自動控制3第三章-時域分析法課件

1、什么是時域分析? 指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據(jù)輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 由于時域分析是直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，所以時域分析具有直觀和準確的優(yōu)點。 第三章 時域分析法什么是時域分析?第三章 時域分析法 這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對靜止的（處于穩(wěn)定狀態(tài)），被控制量及其各階導數(shù)相對于平衡工作點的增量為零。規(guī)定控制系統(tǒng)的初始狀態(tài)均為零狀態(tài)，典型初始狀態(tài)即在 時 這表明，在外作用加入系統(tǒng)之前系統(tǒng)是相對靜止的（處于穩(wěn)3-1 典型輸入信號 脈沖函數(shù)：當A=1時，記為 。3-1 典型輸入信號 脈沖函數(shù)：當A=1時，記為 理想單位脈沖函數(shù)：t0拉氏變換： 理

2、想單位脈沖函數(shù)：t0拉氏變換： 在實際中，如果系統(tǒng)的脈動輸入量值很大，而持續(xù)時間與系統(tǒng)的時間常數(shù)相比非常小時，可以用脈沖函數(shù)去近似表示這種脈動輸入。如脈沖電壓信號、沖擊力、陣風等。 理想的脈沖函數(shù)在現(xiàn)實中是不存在的，它只有數(shù)學上的意義。 當描述脈沖輸入時，脈沖的面積或者大小是非常重要的，而脈沖的精確形狀通常并不重要。 在實際中，如果系統(tǒng)的脈動輸入量值很大，而持續(xù)時間與系 階躍函數(shù)：A為階躍幅度拉氏變換：A=1時稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。0tr(t)10t1(t) 階躍函數(shù)：A為階躍幅度拉氏變換：A=1時稱為單位階躍函數(shù) 如指令的突然轉(zhuǎn)換，電源的突然接通，負載的突變等，都可視為階躍作用。

3、發(fā)生在t=0時的階躍函數(shù)，相當于在時間t=0時，把一個定常信號突然加到系統(tǒng)上。 如指令的突然轉(zhuǎn)換，電源的突然接通，負載的突變等，都可 斜坡函數(shù)A=1時稱為單位斜坡函數(shù)。拉氏變換：1t0Ax(t) 斜坡函數(shù)的一階導數(shù)為常量A，這種函數(shù)表示由零值開始隨時間t作線性增長（恒速增長）的信號，故斜坡函數(shù)又稱為等速度函數(shù)。 斜坡函數(shù)A=1時稱為單位斜坡函數(shù)。拉氏變換：1t0Ax 拋物線函數(shù)A=1時稱為單位拋物線函數(shù)。拉氏變換： 拋物線函數(shù)的二階導數(shù)為常量A，這種函數(shù)表示由零值開始隨時間t以等加速度增長的信號，故拋物線函數(shù)又稱為等加速度函數(shù)。 拋物線函數(shù)A=1時稱為單位拋物線函數(shù)。拉氏變換： 提示：上述幾種

4、典型輸入信號的關系如下：上述幾種典型響應有如下關系：單位脈沖函數(shù)響應單位階躍函數(shù)響應單位斜坡函數(shù)響應單位拋物線函數(shù)響應積分積分積分微分微分微分提示：上述幾種典型輸入信號的關系如下：上述幾種典型響應有 正弦函數(shù)拉氏變換： 用正弦函數(shù)作輸入信號，可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應，由此分析系統(tǒng)的性能。（第五章 頻域分析） 正弦函數(shù)拉氏變換： 用正弦函數(shù)作輸入信號，可以求得 分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。 當系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)時，可選擇階躍函數(shù)為典型輸入信號；當系統(tǒng)的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數(shù)為典型輸入信號。 分

