2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第11章 計(jì)數(shù)原理 第2講

1、PAGE20第2講排列與組合考綱解讀理解排列組合的概念及排列數(shù)與組合數(shù)公式，并能用其解決一些簡單的實(shí)際問題重點(diǎn)考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)命題方向預(yù)測2022年將會(huì)考查：有條件限制的排列組合問題；排列組合與其他知識(shí)的綜合問題試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不大，屬中、低檔題型1排列與組合的概念2排列數(shù)與組合數(shù)1排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的eqo,su個(gè)元素的排列數(shù)，用eqavs4alo,su,n表示2組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的eqo,su個(gè)元素的組合數(shù)，用eqavs4alo,su,n表示3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)4常用結(jié)論1Aeq

2、oalm,nnm1Aeqoalm1,n；Aeqoalm,neqfn,nmAeqoalm,n1；Aeqoalm,nnAeqoalm1,n12nAeqoaln,nAeqoaln1,n1Aeqoaln,n；Aeqoalm,n1Aeqoalm,nmAeqoalm1,n31！22！33！nn！n1！14Ceqoalm,neqfnm1,mCeqoalm1,n；Ceqoalm,neqfn,nmCeqoalm,n1；Ceqoalm,neqfn,mCeqoalm1,n15Ceqoal,nnCeqoal1,n1；Ceqoalr,rCeqoalr,r1Ceqoalr,r2Ceqoalr,nCeqoalr1,n11概

3、念辨析1所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列2一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序3從2,4,6,8任取兩個(gè)數(shù)，分別作對數(shù)“l(fā)og”的底數(shù)、真數(shù)，有多少個(gè)不同的對數(shù)值此題屬于排列問題4甲、乙、丙、丁四個(gè)好朋友相互發(fā)微信，共有多少條微信此題屬于組合問題5若組合式Ceqoal,nCeqoalm,n，則m成立答案123452小題熱身1某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了畢業(yè)留言A1560條B780條C1600條D800條答案A解析由題意，得畢業(yè)留言共Aeqoal2,401560條2從6名男生和2名女生中選出3名，其中至少有1名女生的選法共有_種答案36解析分

4、兩類：第1類是有1名女生，共有Ceqoal1,2Ceqoal2,621530種；第2類是有2名女生，共有Ceqoal2,2Ceqoal1,6166種由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有30636種3有大小和形狀完全相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，將它們排成一排，共有_種不同的排列方法答案56解析8個(gè)小球排好后對應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題這樣共有Ceqoal3,856種排法4從6本不同的書中選出4本，分別發(fā)給4個(gè)同學(xué)，已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué)，則不同分配方法有_種答案240解析因?yàn)槠渲袃杀緯荒馨l(fā)給

5、甲同學(xué)，所以甲只能從剩下的4本中分一本，然后再選3本分給3個(gè)同學(xué)，故有Aeqoal1,4Aeqoal3,5240種題型eqavs4al一排列問題7位同學(xué)站成一排：1其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法2甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種3甲不排頭、乙不排尾的排法共有多少種4甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種5甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種6甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種7甲總在乙的前面的排法有多少種解1其中甲站在中間的位置，共有Aeqoal6,6720種不同的排法2甲、乙只能站在兩端的排法共有Aeqoal2,2Aeqoal5,5240種37位同學(xué)站成

6、一排，共有Aeqoal7,7種不同的排法；甲排頭，共有Aeqoal6,6種不同的排法；乙排尾，共有Aeqoal6,6種不同的排法；甲排頭且乙排尾，共有Aeqoal5,5種不同的排法；故共有Aeqoal7,72Aeqoal6,6Aeqoal5,53720種不同的排法4先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素同學(xué)一起進(jìn)行全排列有Aeqoal6,6種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有Aeqoal2,2種方法，所以這樣的排法一共有Aeqoal6,6Aeqoal2,21440種5甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有：解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一

7、個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾，有Aeqoal2,5種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有Aeqoal4,4種方法；最后將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有Aeqoal2,2種方法，所以這樣的排法一共有Aeqoal2,5Aeqoal4,4Aeqoal2,2960種方法解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素若丙站在排頭或排尾有2Aeqoal5,5種方法，所以丙不能站在排頭和排尾的排法有Aeqoal6,62Aeqoal5,5Aeqoal2,2960種方法解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)

8、元素，此時(shí)一共有6個(gè)元素，因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾，所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有Aeqoal1,4種方法再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有Aeqoal5,5種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有Aeqoal1,4Aeqoal5,5Aeqoal2,2960種方法6甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有：解法一：間接法Aeqoal7,7Aeqoal6,6Aeqoal2,23600種解法二：插空法先將其余五個(gè)同學(xué)排好有Aeqoal5,5種方法，此時(shí)他們留下六個(gè)位置就稱為“空”吧，再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置空有Aeqoal2,6種方法，所以一共有：Aeqoal2,6Aeqoal5,5

