只有一個()(6)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對nN*，都有anSnSn1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知在數(shù)列an中，a11，an1eq f(（1）n,an1)(n2)，則a5()A.eq f(3,2)B.eq f(5,3)C.eq f(8,5) D.e

5、q f(2,3)解析：選D.a21eq f(（1）2,a1)2，a31eq f(（1）3,a2)eq f(1,2)，a41eq f(（1）4,a3)3，a51eq f(（1）5,a4)eq f(2,3).3數(shù)列an的前幾項(xiàng)為eq f(1,2)，3，eq f(11,2)，8，eq f(21,2)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是()Aaneq f(5n4,2) Baneq f(3n2,2)Caneq f(6n5,2) Daneq f(10n9,2)解析：選A.數(shù)列為eq f(1,2)，eq f(6,2)，eq f(11,2)，eq f(16,2)，eq f(21,2)，其分母為2，分子是首項(xiàng)為1，公差為

6、5的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為aneq f(5n4,2).4在數(shù)列1，0，eq f(1,9)，eq f(1,8)，eq f(n2,n2)中，0.08是它的第_項(xiàng)解析：依題意得eq f(n2,n2)eq f(2,25)(nN*)，解得n10或neq f(5,2)(舍去)答案：105(易錯題)已知Sn2n3，則an_解析：因?yàn)镾n2n3，那么當(dāng)n1時，a1S12135；當(dāng)n2時，anSnSn12n3(2n13)2n1(*)由于a15不滿足(*)式，所以aneq blc(avs4alco1(5，n1，,2n1，n2.)答案：eq blc(avs4alco1(5，n1，,2n1，n2)由an與Sn的關(guān)系求

7、an (1)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若2Sn3an3，則a4()A27B81C93 D243(2)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an_【解析】(1)根據(jù)2Sn3an3，可得2Sn13an13，兩式相減得2an13an13an，即an13an，當(dāng)n1時，2S13a13，解得a13，所以數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以a4a1q33481.故選B.(2)當(dāng)n1時，由已知，可得a1212，因?yàn)閍12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由，得nan2n2n12n1，所以aneq f(2n1,n)(n2)顯然當(dāng)n1時不滿足上式，所以an

8、eq blc(avs4alco1(2，n1，,f(2n1,n)，n2.)【答案】(1)B(2)eq blc(avs4alco1(2，n1，,f(2n1,n)，n2)eq avs4al()(1)已知Sn求an的三個步驟先利用a1S1求出a1；用n1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時an的表達(dá)式；注意檢驗(yàn)n1時的表達(dá)式是否可以與n2時的表達(dá)式合并(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解；利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解

9、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n1(nN*)，則an_解析：當(dāng)n2時，anSnSn12n1；當(dāng)n1時，a1S14211.所以aneq blc(avs4alco1(4，n1，,2n1，n2.)答案：eq blc(avs4alco1(4，n1，,2n1，n2)由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，an12nan(nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)【解】(1)ana1(a2a1)(anan1)013(2n5)(2n3)(n1)2，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(n1)2.(2)由于eq f(an1,an)2n，

10、故eq f(a2,a1)21，eq f(a3,a2)22，eq f(an,an1)2n1，將這n1個等式疊乘，得eq f(an,a1)212(n1)2eq sup6(f(n（n1）,2)，故an2eq sup6(f(n（n1）,2)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2eq sup6(f(n（n1）,2).(3)因?yàn)閍n13an2，所以an113(an1)，所以eq f(an11,an1)3，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，所以an123n1，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an23n11.eq avs4al()由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法 1已知數(shù)列an中，a11，an1an2n，則an

11、_解析：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n221eq f(12n,12)2n1.答案：2n12設(shè)數(shù)列an中，a12，an1eq f(n,n1)an，則an_解析：因?yàn)閍n1eq f(n,n1)an，a12，所以an0，所以eq f(an1,an)eq f(n,n1)，所以當(dāng)n2時，aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(n1,n)eq f(n2,n1)eq f(n3,n2)eq f(1,2)2eq f(2,n).a12也符合上式，則aneq f(2,n).答案：eq f(