5、析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統(tǒng) 時域分析以線性定常微分方程的解來分析系統(tǒng)的性能。3-2 線性定常系統(tǒng)的時域響應線性常微分方程的解=齊次方程的通解 +非齊次方程的一個特解 齊次方程的通解，只與微分方程（系統(tǒng)本身的特性或系統(tǒng)的特征方程的根）有關。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，當時間趨于無窮大時，通解趨于零。所以根據(jù)通解或特征方程的根可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 特解與微分方程和輸入有關。一般來說，當時間趨于無窮大時特解趨于一個穩(wěn)態(tài)的函數(shù)。 時域分析以線性定常微分方程的解來分析系統(tǒng)的性能。3- 系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)過程之前的過程稱為暫態(tài)過程。暫態(tài)分析是分析暫態(tài)過程中輸出響應的各種運動特性。 理論上說，只有當

6、時間趨于無窮大時，才進入穩(wěn)態(tài)過程，但在進行分析時，只要輸出量的實際值與希望值之間的偏差不再超過允許的誤差范圍，就認為系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)過程。 對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，對于一個有界的輸入，當時間趨于無窮大時，微分方程的全解將趨于一個穩(wěn)態(tài)的函數(shù)，使系統(tǒng)達到一個新的平衡狀態(tài)。工程上稱為進入穩(wěn)態(tài)過程。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)過程和暫態(tài)過程 系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)過程之前的過程稱為暫態(tài)過程。暫態(tài)分析是分穩(wěn)定的控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示：暫態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程暫態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程0tc(t)0tc(t)衰減振蕩單調(diào)變化穩(wěn)定的控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示：暫態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程暫 暫態(tài)過程的性能指標 通常以單位階躍響應來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定

7、義暫態(tài)過程的時域性能指標。 我們根據(jù)衰減振蕩的階躍響應曲線來定義系統(tǒng)常用的暫態(tài)性能指標。3-3 控制系統(tǒng)時域響應的性能指標 暫態(tài)過程的性能指標3-3 控制系統(tǒng)時域響應的性能具有衰減振蕩的暫態(tài)過程如圖所示： 延遲時間輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。0tc(t) 上升時間輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值c()所需的時間?；蛑赣煞€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。具有衰減振蕩的暫態(tài)過程如圖所示： 延遲時間輸出響應第一次達0tc(t)4.調(diào)整時間3.峰值時間輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值所需要的時間。當輸出量c(t)和穩(wěn)態(tài)值c()之間的偏差達到允許范圍（一般取2%或5%）并維持在此允許

8、范圍之內(nèi)所需的最小時間。0tc(t)4.調(diào)整時間3.峰值時間輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第5.最大超調(diào)量（簡稱超調(diào)量） 暫態(tài)過程中輸出響應的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)。0tc(t)AB5.最大超調(diào)量（簡稱超調(diào)量） 暫態(tài)過程中輸出響應的最大值超過 在上述幾種性能指標中， 表示瞬態(tài)過程進行的快慢，是快速性指標；而 反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是穩(wěn)定性指標。其中 和 是兩種最常用的性能指標。 在上述幾種性能指標中， 表示瞬態(tài)時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量Mp =AB100%調(diào)節(jié)時間ts時間tr上 升峰值時間tpAB超調(diào)量Mp =AB100%3-4 一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應 結構圖用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為

9、一階系統(tǒng)。-2.閉環(huán)傳遞函數(shù)可見一階系統(tǒng)相當于一個慣性環(huán)節(jié)，式中T為時間常數(shù)。3-4 一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應 結構圖用一階微分方程描述 單位階躍響應 可見系統(tǒng)的輸出響應由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分組成，當時間t時，暫態(tài)分量衰減為零。 這是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線，初始值為0，穩(wěn)態(tài)值為1。0tc(t) 單位階躍響應 可見系統(tǒng)的輸出響應由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量一階系統(tǒng)的單位階躍響應具備兩個重要的特點：0.950.980.6321T2T3T4T5T00.20.40.60.81tC(t)C() 可見，調(diào)整時間只與時間常數(shù)T有關。時間常數(shù)越小，系統(tǒng)響應越快。1）當t=T時，即當t等于時間常數(shù)T時，響應c(t)達到穩(wěn)

