復變函數(shù)論課件：第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示

1、第一節(jié) 復級數(shù)的基本性質(zhì)2、復數(shù)項級數(shù)3、復函數(shù)項級數(shù)4、解析函數(shù)項級數(shù)1、復數(shù)列的極限第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示10/16/202211. 復數(shù)列的極限定義記作復數(shù)列收斂的條件10/16/20222那末對于任意給定的就能找到一個正數(shù)N,證從而有所以同理反之, 如果從而10/16/20223下列數(shù)列是否收斂, 如果收斂, 求出其極限.例1解10/16/20224定理：復數(shù)列收斂的Cauchy準則10/16/202252. 復數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散定義表達式稱為復數(shù)項級數(shù).稱為級數(shù)的部分和.若部分和數(shù)列sn(n=1,2,)以有限復數(shù)s為極限,即 則稱復數(shù)項無窮級數(shù)(4.1)收斂于s,且稱s為(4

2、.1)的和,寫成否則若復數(shù)列sn(n=1,2,)無有限極限,則稱級數(shù)(4.1)為發(fā)散.10/16/202262. 復數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散定義表達式稱為復數(shù)項級數(shù).稱為級數(shù)的部分和.若部分和數(shù)列sn(n=1,2,)以有限復數(shù)s為極限,10/16/20227定理4.1 設 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn為實數(shù),則復級數(shù)(4.1)收斂于s=a+ib(a,b為實數(shù))的充要條件為:分別收斂于a及b.復數(shù)項級數(shù)收斂的條件實數(shù)項級數(shù)注：復數(shù)項級數(shù)的審斂問題可轉(zhuǎn)化為實數(shù)項級數(shù)的審斂問題分別收斂于a及b10/16/20228定理4.1 設 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn為實數(shù),則復級

3、數(shù)(4.1)收斂于s=a+ib(a,b為實數(shù))的充要條件為:分別收斂于a及b.實數(shù)項級數(shù)例1級數(shù)是否收斂？例2級數(shù)是否收斂？10/16/20229推論2 收斂級數(shù)的各項必是有界的.推論1 收斂級數(shù)的通項必趨于零:(事實上，取p=1,則必有|an+1|0,存在正整數(shù)N(),當nN且p為任何正整數(shù)時 |n+1+ n+2+ n+p|0,存在正整數(shù)N=N(),當nN時,對一切的zE均有 |f(z)-fn(z)|0,存在正整數(shù)N=N(),當nN時,對一切的zE均有 |f(z)-sn(z)|0, 存在正整數(shù)N=N(),使當nN時,對于一切zE,均有 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,).W

4、eierstrass優(yōu)級數(shù)準則: 如果整數(shù)列Mn(n=1,2,),使對一切zE,有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正項級數(shù) 收斂,則復函數(shù)項級數(shù) 在點集E上絕對收斂且一致收斂: 這樣的正項級數(shù) 稱為函數(shù)項級數(shù)的優(yōu)級數(shù).10/16/202217定理4.6 設級數(shù) 的各項在點集E上連續(xù),并且一致收斂于f(z),則和函數(shù) 也在E上連續(xù).定理4.7 設級數(shù) 的各項在曲線C上連續(xù),并且在C上一致收斂于f(z),則沿C可以逐項積分:10/16/202218定義4.5 設函數(shù)fn(z)(n=1,2,)定義于區(qū)域D內(nèi),若級數(shù)(4.2)在D內(nèi)任一有界閉集上一致收斂,則稱此級數(shù)在D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂.定理4

5、.8 設級數(shù)(4.2)在圓K:|z-a|R內(nèi)閉一致收斂的充要條件為:對于任意正數(shù),只要R,級數(shù)(4.2)在閉圓K:|z-a| 上一致收斂.10/16/202219定理4.9 設 (1)fn(z) (n=1,2,)在區(qū)域D內(nèi)解析,級數(shù)則 (1) f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析6. 解析函數(shù)項級數(shù)或 序列在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z),證 （1）設，若為內(nèi)任一圍線，則由柯西積分定理得由定理4.7得于是，由摩勒拉定理知，f(z)在內(nèi)解析，即在解析。由于的任意性，故f(z)在區(qū)域內(nèi)解析。10/16/20222010/16/202221第二節(jié) 冪級數(shù)1、冪級數(shù)的斂散性2、冪級數(shù)的收斂半徑的求法3、冪級數(shù)的

