人教版A版高中數(shù)學(xué)選修3-4直積課件

1、直 積直 積一、外直積 定義2.4.1 設(shè) 是群， 構(gòu)造集合 與 的 卡氏積 并在 中定義乘法運(yùn)算: 則 關(guān)于上述定義的乘法構(gòu)成群， 稱為群 與 的 外直積 (external direct product)， 記作 一、外直積 定義2.4.1 設(shè) 注 (1)如果 分別是群 和 的單位元， 則 是 的單位元。 (2) 設(shè) ， 則 ， (3) 當(dāng) 和 都是加群時， 與 的外直積也 可記作 注 (1)如果 分別是群 和 的單位元， 定理2.4.1 設(shè) 是群 與 的外直積，則 (1) 是有限群的充分必要條件是 與 都是 有限群。 并且， 當(dāng) 是有限群時， 有 (2) 是交換群的充分必要條件是 與 都

2、是 交換群; (3) 定理2.4.1 設(shè) 證 (1) 由卡氏積的性質(zhì)知， 這是顯然的， (2) 如果 與 都是交換群， 則對任意的 ， ， 有 所以 是交換群。 反之， 如果 是交換群， 那么對任意的 有 證 (1) 由卡氏積的性質(zhì)知， 這是顯然的， 即 故所以 ， 都是交換群。 (3) 構(gòu)造映射 則 是一一對應(yīng)， 且 即 故所以 ， 都是交換群。 (3因此， 是 到 的同構(gòu)映射， 即 例1 設(shè) 分別是3階和5階的 循環(huán)群， 則 是一個15階的循環(huán)群。 證 首先， 由定理2.4.1(1)和(2)知， 是一個15階的交換群。設(shè) 因此， 是 到 的同構(gòu)映射， 即 是 的單位元。則 所以 ， 都不等

3、于 ， 可知 ， 由拉格朗日定理知， 。 即 是15階循 環(huán)群。 是 的單位元。則 所以 ， 都不等于 例2 ， 這里 證 對于4階群 中的任意元 ， 有 因此， 中沒有4階元素， 故 不是循環(huán)群。 而4階群必同構(gòu)于循環(huán)群或 ， 于是 。 事實(shí)上， 到 的任意一個將零元(0，0)映到(1) 的一一對應(yīng)都是一個群同構(gòu)。 例2 ， 定理2.4.2 設(shè) 是群， 和 分別是 和 中 的有限階元素。則對于 ， 有 證 設(shè) 則 (2.4.1) 從而 的階有限， 設(shè)其為 ， 則我們要證明 。 由(2.4.1)， 我們得 。 又因為 定理2.4.2 設(shè) 是群， 所以于是 且 ， 從而 是 和 的公倍數(shù)。 而

4、是 和 的最小公倍數(shù)， 因此 。 結(jié) 合以上討論得 。 例3 我們來確定 中5階元素的個數(shù)。 由定理2.4.2， 我們就是要確定 中滿足 的元素 的個數(shù)。顯然 這就要求:或者 且 或5; 或者 所以于是 且 ， 從而 是 和 的公倍數(shù)。 而且 。 我們分情況來討論。(1) 此時 有4種選擇(即: 3， 6， 9，12)， 也有4種選擇，從而共有16個5階元。(2) 此時 仍有4種選擇， 而 只有一種選擇， 故共有4個5階元。(3) 此時 只有一種選擇， 而 有4種選擇， 故也有4個5階元。 于是， 共有24個5階元。且 。 我們分情況來討論。(1) 此時 有4種 定理2.4.3 設(shè) 和 分別是

5、 階及 階的循環(huán) 群。 則 是循環(huán)群的充要條件是 。 證 設(shè) ， 假設(shè) 是循環(huán)群。 若 。 則由于 而 和 的階都是 ， 因此 和 是循環(huán)群 中的兩個不同 的 階子群。 而這與第一章定理1.5.5的推論2相矛盾， 所以 。 定理2.4.3 設(shè) 和 分別是 反之， 假設(shè) ， 則 所以 是 的生成元， 因此 是循環(huán)群。 反之， 假設(shè) ， 則 所以 是 二、內(nèi)直積 定義2.4.2 設(shè) 和 是群 的正規(guī)子群。 如果 群 滿足條件: 則稱 是 和 的內(nèi)直積(it internal direct product)。 二、內(nèi)直積 定義2.4.2 設(shè) 和 是群 定理2.4.4 設(shè) 和 是 的子群。 則 是 和

6、 的內(nèi)直積的充分必要條件是 滿足如下兩個條件: (1) 中每個元可惟一地表為 的形式， 其中 (2) 中任意元與 中任意元可交換， 即: 對任 意 ， ， 有 。 證 如果 是 和 的內(nèi)直積， 則 。 所 以， 中每個元 都可表為 的形式， 其中 定理2.4.4 設(shè) 和 是 的子群 ， 。 如果 則 ， 從而 。 因此 ， ， 即條件(1)成立。 對任意的 ， ，考慮 ， 則由于 ， 故 又由于 ， 。 如果 則 故 。 所以 ， 即 。 于是條件(2)成立。反之， 若 是 的子群， 且條件(1)和(2)成立。 則 。又對任意的 ， ，其中 ， ， 則由條件(2)， ，所以 故 。 所以 ，

7、即 。 于是 。 同理可得 。 對任意的 ， 有 而由條件(1)， 表為 的形式是惟一的， 故得 ， 即 從而 是 和 的內(nèi)直積。 于是 。 同理可得 。 對任意的 例4 設(shè) 。 則容 易驗證: 是 的子群。 令 則 和 是 的正規(guī)子群。 顯然 ， 且對 ，有所以由定義知 是 和 的內(nèi)直積。 例4 設(shè) 例5 將 自然地看作 的子群， 設(shè) 則 是 的正規(guī)子群。 顯然， 。 因此 從而 。 但是由于 不是 的正規(guī)子群， 因此 不是 和 的內(nèi)直積。 例5 將 自然地看作 的子群， 設(shè) 則 是 定理2.4.5 如果群 是正規(guī)子群 和 的內(nèi)直 積， 則 ; 反之， 如果群 ， 則存在。 的正規(guī)子群 和

8、， 且 與 同構(gòu)( =1，2)， 使得 是 與 的內(nèi)直積。 證 如果群 是正規(guī)子群 和 的內(nèi)直積。 定義 映射 定理2.4.5 如果群 是正規(guī)子群 則由于 ， 故 是滿射。 又由定理2.4.4知 中 元表為 形式時表法惟一， 故 是單射。 又對任意的 由于 中的元與 中的元可交換， 故 所以， 是同構(gòu)映射， 從而 如果 ， 令 則由于 ， 故 是滿射。 又由定理2.4.4知 則容易驗證 都是 的子群， 且對任意的 這一表法是惟一的。 且對任意的 ， ， 有 所以由定理2.4.4知 是 與 的內(nèi)直積。 而 則容易驗證 都是 的子群， 且對任意的 這一表法是以及 分別為 到 和 到 的同構(gòu)映射。 以及 分別為 到 和 到 的同構(gòu)映射。 三、多個群的直積 定義2.4.3 設(shè) 是有限多個群。 構(gòu)造 并在 中定義運(yùn)算: 則 關(guān)于上述運(yùn)算構(gòu)成群， 稱為群 的外 直積。三、多個群的直積 定義2.4.3 設(shè) 定義2.4.4 設(shè) 是群 的有限多個 正