10、態(tài)值的63.2%。調(diào)整時間： ts=3T（對應5%誤差帶） 或ts=4T（對應2%誤差帶）同樣的方法可以算出，當t=2T、3T、4T和5T時， c(t)將分別上升到86.5% 、95% 、98.2%和99.3% 。一階系統(tǒng)的單位階躍響應具備兩個重要的特點：0.950.980一階系統(tǒng)的單位階躍響應具備兩個重要的特點： 這也是在單位階躍響應曲線上確定一階系統(tǒng)時間常數(shù)的方法之一。2）響應曲線的初始斜率等于1/T。上式表明：如果系統(tǒng)輸出響應一直以初始速度1/T上升，則達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間恰好為T。0.950.980.6321T2T3T4T5T00.20.40.60.81tC(t)C()斜率=1/T一階

11、系統(tǒng)的單位階躍響應具備兩個重要的特點： 這 一階系統(tǒng)單位脈沖響應 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線是一條單調(diào)衰減的指數(shù)曲線。只包含暫態(tài)分量！ 一階系統(tǒng)單位脈沖響應 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線是一 一階系統(tǒng)在單位斜坡信號輸入作用下，誤差自零開始按指數(shù)規(guī)律增長，最終趨于常值T。一階系統(tǒng)單位斜坡響應0t 經(jīng)過足夠長的時間(4T)，輸出增長速率近似與輸入相同； 一階系統(tǒng)在單位斜坡信號輸入作用下，誤差自零開始按指數(shù)一階系統(tǒng)單位加速度響應 一階系統(tǒng)在加速度函數(shù)輸入作用下，其誤差隨時間推移而增長，直到無限大。一階系統(tǒng)單位加速度響應 一階系統(tǒng)在加速度函數(shù)輸入作用下閉環(huán)極點（特征根）：-1/T閉環(huán)極點（特征根）：-1

12、/T 結構圖用二階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它是控制系統(tǒng)常見的組成形式，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下常近似地用二階系統(tǒng)來表征。-2.閉環(huán)傳遞函數(shù)3.5 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應 結構圖用二階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。-2.閉2.閉環(huán)傳遞函數(shù)這是典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其中2.閉環(huán)傳遞函數(shù)這是典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其中 二階系統(tǒng)單位階躍響應特征方程為：特征根為： 當 不同時，特征根和階躍響應有不同的形式。 二階系統(tǒng)單位階躍響應特征方程為：特征根為： 當 不負阻尼（0）極點實部大于零，響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 -10振蕩發(fā)散 -1單調(diào)發(fā)散特征根為：負阻尼（1欠阻尼：0 x1欠阻尼：0

13、x1欠阻尼：0 x1欠阻尼：0 x4，則零點可忽略不計。越小,附加零點的影響越大。 在前向通道中串聯(lián)比例微分環(huán)節(jié) 在前向通道中串聯(lián)比例微分環(huán)節(jié)對比:1、wn不變，增加了系統(tǒng)的阻尼比!2、閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中增加了一個零點。對比:對比:1、系統(tǒng)的阻尼比增加，可以有效地減小原二階系統(tǒng)階躍響應的超調(diào)量。2、由于微分的作用，使系統(tǒng)階躍響應的速度提高，從而縮短了調(diào)整時間。對比:物理意義: 系統(tǒng)輸出量同時受誤差信號及其速率的雙重影響。 比例微分控制可以在出現(xiàn)位置誤差前，提前產(chǎn)生修正作用，從而改善系統(tǒng)性能。缺點:對高頻噪聲有放大作用。物理意義:缺點:對高頻噪聲有放大作用。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 用微分負反饋