12、2,n)數(shù)列的函數(shù)特征角度一數(shù)列的單調(diào)性 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(3nk,2n)，若數(shù)列an為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)【解析】因?yàn)閍n1aneq f(3n3k,2n1)eq f(3nk,2n)eq f(33nk,2n1)，由數(shù)列an為遞減數(shù)列知，對任意nN*，an1aneq f(33nk,2n1)0，所以k33n對任意nN*恒成立，所以k(0，)故選D.【答案】Deq avs4al()(1)解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法用作差比較法，根據(jù)an1an的符號判斷數(shù)列an是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；用作商比較法，根據(jù)eq f(an

13、1,an)(an0或anan”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選B.“|an1|an”an1an或an1an，充分性不成立，數(shù)列an為遞增數(shù)列|an1|an1an成立，必要性成立，所以“|an1|an”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的必要不充分條件故選B.4已知遞增數(shù)列an，an0，a10.對于任意的正整數(shù)n，不等式t2aeq oal(2,n)3t3an0恒成立，則正數(shù)t的最大值為()A1 B2C3 D6解析：選C.因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列，又t2aeq oal(2,n)3t3an(tan3)(tan)0，tan0，所以tan3恒成立

14、，t(an3)mina133，所以tmax3.5(多選)已知數(shù)列an滿足an11eq f(1,an)(nN*)，且a12，則()Aa31 Ba2 022eq f(1,2)CS3eq f(3,2) DS2 0221 011解析：選ACD.數(shù)列an滿足a12，an11eq f(1,an)(nN*)，可得a2eq f(1,2)，a31，a42，a5eq f(1,2)，所以an3an，數(shù)列的周期為3.a2 022a67333a31.S3eq f(3,2)，S2 0221 011.6已知數(shù)列eq f(r(3),2)，eq f(r(5),4)，eq f(r(7),6)，eq f(r(9),mn)，eq f

15、(r(mn),10)，根據(jù)前3項(xiàng)給出的規(guī)律，實(shí)數(shù)對(m，n)為_解析：由數(shù)列的前3項(xiàng)的規(guī)律可知eq blc(avs4alco1(mn8，,mn11，)解得eq blc(avs4alco1(mf(19,2)，,nf(3,2)，)故實(shí)數(shù)對(m，n)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(19,2)，f(3,2).答案：eq blc(rc)(avs4alco1(f(19,2)，f(3,2)7已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a11，且an1eq f(an,1an)(n1，2，)，則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式an_解析：兩邊取倒數(shù)得eq f(1,an1)eq f(1,an)1，故eq blcrc(avs4alco1

16、(f(1,an)是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，故eq f(1,an)n，aneq f(1,n).答案：eq f(1,n)8已知數(shù)列an滿足aneq f(n1,3n16)(nN*)，則數(shù)列an的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)解析：因?yàn)閍neq f(n1,3n16)，所以數(shù)列an的最小項(xiàng)必為an0，即eq f(n1,3n16)0，3n160，從而neq f(16,3).又nN*，所以當(dāng)n5時，an的值最小答案：59已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn(1)n1n，求a5a6及an；(2)若Sn3n2n1，求an.解：(1)因?yàn)閍5a6S6S4(6)(4)2.當(dāng)n1時，a1S11，當(dāng)n2時，anSnSn1

17、(1)n1n(1)n(n1)(1)n1n(n1)(1)n1(2n1)，又a1也適合此式，所以an(1)n1(2n1)(2)因?yàn)楫?dāng)n1時，a1S16；當(dāng)n2時，anSnSn1(3n2n1)3n12(n1)123n12，由于a1不適合此式，所以aneq blc(avs4alco1(6，n1，,23n12，n2.)10(2020衡陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a13，an14an3.(1)寫出該數(shù)列的前4項(xiàng)，并歸納出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：eq f(an11,an1)4.解：(1)a13，a215，a363，a4255.因?yàn)閍1411，a2421，a3431，a4441，所以歸納得an4n1.

