課程《自動控制理論》課件第四章-根軌跡-

1、第四章 根軌跡法控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點在平面上分布的位置有關。決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。為此目的，伊文思在年提出了根軌跡法，令開環(huán)函數(shù)的一個參數(shù)開環(huán)增益（或另一個感興趣的參數(shù)）從變化到，與此對應，特征方程的根，便在平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。根軌跡法是研究自動控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經典控制理論中最基本的方法之一。第四章 根軌跡法控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點唯一確根軌跡的基本概念一舉例說明根軌跡的概念特征方程的

2、根為，根軌跡的基本概念一舉例說明根軌跡的概念令開環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對應的特征根的值，將這些值標在平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著值的增加，根軌跡的變化趨勢。根軌跡的基本概念從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:.穩(wěn)定性：因為根軌跡全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。.穩(wěn)態(tài)性能：因為開環(huán)傳函有一個位于坐標原點的極點，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0KK-1j當K=0時，S1=0，S2=-1令開環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對應的特征暫態(tài)性能（）當m，所以根軌跡從n個開環(huán)極點處起始，到m個開環(huán)零點處終止

3、，剩下的nm條根軌跡將趨于無窮遠處。舉例如題，起點：，無零點，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡K=0.25K=0K=0KK-1j幅值條件改寫當，必有，即起點是開環(huán)極點。但在控繪制根軌跡的基本規(guī)則三根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分支構成，分支數(shù)與開環(huán)極點數(shù)相同。四實軸上的根軌跡 在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點和開環(huán)極點數(shù)目之和為奇數(shù)。設系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖所示。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個試驗點 。繪制根軌跡的基本規(guī)則三根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分繪制根軌跡的基本規(guī)則共軛復數(shù)極點到的幅角之和為，相互抵消，因此開環(huán)共軛復數(shù)極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒

4、有影響，僅取決于實軸上的開環(huán)零、極點。若實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗點左側的開環(huán)零、極點提供的相角為,而右側的相角為180。點滿足相角條件，所以 之間是根軌跡。繪制根軌跡的基本規(guī)則共軛復數(shù)極點到的幅角之和為-2-4繪制根軌跡的基本規(guī)則例：（單位反饋）有三個極點，根軌跡有三條分支jn=3,m=2有條根軌跡，條終止于開環(huán)零點。在實軸上不同段上取試驗點oo-3-1-2-4繪制根軌跡的基本規(guī)則例：（單位反繪制根軌跡的基本規(guī)則五根軌跡的漸近線根軌跡中（nm）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的傾角為，（n-m-1)當時，求得的漸近線傾角最小，增大，傾角值將重復出現(xiàn)，而獨立的漸近線只有（nm）

5、條繪制根軌跡的基本規(guī)則五根軌跡的漸近線根軌跡中（繪制根軌跡的基本規(guī)則.漸近線與實軸的交點漸近線的交點總在實軸上，即 必為實數(shù)在計算時，考慮到共軛復數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點的實部代入即可繪制根軌跡的基本規(guī)則.漸近線與實軸的交點漸近線的交例求根軌跡解：在平面中確定開環(huán)零、極點的位置。-1-2j確定實軸上的根軌跡。n=3,m=0,應有三個分支，并且都趨向無窮遠處。確定漸近線的位置-0.423K1=6K1=6-6060例求根軌跡解：在平面中確定開環(huán)零、極點的位置。繪制根軌跡的基本規(guī)則六.分離點和會合點兩條根軌跡分支在平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會

6、合點）。它對應于特征方程中的二重根（如例，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠處，把分離點所對應的1值代入特征方程，應求得二重根）。根軌跡關于實軸對稱，分離點或會合點必然是實數(shù)或共軛復數(shù)常見的分離點或或會合點位于實軸上。求方程式的根，可以確定分離點或會合點。繪制根軌跡的基本規(guī)則六.分離點和會合點兩條根軌跡繪制根軌跡的基本規(guī)則例，求分離點上的坐標。系統(tǒng)的特征方程為或上式的根因為分離點在至之間，故為分離點的坐標，而舍棄用幅值條件確定分離點的增益：繪制根軌跡的基本規(guī)則例，求分離點上的坐標。上繪制根軌跡的基本規(guī)則七.根軌跡與虛軸的交點當增加到一定數(shù)值時，根軌跡可能穿過虛軸，進入右半

7、平面，這表示將出現(xiàn)實部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的焦點，并計算對應的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點確定根軌跡與虛軸的交點?？梢杂?代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。繪制根軌跡的基本規(guī)則七.根軌跡與虛軸的交點當增繪制根軌跡的基本規(guī)則續(xù)例，將代入特征方程。當時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實部虛部繪制根軌跡的基本規(guī)則續(xù)例，將代入特征方程在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。然后

8、連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。繪制根軌跡的基本規(guī)則在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根繪制根軌跡的基本規(guī)則八.根軌跡的出射角和入射角當系統(tǒng)存在共軛復數(shù)極點（或零點）時，為了準確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角出射角表示根軌跡從復數(shù)極點出發(fā)時的走向開環(huán)復數(shù)零點處，根軌跡的入射角為式中即為其它開環(huán)零、極點對出射點或入射點提供的相角開環(huán)復數(shù)極點處，根軌跡的出射角為繪制根軌跡的基本規(guī)則八.根軌跡的出射角和入射角當繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。用量角器量后，得，在圖上標

9、出。的出射角和對稱。繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。用量角反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析例設一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函繪制變化時的系統(tǒng)根軌跡。解：.在平面中標出開環(huán)極點.由規(guī)則二和三知，根軌跡共有四個分支，從開環(huán)極點出發(fā)，當時趨向無窮遠處。.由規(guī)則四，實軸上的根軌跡 。反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析例設一反饋控制系統(tǒng)的反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析漸近線的相角和交點為求根軌跡的分離點系統(tǒng)的特征方程反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析漸近線的相角和交點為反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，。只有是實際分離點。對應分離點的 值可按幅值條件確定求根軌跡在 的出射角反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，反饋控制系統(tǒng)的根軌跡

10、分析求根軌跡與虛軸的交點此處利用勞斯判據(jù)，由特征方程列勞斯表反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析求根軌跡與虛軸的交點此反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得根據(jù)行的系數(shù)寫出輔助方程將代入，得.作根軌跡圖在分離點附近取n個試驗點，知分離角為90,在 附近取n個試驗點反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點.在上例中給定一對主導極點的阻尼比1.畫出線反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點.1.畫出線反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析線的根軌跡交點的坐標就是時，系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導極點主導極點處對應的值用幅值條件求用試探法可找到另兩個閉環(huán)極點當時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析線的根軌跡交點的坐標就課程自動控制理論課件第四章-根軌跡-反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；分析根軌跡圖，估計系統(tǒng)增益 對閉環(huán)零、極點分布的影響；根據(jù)閉環(huán)零、極點的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)響應指標；對高階系統(tǒng)要盡可能準確地找出它的閉環(huán)主導極點。反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析參數(shù)根軌跡繪制方法例已知系統(tǒng)框圖，繪制以為參數(shù)的根軌跡.反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析參數(shù)根軌跡繪制方法反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析解：（1）系統(tǒng)的開環(huán)