14、改善系統(tǒng)的性能。-增加了系統(tǒng)的阻尼比! 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 用微分負反饋改善系統(tǒng)的性能。- 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 用微分負反饋改善系統(tǒng)的性能。-如下圖所示。為使 ，求 的值。并計算加入微分負反饋后的暫態(tài)指標。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 用微分負反饋改善系統(tǒng)的性能。- 顯然，加入了微分負反饋后， 不變，而 增加了 倍。 顯然，加入了微分負反饋后， 不變，而 這時的暫態(tài)性能指標為：上例中 ，若要求 ，則：和加入微分負反饋前比較：超調(diào)量減小，調(diào)整時間減小。這時的暫態(tài)性能指標為：上例中 ，若要求 高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：寫成零極點形式：其單位階躍響應的拉氏變換為：3-6 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應高階系統(tǒng)的

15、傳遞函數(shù)為：寫成零極點形式：其單位階躍響應的拉氏變 可見，c(t)不僅與 （閉環(huán)極點）有關，而且與系數(shù) 有關（這些系數(shù)都與閉環(huán)零、極點有關）。 所以，高階系統(tǒng)的單位階躍響應取決于閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點分布。 可見，c(t)不僅與 （閉環(huán)極點）有 對于閉環(huán)極點全部位于s左半平面的高階系統(tǒng)（否則系統(tǒng)不穩(wěn)定），指數(shù)衰減項（極點為實數(shù)）和衰減正弦項（極點為共軛復數(shù)）的衰減快慢取決于極點離虛軸的距離。遠，衰減的快；近，衰減的慢。所以，近極點對暫態(tài)響應影響大。定性分析：若極點遠離原點，則系數(shù)?。粯O點靠近一個零點，遠離其他極點和零點，系數(shù)??；極點遠離零點，又接近原點或其他極點，系數(shù)大。 系數(shù) 取決于零、極點分布

16、。 對于閉環(huán)極點全部位于s左半平面的高階系統(tǒng)（否則系統(tǒng)不穩(wěn)衰減慢且系數(shù)大的項在暫態(tài)過程中起主導作用。 存在一對離虛軸最近的共軛極點； 附近無零點； 其他極點距虛軸的距離是它的5倍以上。主導極點：滿足下列條件的極點稱為主導極點。 主導極點在c(t)中的對應項衰減最慢，系數(shù)最大，系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標主要由它決定。 具有主導極點的高階系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)。衰減慢且系數(shù)大的項在暫態(tài)過程中起主導作用。 存在一對離虛軸 利用主導極點的概念可以對高階系統(tǒng)的特性做近似的估計分析。 在近似前后，確保輸出穩(wěn)態(tài)值不變； 在近似前后，暫態(tài)過程基本相差不大。高階系統(tǒng)近似簡化原則： 利用主導極點的概念可以對高階系統(tǒng)的特性做

17、近似的估計分例如：如果：則：說明：假設輸入為單位階躍函數(shù)，則簡化前后的穩(wěn)態(tài)值如下例如：如果：則：說明：假設輸入為單位階躍函數(shù)，則簡化前后的穩(wěn)3-8 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定的基本概念 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。 設系統(tǒng)處于某一平衡狀態(tài)。在外部干擾作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當干擾作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能自動回復到原來的初始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。注意：以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。3-8 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定的基本概念 外加擾動(a)穩(wěn)定(b)不穩(wěn)定注意：穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結構和

18、參數(shù)，與輸入無關。外加擾動(a)穩(wěn)定(b)不穩(wěn)定注意：穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固大范圍穩(wěn)定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復到原有的平衡狀態(tài)。(a)大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定:(a)大范圍穩(wěn)定(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。(b)小范圍穩(wěn)定否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，小范不穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條