18、(2)證明：因?yàn)閍n14an3，所以eq f(an11,an1)eq f(4an31,an1)eq f(4（an1）,an1)4.B級綜合練11(多選)(2020山東“百師聯(lián)盟”)對于數(shù)列an，令bnaneq f(1,an)，則下列說法正確的是()A若數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列bn也是單調(diào)遞增數(shù)列B若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列bn也是單調(diào)遞減數(shù)列C若an3n1，則數(shù)列bn有最小值D若an1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，則數(shù)列bn有最大值解析：選CD.若a11，a21，則b1a1eq f(1,a1)110，b2a2eq f(1,a2)110

19、，所以b1b2，所以A不正確若a11，a21，則b1a1eq f(1,a1)110，b2a2eq f(1,a2)110，所以b1b2，所以B不正確若an3n1，則數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)n1時，an取最小值a120.又函數(shù)f(x)xeq f(1,x)在(0，)上為增函數(shù)，所以當(dāng)n1時，數(shù)列bn取得最小值，所以C正確若an1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)，則bn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)eq f(1,1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(n)，由于函數(shù)yxeq f(1,

20、x)在(0，)上是增函數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時，an1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)(0，1)，所以bnaneq f(1,an)0，當(dāng)n為奇數(shù)時，an1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n)1，顯然an是單調(diào)遞減的，因此bnaneq f(1,an)也是單調(diào)遞減的，即b1b3b5，所以bn的奇數(shù)項(xiàng)中有最大值為b1eq f(3,2)eq f(2,3)eq f(5,6)0，所以b1eq f(5,6)是數(shù)列bn(nN*)中的最大值，D正確12(2020昆明模擬)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖所示他們研究過圖

21、中的1，5，12，22，由于這些數(shù)能夠表示成五角形，將其稱為五角形數(shù)，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，第n個五角形數(shù)an_解析：觀察題圖，發(fā)現(xiàn)a11，a2a14，a3a27，a4a310，猜測當(dāng)n2時，anan13n2，所以anan13n2，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n2)3(n1)2(322)1eq f(3,2)n2eq f(1,2)n.答案：eq f(3,2)n2eq f(1,2)n13已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足Sneq f(1,2)aeq oal(2,n)eq f(1,2)an(nN*)(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(

22、1)由Sneq f(1,2)aeq oal(2,n)eq f(1,2)an(nN*)，可得a1eq f(1,2)aeq oal(2,1)eq f(1,2)a1，解得a11；S2a1a2eq f(1,2)aeq oal(2,2)eq f(1,2)a2，解得a22；同理得a33，a44.(2)Sneq f(1,2)aeq oal(2,n)eq f(1,2)an，當(dāng)n2時，Sn1eq f(1,2)aeq oal(2,n1)eq f(1,2)an1，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故ann.14(20

23、20石家莊模擬)已知數(shù)列an中，a11，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn(n1)an(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bn3naeq oal(2,n)，若數(shù)列bn為遞增數(shù)列，求的取值范圍解：(1)因?yàn)?Sn(n1)an，所以2Sn1(n2)an1，所以2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，所以eq f(an1,n1)eq f(an,n)，所以eq f(an,n)eq f(an1,n1)eq f(a1,1)1，所以ann(nN)(2)由(1)得，bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)因?yàn)閿?shù)列bn為遞增數(shù)列，所以23n(2n1)0，即eq f(23n,2n1).令cneq f(23n,2n1)，則eq f(cn1,cn)eq f(23n1,2n3)eq f(2n1,23n)eq f(6n3,2n3)1.所以cn為遞增數(shù)列，所以c12，即的取值范圍為(，2)C級創(chuàng)新練15(多選)若數(shù)列an滿足：對于任意正整數(shù)n，an1an為單調(diào)遞減數(shù)列，