第07講 開放探究性問題-2022中考數(shù)學(xué)巔峰沖刺（解析版）

1、PAGE112022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺專題07開放探究性問題【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥,疑難突破；開放探究型問題的內(nèi)涵：所謂開放探究型問題是指已知條件、解題依據(jù)、解題方法、問題結(jié)論這四項(xiàng)要素中，缺少解題要素兩個(gè)或兩個(gè)以上，需要通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動(dòng)來確定所需求的條件或結(jié)論或方法1常規(guī)題的結(jié)論往往是唯一確定的，而多數(shù)開放探究題的結(jié)論是不確定或不是唯一的，它是給學(xué)生有自由思考的余地和充分展示思想的廣闊空間；2解決此類問題的方法，可以不拘形式，有時(shí)需要發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，有時(shí)需要盡可能多地找出解決問題的方法，有時(shí)則需要指出解題的思路等對(duì)于開放探究型問題，需要通過觀察、

2、比較、分析、綜合及猜想，展開發(fā)散性思維，充分運(yùn)用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過歸納、類比、聯(lián)想等推理的手段，得出正確的結(jié)論在解開放探究題時(shí)，常通過確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，將開放性問題轉(zhuǎn)化為封閉性問題開放探究型問題三個(gè)解題方法：1條件開放型問題：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合圖形挖掘條件，逆向追索，逐步探尋，是一種分析型思維方式它要求解題者善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，多途尋因；2結(jié)論開放型問題：從剖析題意入手，充分捕捉題設(shè)信息，通過由因?qū)Ч樝蛲评砘蚵?lián)想、類比、猜測(cè)等，從而獲得所求的結(jié)論；3條件和結(jié)論都開放型：此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具

3、有多樣性，需將已知的信息集中進(jìn)行分析，探索問題成立所必須具備的條件或特定的條件應(yīng)該有什么結(jié)論，通過這一思維活動(dòng)得出事物內(nèi)在聯(lián)系，從而把握事物的整體性和一般性（4）探究問題在中考中常以壓軸題出現(xiàn)，它的基本類型一般包括存在型、規(guī)律型、決策型等解答存在型問題的一般思路：先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè)解答規(guī)律型問題的一般思路：通過對(duì)所給的具體的結(jié)論進(jìn)行全面而細(xì)致的觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以運(yùn)用解答決策型問題的一般思路：通過對(duì)題設(shè)信息進(jìn)行全面的分析、綜合比較、判斷優(yōu)

4、劣，從中尋得適合題意的最佳方案【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測(cè)，關(guān)注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)1】如圖，把一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折疊之后，恰好使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C能夠重合，且使的折痕與BC的交點(diǎn)恰好在其三等分點(diǎn)處，則下列圖形長度能夠滿足題意的是（）AAB=10，BC=20BAB=10，BC=30CAB=10，BC=20DAB=10，BC=30【解析】：根據(jù)折疊圖形的性質(zhì)，利用勾股定理求出AF=2BF，AB=BF，由此即可判定D正確解：選項(xiàng)D正確理由是根據(jù)題意可知AF=2BF，利用勾股定理或者30的直角三角形判斷計(jì)算AB=AB=BF，根據(jù)線段之間的關(guān)系可選得答案。故選D【原創(chuàng)2】如圖，正比例函數(shù)y=2的圖象與

5、反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直軸于點(diǎn)C，連接BC若ABC的面積為2求的值；結(jié)合圖象寫出不等式的解集（3）軸上是否存在一點(diǎn)D，使ABD為直角三角形若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】解：（1）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，OA=OB，又A是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且AC軸于點(diǎn)C，0，=2反比例函數(shù)的解析式為（2）或假設(shè)軸上存在一點(diǎn)D，使ABD為直角三角形將y=2與聯(lián)立成方程組得，解得A（1，2），B（-1，-2）【原創(chuàng)3】如圖，拋物線y=a2bc的圖象交于軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，交于y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，則下列結(jié)論：abc0；b2

6、4ac0；拋物線上有兩點(diǎn)，則HGm，ABm，AMm1，又O是ABC的切圓，ACm1m12m，AC2AB，ACB30，BCeqr3AB，2meqr3m，解得meqr31，mABeqr31，BC2m3eqr3，BCAB2，D選項(xiàng)正確；BCAB2m22eqr34，C選項(xiàng)正確由折疊知，OGGD，又OGGD，OGD是等腰直角三角形，且ORRD，所以RGRD，RGRD，注意到GNAD為所作，GRDFRD90，RKGNKD，RKGRGKNKDNDK90，NDKRGK，所以RKGRFD，所以FDKG，易得四邊形OHG，BC，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA，CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度

7、沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接，BC3cm根據(jù)勾股定理，得ABeqrAC2BC25cm1以A，為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，分兩種情況：當(dāng)AM,AB，即eqf52t,4eqf4t,5，解得teqf3,2當(dāng)A,ACeqfA為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似2存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值理由如下：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值如圖，過點(diǎn)P作PHAC，eqfPH,ACeqfBP,BA，即eqfPH,4eqf2t,5，PHeqf8,5t，SSABCSBPNeqf1,234eqf1,23teqf8,5teqf4,5teqf3,22eqf21,50teqf4,50，S有最小值當(dāng)t

8、eqf3,2時(shí)，S最小值eqf21,511如圖215，CD是經(jīng)過BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BECCFA1若直線CD經(jīng)過BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：如圖，若BCA90，90，則BE_CF；EF_|BEAF|選填“”“”或“”；如圖，若0BCA180，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于與BCA關(guān)系的條件_，使中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立2如圖，若直線CD經(jīng)過BCA的外部，BCA，請(qǐng)寫出EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想不要求證明解：1BCA90，90，BCECBE90，BCEACF90，CBEACF，CACB，BECCFA，BCECAF，B

9、ECF；EF|CFCE|BEAF|BCA180證明：在BCE中，CBEBCE180BEC180BCA180，CBEBCEBCA又ACFBCEBCA，CBEACF，又BCCA，BECCFA，BCECAFAAS，BECF，CEAF，又EFCFCE，EF|BEAF|2猜想：EFBEAF證明：BECCFA，BCA，BCABCEACF180，CFACAFACF180，BCECAF，又BCCA，BCECAFAASBECF，ECFA，EFECCFBEAF12在ABC中，ABAC，A60，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，EDF120，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC或AC的延長線相交于點(diǎn)F1如圖，若DFAC，垂

10、足為F，AB4，求BE的長；2如圖，將1中的EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F求證：BECFeqf1,2AB；3如圖，將2中的EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線交與點(diǎn)F，作DNAC于點(diǎn)N，若DNFN，求證：BECFeqr3BECF解：1由四邊形AEDF的內(nèi)角和為360，可知DEAB，又ABAC，A60，ABC是等邊三角形，BDBDE中，B60，BE1；2如答圖，取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，易證：DG為ABC的中位線，故DGDC，BGDC60，又四邊形AEDF的對(duì)角互補(bǔ)，故GEDDFC，DEGDFC故EGCF，BECFBEEGBGeqf1,2AB；第5題答圖第5題答圖3如答圖，取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，同2，易證DEGDFC