19、件 假設系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t時，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 假設系統(tǒng)在初始條件為零理想脈沖函數(shù)作用下 R(s)=1對于穩(wěn)定系統(tǒng),t 時,輸出量 c(t)=0。理想脈沖函數(shù)作用下 R(s)=1對于穩(wěn)定系統(tǒng),t 時,輸由上式知：如果-pi和-i均為負值, 當t時,c(t)0。由上式知：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）全部具有負實部?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半平面。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定s平面 注意：

20、穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結構參數(shù)有關，與輸入輸出信號無關，與初始條件無關；只與極點有關，與零點無關。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點）全部 對于一階系統(tǒng)， 只要 都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)， 只要 都大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。（負實根或?qū)嵅繛樨摚?因此，可以根據(jù)求解特征方程式的根來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否。 可見，對于一階和二階線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程式的各項系數(shù)均為正值。 對于一階系統(tǒng)， 只要 對于三階或以上系統(tǒng)，特征方程式的各項系數(shù)均為正值只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充分條件。 高階系統(tǒng)特征方程式的求解很麻煩，用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)就可以不必

21、求解出特征根而判斷出系統(tǒng)特征根實部的正負，從而判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 對于三階或以上系統(tǒng)，特征方程式的各項系數(shù)均為正值只是3-9 勞斯赫爾維茨判據(jù)使用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟如下：1.列出系統(tǒng)特征方程式式中各項系數(shù)均為實數(shù)，且使 a0 0 。2.判斷各項系數(shù)是否都為正值 特征方程式各項系數(shù)均為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。一、勞斯判據(jù)3-9 勞斯赫爾維茨判據(jù)使用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的3.如果所有系數(shù)都是正的，則可以將多項式系數(shù)按下列格式列出勞斯陣列表（勞斯表）勞斯表的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，項系數(shù)組成，第二行為2，4，6，項系數(shù)組成。3.如果所有系數(shù)都是正的，則可以將多項

22、式系數(shù)按下列格式列出勞自動控制3第三章-時域分析法課件 用同樣的方法，求取表中其它行的系數(shù)，一直進行到第n+1行（s0行）為止。 為了簡化數(shù)值計算，可以用一個正數(shù)去除或乘某一行的各項，并不改變穩(wěn)定性的結論。 用同樣的方法，求取表中其它行的系數(shù)，一直進行到第n+4.根據(jù)勞斯表中第一列各元素的符號，用勞斯判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 勞斯判據(jù)的內(nèi)容如下： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列各元素均為正數(shù)。如果第一列系數(shù)中有負數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列系數(shù)符號的改變次數(shù)等于特征方程式的根在s平面右半部分的個數(shù)。4.根據(jù)勞斯表中第一列各元素的符號，用勞斯判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)例1：特征方程為： ，試判斷穩(wěn)定性。解

23、：勞斯表為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 均大于零 且例1：特征方程為： 例2：系統(tǒng)的特征方程為：-1 3 0（ 2）1 0 0（ ） 勞斯表第一列有負數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。解：勞斯表為：例2：系統(tǒng)的特征方程為：-1 3 0（ 2）1 5.兩種特殊情況1）勞斯表某一行中的第一列項等于零，但其余各項不全為零或者沒有其余項。處理方法 用一個很小的正數(shù)來代替這個零，并據(jù)此計算出陣列中的其余各項。如果上下兩項的符號相同，則說明系統(tǒng)存在一對虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；如果不同，表明有一次符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.兩種特殊情況1）勞斯表某一行中的第一列項等于零，但其余

24、各若 則例：特征方程式為： ，試判斷穩(wěn)定性。解：勞斯表為：故第一列有兩次符號變化，s右半平面有兩個極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定 。若 則例：特征方程式為： 2）勞斯表某一行中所有的系數(shù)都為零，表明在s平面內(nèi)存在大小相等但位置徑向相反的根，至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號相反的一對實根；或一對共軛虛根；或?qū)ΨQ于實軸的兩對共軛復根。大小相等符號相反的實根共軛虛根對稱于實軸的兩對共軛復根2）勞斯表某一行中所有的系數(shù)都為零，表明在s平面內(nèi)存在大小相2）勞斯表某一行中所有的系數(shù)都為零處理方法可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，并以此輔助方程式對s求導所得方程的系數(shù)代替全零的行。 大小相等，位置徑向

