深度思維訓(xùn)練討論題20a一階微分方程

1、 PAGE 5品味數(shù)學(xué)（觀察、發(fā)現(xiàn)，試探，整理，品味），提高思維討論題121、求方程的通解解 將方程變形分離變量，得兩邊積分，得2、求解定解問(wèn)題：解 分離變量，得兩邊積分，得，即由，得3、求的通解解 將方程變形，令，則，即分離變量，得兩邊積分，得，即4、求的通解解 將方程變形，令，則，即兩邊積分，得，即5、求滿足的通解解 將方程變形則 再由，得6、求方程的通解解 將方程變形從而7、設(shè)可導(dǎo)，且，求解 原方程兩邊乘上，再作定積分的換元法，則有方程兩邊再對(duì)求導(dǎo)，得，解得8、求解貝努利方程解 將方程變形從而，9、解微分方程解 將方程變形，（或繼續(xù)變形）令，得，得從而10、求解方程解 令，從而，得，從而

2、通解為11、求的通解解 ，12、求解初值問(wèn)題解 設(shè)，則，代入得兩端積分得，由，得再積分得，由，得13、求方程的通解解 令，則，再令，得，即解得，即積分得？14、求一曲線，使得由曲線上任意一點(diǎn)的切線、兩坐標(biāo)軸和過(guò)切點(diǎn)平行于縱坐標(biāo)的直線圍成的梯形面積等于常數(shù)解 設(shè)所求曲線為，切點(diǎn)處的切線為令，得切線在軸上的截距為。又過(guò)切點(diǎn)平行于縱坐標(biāo)的直線與軸的交點(diǎn)為，由已知，即解得15、在空氣中自由落下的、初始質(zhì)量為克的雨點(diǎn)均勻地蒸發(fā)著，設(shè)每秒蒸發(fā)克，空氣阻力和雨點(diǎn)速度成正比，如果開(kāi)始時(shí)雨點(diǎn)速度為零。試求雨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間的關(guān)系。解 在任意時(shí)間，雨點(diǎn)質(zhì)量為，雨點(diǎn)所受到的力為，從而有方程變形為，解為由，得16、某

3、車(chē)間的體積為10800立方米，開(kāi)始時(shí)空氣中含有0.12%的二氧化碳，為了保證工人的健康，用一臺(tái)風(fēng)量為1500立方米每秒的鼓風(fēng)機(jī)向車(chē)間里鼓入含有0.04%的二氧化碳的新空氣，同時(shí)以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出。問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)10秒后，車(chē)間內(nèi)所含有的二氧化碳百分比降低到多少？解 用微元法列方程。設(shè)時(shí)刻車(chē)間內(nèi)含二氧化碳的百分比為，在內(nèi)，二氧化碳百分比的改變量為。因車(chē)間內(nèi)二氧化碳的改變量為進(jìn)入量與排出量之差，故，即解得，進(jìn)而所求特解為當(dāng)時(shí)，可得。故鼓風(fēng)機(jī)開(kāi)動(dòng)10秒后，車(chē)間內(nèi)所含有的二氧化碳百分比降低到0.06%。17、某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開(kāi)減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下?，F(xiàn)有質(zhì)量為9000千克的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700千米每小時(shí)。經(jīng)測(cè)試，減速傘打開(kāi)后飛機(jī)所收的阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為）。問(wèn)從著陸算起，飛機(jī)滑行的距離是多少你？解 由題設(shè)，設(shè)時(shí)刻飛機(jī)滑行距離為，速度為。則由牛頓第二定律解法一 解得千米