6、和函數(shù)的解析性4、例題5、小結(jié)10/16/2022221. 冪級數(shù)的定義：形式的復函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中 c0,c1,c2 ,a都是復常數(shù).一、冪級數(shù)的斂散性具有當a=0,則以上冪級數(shù)可以寫成如下形式10/16/2022231. 冪級數(shù)的定義： 冪級數(shù)是最簡單的解析函數(shù)項級數(shù),為了搞清楚它的斂散性,先建立以下的阿貝爾(Abel)定理.一、冪級數(shù)的斂散性 定理4.10：如果冪級數(shù)(4.3)在某點z1(a)收斂,則它必在圓K:|z-a|z1-z|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.10/16/202224 定理4.10：如果冪級數(shù)(4.3)在某點z1(a)收斂,則它必在圓

7、K:|z-a|z1-z|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.證:設 z 是所述圓內(nèi)任意點.因為(n=0,1,2,),注意到|z-a|z1-a|, 故級數(shù) a收斂,它的各項必然有界,即有正數(shù)M,使收斂在圓K內(nèi)絕對收斂.10/16/202225其次,對K內(nèi)任一閉圓在圓K上有收斂的優(yōu)級數(shù)因而它在K上一致收斂.再由定理4.8,此級數(shù)必在圓K內(nèi)內(nèi)閉一致收斂.上的一切點來說,有: a10/16/202226 推論4.11 若冪級數(shù)(4.3)在某點z2(a)發(fā)散,則它在以a為圓心并且通過點z2的圓周外部發(fā)散. az1z210/16/202227定理4.10：如果冪級數(shù)(4.3)在某點z

8、1(a)收斂,則它必在圓K:|z-a|z1-a|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.推論4.11 若冪級數(shù)(4.3)在某點z2(a)發(fā)散,則它在以a為圓心并且通過點z2的圓周外部發(fā)散.阿貝爾(Able)定理10/16/202228 其斂散性有以下三種情況:(1) 對所有的復數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂.2.冪級數(shù)的斂散性討論對于一個冪級數(shù), 首先它在z=a點處總是收斂的，例如, 級數(shù)對任意固定的z, 從某個n開始, 總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.10/16/202229(2) 除 z=a 外都發(fā)散.此時, 級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.例

9、如,級數(shù)通項不趨于零, 故級數(shù)發(fā)散. (3)存在一點z1a,使級數(shù)收斂(此時,根據(jù)定理4.10的第一部分知,它必在圓周|z-a|=|z1-a|內(nèi)部絕對收斂),另外又存在一點z2,使級數(shù)發(fā)散 肯定|z2-a|z1-a根據(jù)推論4.11知,它必在圓周|z-a|=|z2-a|外部發(fā)散10/16/202230.收斂圓收斂半徑收斂圓周 在這種情況下, 存在一個有限正數(shù)R, 使得級數(shù)(4.3)在圓周|z-a|=R內(nèi)部絕對收斂, 在圓周|z-a|=R外部發(fā)散. R稱為此冪級數(shù)的收斂半徑; 圓|z-a|R和圓周|z-a|=R分別稱為它的 收斂圓和收斂圓周.10/16/202231答案: 冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域

10、?問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析.注意問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?10/16/202232例如, 級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.10/16/202233定理4.12 如果冪級數(shù)(4.3)的系數(shù)cn合于或或3. 冪級數(shù)收斂半徑的求法則冪級數(shù) 的收斂半徑為:R=1/l (l0,l+)0 (l=+);+ (l=0).(4.4)10/16/202234定理4.13 (1) 冪級數(shù)(4.5)的和函數(shù)f(z)在其收斂圓K:|z-a|R(0R+)內(nèi)解析.4. 冪級數(shù)的和函數(shù)的解析性 (2)在K內(nèi),冪級數(shù)(4.5)可以逐項

11、求導至任意階,即：(p=1,2,) (4.6)(3) (p=0,1,2,). (4.7)(4) 級數(shù)（4.5）可沿K內(nèi)曲線C逐項積分，且其收斂半徑與原級數(shù)相同。10/16/202235在其收斂圓K:|z-a|R(0R+)內(nèi)閉一致收斂于f(z),而且各項 又都在z平面上解析.故由維爾斯特拉斯定理(定理4.9),本定理的(1)、(2)部分得證,逐項求p階導數(shù)(p=1,2,)后,即得(4.6). 在(4.6)中令z=a,得注意到 即得(4.7). 證 由阿貝爾定理(定理4.10),冪級數(shù)10/16/2022365. 典型例題例1 求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為10/16/202237例