25、相反的根可以通過求解輔助方程得到，而且根的數(shù)目總是偶數(shù)（輔助方程應為偶次數(shù)的）。2）勞斯表某一行中所有的系數(shù)都為零處理方法可將不為零的最例：1 6 81 6 8輔助方程為：求導得：用1，3代替全零行即可?；蛞驗榈谝涣性囟即笥诹?，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第一列元素都大于零，說明s右半平面沒有閉環(huán)極點。但出現(xiàn)了全零行，表明系統(tǒng)有共軛虛數(shù)極點。例：1 6 81 6 8輔助方程為：求導例：輔助方程為：此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J為是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的共軛虛數(shù)極點可由輔助方程求出。解得：例：輔助方程為：此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的共軛虛數(shù)極點設系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞 斯 表

26、s0s1s2s3s451756116601 勞斯表何時會出現(xiàn)零行?2 出現(xiàn)零行怎么辦?3 如何求對稱的根? 由零行的上一行構成輔助方程: 有大小相等符號相反的特征根時會出現(xiàn)零行s2+1=0對其求導得零行系數(shù): 2s1211繼續(xù)計算勞斯表1第一列全大于零,所以系統(tǒng)穩(wěn)定錯啦!勞斯表出現(xiàn)零行系統(tǒng)一定不穩(wěn)定求解輔助方程得: s1,2=j由綜合除法可得另兩個根為s3,4= -2,-3設系統(tǒng)特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞 設系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，且由特征方程系數(shù)構成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。古爾維茨行列式的構造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數(shù)

27、 至最后一項系數(shù) ，在主對角線以下各行中各項系數(shù)下標逐次減小，在主對角線以上各行中各項系數(shù)下標逐次增加。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。 赫爾維茨行列式：二、赫爾維茨判據(jù)設系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： ，以4階系統(tǒng)為例使用赫爾維茨判據(jù)：赫爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：以4階系統(tǒng)為例使用赫爾維茨判據(jù)：赫爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要三、代數(shù)判據(jù)的應用 判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例： 系統(tǒng)的特征方程為： ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯表如下：因為 ，但勞斯表第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。 三、代數(shù)判據(jù)的應用 判定

28、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性例： 系統(tǒng)的特征方 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 利用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù) K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K 稱為臨界放大系數(shù)KL 。 分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 利用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)例：已知系統(tǒng)的結構圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：例：已知系統(tǒng)的結構圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。解：閉環(huán)傳遞勞斯表：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)特征方程為：勞斯表：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須系數(shù)皆大于0，勞斯陣第一列皆大 確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量）

29、利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。 確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用勞斯和赫爾維 確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用實部最大的特征方程的根 p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。 作 的垂線，若系統(tǒng)的極點都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以 z 為變量的新的特征方程，用勞斯-赫爾維茨判據(jù)進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。 確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕量） 利用實部最大的特例

30、：系統(tǒng)特征方程為： 。 行全為零，以它上面的行組成輔助方程 。對輔助方程求導，用其系數(shù)代替 行，其系數(shù)為1。有一對共軛虛根，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量恰為1。用勞斯判據(jù)可知它是穩(wěn)定的。判斷它是否具有穩(wěn)定裕量 a =1。令 則：12例：系統(tǒng)特征方程為： 。 行全為零3-10 小參量對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響小參量：一般指在系統(tǒng)中相對于那些數(shù)值大的時間常數(shù)而言的小時間常數(shù)。例如：處理高階系統(tǒng)時，根據(jù)閉環(huán)主導極點的概念，可將高階系統(tǒng)視為二階系統(tǒng)。研究小參量處理問題的目的和意義： 簡化數(shù)學模型、使系統(tǒng)的階次降低小參量處理問題：在某種前提條件下，用各種方法，或?qū)⑵浜雎圆挥?，或?qū)⑵渥鲎兺ㄌ幚恚箶?shù)學模型降階或簡化成易于