9、3600種7甲總在乙的前面則順序一定，共有eqfAoal7,7,Aoal2,22520種結(jié)論探究1若將舉例說明結(jié)論變?yōu)椤凹住⒁?、丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰”，則有多少種不同的排法解先將其余四個(gè)同學(xué)排好，有Aeqoal4,4種方法，此時(shí)他們隔開了五個(gè)空位，再從中選出三個(gè)空位安排甲、乙、丙，故共有Aeqoal4,4Aeqoal3,51440種方法結(jié)論探究2若甲、乙、丙三位同學(xué)不都相鄰，則有多少種不同的排法解7位同學(xué)站成一排，共有Aeqoal7,7種不同的排法；甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有Aeqoal5,5Aeqoal3,3720種故共有Aeqoal7,7Aeqoal5,5Aeqoal3,34320

10、種不同的排法結(jié)論探究31若將7人站成兩排，前排3人，后排4人，共有多少種不同的排法2若現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相對位置不變，則有多少種不同的加入方法解1站成兩排前3后4，共有Aeqoal7,75040種不同的排法2第一步，從甲、乙、丙三人選一個(gè)加到前排，有3種，第二步，前排3人形成了4個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有4種，第三步，后排4人形成了5個(gè)空，任選一個(gè)空加一人有5種，此時(shí)形成6個(gè)空，任選一個(gè)空加一人，有6種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有3456360種方法1求解有限制條件排列問題的主要方法2解決有限制條件排列問題的策略1根據(jù)特殊元素位置優(yōu)先安排進(jìn)行分步，即先安

11、排特殊元素或特殊位置2根據(jù)特殊元素當(dāng)選數(shù)量或特殊位置由誰來占進(jìn)行分類提醒：1分類要全，以免遺漏2插空時(shí)要數(shù)清插空的個(gè)數(shù)，捆綁時(shí)要注意捆綁后元素的個(gè)數(shù)及要注意相鄰元素的排列數(shù)3用間接法求解時(shí)，事件的反面數(shù)情況要準(zhǔn)確1一排12個(gè)座位坐了4個(gè)小組的成員，每個(gè)小組有3人，若每個(gè)小組的成員全坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為AAeqoal3,3Aeqoal4,43BAeqoal3,34Aeqoal4,4fAoal12,12,Aoal3,3fAoal12,12,Aoal4,4答案B解析12個(gè)座位坐了4個(gè)小組的成員，每個(gè)小組有3人，操作如下：先分別把第1,2,3,4小組的3個(gè)人安排坐在一起，各有Aeqoal3,3

12、種不同的坐法，再把這4個(gè)小組進(jìn)行全排列，有Aeqoal4,4種不同的排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，每個(gè)小組的成員全坐在一起共有Aeqoal3,34Aeqoal4,4種不同的坐法22022青島模擬在高三某班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能連續(xù)出場，且女生甲不能排第一個(gè)，那么出場的順序的排法種數(shù)為_答案60解析2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N1Aeqoal3,3Aeqoal2,472種，女生甲排第一個(gè)且2位男生不能連續(xù)出場的排法共有N2Aeqoal2,2Aeqoal2,312種，所以出場順序的排法種數(shù)為NN1N260題型eqavs4al二組合問題1將12

13、個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)桶中，要求每個(gè)桶中放入球的數(shù)量不得少于該桶的編號(hào)，則分配方案有A10種B12種C14種D16種答案A解析解法一：根據(jù)題意，先在編號(hào)為2,3,4的3個(gè)桶中分別放入1,2,3個(gè)小球，編號(hào)為1的桶里不放球，再將剩下的6個(gè)小球放入四個(gè)桶里，每個(gè)桶里至少一個(gè)，將6個(gè)球排成一排，中間有5個(gè)空，插入3塊擋板分為四堆放入四個(gè)桶中即可，共Ceqoal3,510種方法解法二：先在編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)桶中分別放入與編號(hào)相同的球數(shù)，剩余2個(gè)球，把2個(gè)球放入同一個(gè)桶中有4種方法，2個(gè)球放入不同的桶中有Ceqoal2,46種方法，所以分配方案有4610種2在AOB的OA

14、邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)均除O點(diǎn)外，連同O點(diǎn)共mn1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形的個(gè)數(shù)為ACeqoal1,m1Ceqoal2,nCeqoal1,n1Ceqoal2,mBCeqoal1,mCeqoal2,nCeqoal1,nCeqoal2,mCCeqoal1,mCeqoal2,nCeqoal1,nCeqoal2,mCeqoal1,mCeqoal1,nDCeqoal1,mCeqoal2,nCeqoal2,m1Ceqoal1,m答案C解析作出的三角形可以分成兩類，一類是含有O點(diǎn)的，另一類是不含O點(diǎn)的含有O點(diǎn)的，則在OA，OB上各取1個(gè)點(diǎn)，共有Ceqoal1,mCeqoa