12、1 求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.10/16/202238級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi), 級數(shù)絕對收斂, 收斂半徑為1,10/16/202239例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)或解(1)因為10/16/202240所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散, 收斂的級數(shù) 所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級數(shù)10/16/202241說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點, 也有 級數(shù)的發(fā)散點.原級數(shù)成為交錯級數(shù), 收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，(2)(2)

13、(并討論時的情形)10/16/202242故收斂半徑例3求冪級數(shù) 的收斂半徑:解10/16/202243解所以例4求 的收斂半徑.10/16/202244例5 求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以10/16/202245例6 求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解10/16/202246例7 計算解10/16/202247第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、冪級數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的狀況3、一些初等函數(shù)的泰勒展式10/16/202248(4.9)定理4.14 (泰勒定理) 設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù) (

14、4.8)其中系數(shù)且展式是唯一的.1. 泰勒(Taylor)定理10/16/202249(4.9)定理4.14 (泰勒定理) 設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù) (4.8)其中系數(shù)1. 泰勒(Taylor)定理（4.8）稱為f(z)在點a的泰勒展式，（4.9）稱為其泰勒系數(shù)，（4.8）中的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)。10/16/202250(4.9)D 定理4.14 (泰勒定理) 設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級數(shù) (4.8)其中系數(shù)展式是唯一的.Ka10/16/202251K 證:證明的關

15、鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式:(|u|1).(4.10)總有一個圓周:使點z含在中虛線表).由柯西積分公式得azD的內(nèi)部(圖10/16/202252表示為一個含有z-a的正冪次級數(shù).為此該寫：(4.11) 我們設法將被積式:由時,由于10/16/202253應用公式(4.10),我們有右端的級數(shù)在 上(關于 )是一致收斂的.以 上的有界函數(shù) 相乘,仍然得到 上的一致收斂級數(shù).于是(4.11)表示為 上一致收斂級數(shù)10/16/202254由定理3.13最后得出其中的系數(shù)cn由公式(4.9)給出.上面證明對于任意z均成立,故定理的前半部分得證.10/16/202255下面證明展式是唯一的.

16、設另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,),故展式是唯一的.10/16/202256 定理4.15 f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在D內(nèi)任一點a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級數(shù),即泰勒級數(shù). 由柯西不等式知若f(z)在|z-a|0,且則f(z)在收斂圓周C：|z-a|=R上至少有一奇點，即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在，它在|z-a|0,且則f(z)在收斂圓周C:|z-a|=R上至少有一奇點,即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在,它在|z-a|R內(nèi)與f(z)恒等,而在C上處處解析. 證 假若這樣的F(z)存在,這時C上的每一點就都是某圓O的中心,而在圓O內(nèi)F(z)是解析的.z

17、1a10/16/202259K/:|z-a|R+內(nèi)是解析的.于是F(z)在K/可開為泰勒級數(shù).但因在|z-a|0表示C到G的邊界的距離(參看第三章定理3.3注).于是F(z)在較圓K大的同心圓z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a10/16/2022603. 一些初等函數(shù)的泰勒展式10/16/2022611、 解析函數(shù)零點的孤立性2、 唯一性定理3、 最大與最小模原理第四節(jié) 解析函數(shù)零點的孤立性與唯一性定理10/16/202262定義4.7 設f(z)在解析區(qū)域D內(nèi)一點a的值為零 f(a)=0 則稱a為解析函數(shù)f(z)的一個零點.1. 解析函數(shù)的零點及其孤立性10/16/202263 定

18、義4.7 f(a)=0，則稱a為解析函數(shù)f(z)的一個零點. 如果在|z-a|R內(nèi)，解析函數(shù)f(z)不恒為零，我們將它在點a展成冪級數(shù)，此時，冪級數(shù)的系數(shù)不必全為零，故必有一正數(shù)m(m1)，使得合乎上述條件的m稱為零點a的階(級)，a稱為f(z)的m階(級)零點。特別是當m=1時，a也稱為f(z)的簡單零點.1. 解析函數(shù)的零點及其孤立性10/16/202264定理4.17 不恒為零的解析函數(shù)f(z)以a為m級零點的充要條件為:其中(4.14)在點a的鄰域|z-a|R內(nèi)解析,且證 必要性 由假設，只要令即可。充分性是明顯的。10/16/202265 定理4.18 如在|z-a|R內(nèi)解析的函數(shù)f