31、應用線性系統(tǒng)理論的近似形式。3-10 小參量對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響小參量：一般指在系統(tǒng)中一、將小參量忽略不計使模型降階的分析1、對于開環(huán)系統(tǒng)忽略小參量只需考慮系統(tǒng)的時間常數(shù)的數(shù)值相對大小這一條件即可。例如：開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為一、將小參量忽略不計使模型降階的分析1、對于開環(huán)系統(tǒng)忽略小參自動控制3第三章-時域分析法課件2、對于閉環(huán)系統(tǒng)忽略小參量不僅需考慮系統(tǒng)的時間常數(shù)的數(shù)值相對大小，而且還必須考慮系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)（或開環(huán)增益）。2、對于閉環(huán)系統(tǒng)忽略小參量不僅需考慮系統(tǒng)的時間常數(shù)的數(shù)值相對由代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可求得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是 如果只考慮時間常數(shù)的數(shù)值相對大小,將T忽略不計,將系統(tǒng)數(shù)學模型從三階降為

32、二階,則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。但實際情況并非如此。 只有當選定的系統(tǒng)開環(huán)增益比臨界開環(huán)增益小很多時，可以考慮令T=0，將系統(tǒng)進行降階處理。由代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可求得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是 如果只考慮時間常自動控制3第三章-時域分析法課件自動控制3第三章-時域分析法課件閉環(huán)控制系統(tǒng)忽略小參量的前提條件： （1）系統(tǒng)中時間常數(shù)相對值的大小 （2）必須同時考慮系統(tǒng)的開環(huán)增益 當系統(tǒng)的開環(huán)增益比臨界開環(huán)增益小很多時，系統(tǒng)中時間常數(shù)相對值很小的參數(shù)可以近似為零。閉環(huán)控制系統(tǒng)忽略小參量的前提條件： 當系統(tǒng)的開環(huán)增益比二、處理小參量應注意的問題1、常見的近似式2、近似式成立的條件（1）存在相對較大的時間常數(shù)；（2）開環(huán)增益比

33、臨界開環(huán)增益小很多。二、處理小參量應注意的問題1、常見的近似式2、近似式成立的條 3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義系統(tǒng)誤差：輸出量的希望值 和實際值 之差。即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：當t時的系統(tǒng)誤差，用 表示。即-+ 3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)偏差：系統(tǒng)的輸入 和主反饋信號 之差。即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差：當t時的系統(tǒng)偏差，用 表示。即-+ 3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義系統(tǒng)偏差：系統(tǒng)的輸入 和主反饋信號 之差。即系統(tǒng)穩(wěn) 對單位反饋系統(tǒng)，給定作用 即為輸出量的希望值， ，偏差等于誤差,-+-+ 對非單位反饋系統(tǒng)，給定作用 只是希望輸出的代表值， ，偏差不等于誤差。 對單

34、位反饋系統(tǒng)，給定作用 即為輸出量的希望值， 偏差和誤差之間存在一定的關系： 這里 是基于控制系統(tǒng)在理想工作情況下 得到的。-+ 我們將偏差 代替誤差 進行研究。除非特別說明，以后所說的誤差就是指偏差；穩(wěn)態(tài)誤差就是指穩(wěn)態(tài)偏差。 偏差和誤差之間存在一定的關系： 這里 -+ 給定作用下的誤差傳遞函數(shù)-二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算-+ 給定作用下的誤差傳遞函數(shù)-二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算-+ 擾動作用下的誤差傳遞函數(shù)+-+ 擾動作用下的誤差傳遞函數(shù)+ 給定和擾動同時作用下的誤差表達式 給定和擾動同時作用下的誤差表達式-+教材中定義的 擾動作用下的誤差傳遞函數(shù)-+教材中定義的 這時，不考慮擾動的影響?？梢詫懗鱿到y(tǒng)的給定誤