15、l1,n個(gè)；不含有O點(diǎn)的，則在OA上取一點(diǎn)，OB上取兩點(diǎn)，或者在OA上取兩點(diǎn)，OB上取一點(diǎn)，共有Ceqoal1,mCeqoal2,nCeqoal1,nCeqoal2,m個(gè)所以可作的三角形個(gè)數(shù)為Ceqoal1,mCeqoal2,nCeqoal1,nCeqoal2,mCeqoal1,mCeqoal1,n，故選C3從一架鋼琴挑出的10個(gè)音鍵中，分別選擇3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，10個(gè)鍵同時(shí)按下，可發(fā)出和聲，若有一個(gè)音鍵不同，則發(fā)出不同的和聲，則這樣的不同的和聲數(shù)為_用數(shù)字作答答案968解析依題意共有8類不同的和聲，當(dāng)有3,4,5,6,7,8,9,10個(gè)鍵同時(shí)按下時(shí)，有Ceqoal,10種不同的和聲，則和聲總

16、數(shù)為Ceqoal3,10Ceqoal4,10Ceqoal5,10Ceqoal10,10210Ceqoal0,10Ceqoal1,10Ceqoal2,101024110459681組合問題的常見題型及解題思路1常見題型：一般有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題等2解題思路：分清問題是否為組合問題；對較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”，一般是先整體分類，然后局部分步，將復(fù)雜問題通過兩個(gè)原理化歸為簡單問題見舉例說明22兩類帶有附加條件的組合問題的解法1“含有”或“不含有”某些元素的題型：若“含有”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含有”，則先將這些元素剔除，再從

17、剩下的元素中去選取2“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題目要重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，用間接法求解見舉例說明31若從1,2,3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同取法的種數(shù)是A60B63 C65D66答案D解析因?yàn)?,2,3，9中共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使取出的4個(gè)不同的數(shù)的和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，故有Ceqoal4,5Ceqoal4,4Ceqoal2,5Ceqoal2,466種不同的取法22022豫南九校聯(lián)考某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、

18、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有A72種B36種C24種D18種答案B解析2名內(nèi)科醫(yī)生，每村一名，有2種方法；3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有：則分1名外科醫(yī)生、2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生、1名護(hù)士，若甲村有1名外科醫(yī)生、2名護(hù)士，則有Ceqoal1,3Ceqoal2,39種，其余的分到乙村；若甲村有2名外科醫(yī)生、1名護(hù)士，則有Ceqoal2,3Ceqoal1,39種，其余的分到乙村；則總的分配方案有29936種題型eqavs4al三排列組合的綜合應(yīng)用角度1排

19、列組合的簡單應(yīng)用11某學(xué)校需從3名男生和2名女生中選出4人，分派到甲、乙、丙三地參加義工活動(dòng)，其中甲地需要選派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要選派1人，則不同的選派方法的種數(shù)是A18B24 C36D4222022開封模擬某班主任準(zhǔn)備請2022屆畢業(yè)生做報(bào)告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少一人參加，若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言中間需恰隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有_種用數(shù)字作答答案1D21080解析1由題設(shè)可分兩類：一類是甲地有1名女生，先考慮甲地，有Ceqoal1,2Ceqoal1,3種選法，再考慮乙、丙兩地，有Aeqoal2,3種選法，共有Ceqoal1,2Ceqoa

20、l1,3Aeqoal2,336種選法；另一類是甲地有2名女生，則甲地有Ceqoal2,2種選法，乙、丙兩地有Aeqoal2,3種選法，共有Ceqoal2,2Aeqoal2,36種選法由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選派方法共有36642種，應(yīng)選D2若甲、乙同時(shí)參加，有Ceqoal2,2Ceqoal2,6Ceqoal1,2Aeqoal2,2Aeqoal2,2120種，若甲、乙有一人參與，有Ceqoal1,2Ceqoal3,6Aeqoal4,4960種，從而總共的發(fā)言順序有1080種角度2分組分配問題21將6名同學(xué)平均分成三組，每組兩人，則不同的分組方法的種數(shù)為A60B30 C15D102在第二屆烏

21、鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中，為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了方便接待，現(xiàn)將其中的五個(gè)參會(huì)國的人員安排酒店住宿，這五個(gè)參會(huì)國要在a，b，c三家酒店選擇一家，且這三家都至少有一個(gè)參會(huì)國入住，則這樣的安排方法共有A96種B124種C130種D150種答案1C2D解析1平均分成三組的方法種數(shù)為eqfCoal2,6Coal2,4Coal2,2,Aoal3,3152五個(gè)參會(huì)國要在a，b，c三家酒店選擇一家，且這三家都至少有一個(gè)參會(huì)國入住，可以把5個(gè)參會(huì)國分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2當(dāng)按照1、1、3來分時(shí)，共有Ceqoal3,5Aeqoal3,360種；當(dāng)按照1、2、2來分時(shí)，共有eqfCoal2,5Coal2,3,Aoal2,2Aeqoal3,390種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有6090150種，故選D1解決簡單的排列與組合綜合問題的思路1根據(jù)附加條件將要完成事件先分類2對每一類型取出符合要求的元素組合，