19、(z)不恒為零,a為其零點,則必有a的一個鄰域,使得f(z)在其中無無異于a的零點.(簡單來說就是,不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的.) 其中 在點a的鄰域|z-a|R內(nèi)解析,且 零點的孤立性證 設a為f(z)的m級零點,于是,由定理(4.17)從而 在點a連續(xù).于是由例1.28知存在一鄰域|z-a|r使得 于其中恒不為零.故f(z)在其中無異于a的其它零點.10/16/202266定理4.18 如在|z-a|R內(nèi)解析的函數(shù)f(z)不恒為零，a為其零點，則必有a的一個鄰域，使得f(z)在其中無異于a的零點(簡單來說就是，不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立的)。 零點的孤立性(2)在K內(nèi)有f(z

20、)的一列零點zn(zn0)收斂于a,推論4.19 設(1)f(z)在鄰域K:|z-a|R內(nèi)解析;即存在zn K, (zn0) f(zn)=0, zna 10/16/202267(2)在K內(nèi)有f(z)的一列零點zn(zn0)收斂于a,證 因為f(z)在點a連續(xù),且f(zn)=0,讓n趨于無窮取極限,即得f(a)=0.故a是一個非孤立的零點.由定理4.18必f(z)在K內(nèi)恒為零.推論4.19 設(1)f(z)在鄰域K:|z-a|R內(nèi)解析;即存在zn K, (zn0) f(zn)=0, zna 10/16/202268(2)在K內(nèi)有f(z)的一列零點zn(zn0)收斂于a,推論4.19 設(1)f(

21、z)在鄰域K:|z-a|0).在L上依次取一串點a=a0,a1,an-1,an=b,at-1at使相鄰兩點間的距離小于定數(shù)R(0Rd).顯然,由推論4.19,在圓K0:|z-a0|R內(nèi)K0在圓K1:|z-a1|R,再用推論4.19,即知在 K1內(nèi)這樣繼續(xù)下去,直到最后一個含有點b為止,在該圓Kn-1內(nèi)特別說來,f(b)=0.因為b是D內(nèi)任意的點,故證明了D內(nèi)an-1Kn-1ban-1a1a210/16/202272例1 在復平面解析、在實軸上等于sinx的函數(shù)只能是sinz.解 設f(z)在復平面解析、在實軸上等于sinx，那么f(z)-sinz在復平面解析、在實軸上等于0，由解析函數(shù)的唯一性

22、定理，在復平面上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz.10/16/202273推論4.21 設在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)f1(z)及f2(z)在D內(nèi)的某一子區(qū)域(或一小段弧)相等,則它們在D內(nèi)恒等.推論4.22 一切在實軸上成立的恒等式,在z平面上也成立,只要這個恒等式的兩邊在z平面上都是解析的.例4.18應用唯一性定理，在|z|1內(nèi)展開Ln(1+z)的主值枝成z的冪級數(shù)10/16/202274例2 是否存在著原點解析的函數(shù)f(z)，分別滿足下列條件:解 （1）由于 及 都以0為聚點，由解析函數(shù)的唯一性定理，f(z)=z是在原點解析并滿足的唯一的解析函數(shù)；但此函數(shù)不滿足條件 。因此在原點解析

23、并滿足這些條件的函數(shù)不存在。（2）由于 ，由解析函數(shù)的唯一性定理，是在原點解析并滿足此條件的唯一解析函數(shù)。10/16/2022753. 最大模原理定理4.23(最大模原理) 設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|在D內(nèi)任何點都不能達到最大值，除非在D內(nèi)f(z)恒等于常數(shù). 證 如果用M表|f(z)|在D內(nèi)的最小上界,則必0M+.假定在D內(nèi)有一點z0,函數(shù)f(z)的模在z0達到它的最大值,即|f(z0)|=M.10/16/202276定理4.23(最大模 原理) 設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則|f(z)|在D內(nèi)任何點都不能達到最大值,除非在D內(nèi)f(z)恒等于常數(shù). 證 如果用M表|f(z)|在D內(nèi)的最小上界,則必0M+.假定在D內(nèi)有一點z0,函數(shù)f(z)的模在z0達到它