35、差：3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算-+ 這時，不考慮擾動的影響?？梢詫懗鱿到y(tǒng)的給定誤差：3- 對穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理 計算穩(wěn)態(tài)誤差 只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計算穩(wěn)態(tài)誤差。 對穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理 只有穩(wěn)定的系例:系統(tǒng)結構圖如圖所示，當輸入信號為單位斜坡函數(shù)時，求系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義,所以先判穩(wěn)系統(tǒng)特征方程為由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：由穩(wěn)定的條件知： 不能滿足 的要求例:系統(tǒng)結構圖如圖所示，當輸入信號為單位斜坡函數(shù)時，求系統(tǒng)在 使用拉氏變換終值定理計算

36、穩(wěn)態(tài)誤差終值的條件是: sEr(s)在s平面右半平面及虛軸上除了坐標原點是孤立奇點外必須解析,即sEr(s)的全部極點除坐標原點外應全部位于s左半平面。 如給定輸入為正弦函數(shù)時，r(t)=sinwt 在s平面的全部虛軸上不解析，就不能使用終值定理去求取系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。 使用拉氏變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差終值的條件是: s顯然， 與輸入和開環(huán)傳遞函數(shù)有關。一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算顯然， 與輸入和開環(huán)傳遞函數(shù)有關。一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計式中： 開環(huán)放大系數(shù)； 積分環(huán)節(jié)的個數(shù)； 開環(huán)傳遞函數(shù)去掉積分和比例環(huán)節(jié)假設開環(huán)傳遞函數(shù) 的形式如下：式中： 開環(huán)放大系數(shù)； 積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；假設開環(huán)傳可見給

37、定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關；與時間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關；與積分環(huán)節(jié)的個數(shù)有關?？梢娊o定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的型號（開環(huán)傳遞函數(shù)的型）按開環(huán)傳遞函數(shù)中積分的個數(shù)將系統(tǒng)進行分類。當 ，無積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng)當 ，有一個積分環(huán)節(jié)，稱為型系統(tǒng)當 ，有二個積分環(huán)節(jié)，稱為型系統(tǒng)系統(tǒng)的型號（開環(huán)傳遞函數(shù)的型）按開環(huán)傳遞函數(shù)中積分的個數(shù)將系式中： 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)； 當輸入為 時（單位階躍函數(shù)）式中： 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)； 穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，為有限值的稱為有差系統(tǒng)。 的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說 反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入的能力。 在單位階躍作用下，0

38、型系統(tǒng)( )為有差系統(tǒng)，型以上的系統(tǒng)( )為無差系統(tǒng)。 穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，為有限值的稱為有差系 穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，為有限值的稱為有差系統(tǒng)。 在單位階躍作用下，0型系統(tǒng)( )為有差系統(tǒng)，型以上的系統(tǒng)( )為無差系統(tǒng)。有差系統(tǒng) 穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，為有限值的稱為有差系 當輸入為 時（單位斜坡函數(shù)）式中： 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)； 當輸入為 時（單位斜坡函數(shù)）式中： 的大小反映了系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說 反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的能力。 的大小反映了系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 當輸入為 時（單位斜坡函數(shù)）有差系統(tǒng) 當輸入為 時（單位斜坡函數(shù)）有差系統(tǒng) 當輸入為 時（單位加速度函數(shù)）式中： 稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)； 當輸入為 時（單位加速度函數(shù)）式中： 的大小反映了系統(tǒng)在拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說 反映了系統(tǒng)跟蹤拋物線輸入的能力。 的大小反映了系統(tǒng)在拋物線輸入下的穩(wěn)