【八年級數(shù)學(xué)講義】線段的垂直平分線與角的平分線 -學(xué)生

1、青 藍(lán) 教 育 學(xué) 科 學(xué) 生 講 義講義編號： 副校長/組長簽字： 簽字日期： 學(xué)員編號 ： 年 級 ： 課 時(shí) 數(shù) ：2課程類型： 輔 導(dǎo) 科 目 ：數(shù)學(xué) 學(xué) 科 教 師 ： 王夢珠課程主題 線段的垂直平分線與角的平分線 課 型 預(yù)習(xí)課 同步課 復(fù)習(xí)課 習(xí)題課課 次1授課日期及時(shí)段 2016年 月 日 ：00 ：00 p.m.教 學(xué) 目 的1.掌握線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線和角平分線2.會(huì)證明三角形的三條中垂線必交于一點(diǎn).掌握三角形的外心性質(zhì)定理.重 難 點(diǎn)線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的理解與應(yīng)用，利用尺規(guī)作已知線段

2、的垂直平分線和角平分線教 學(xué) 內(nèi) 容 要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1.定義 經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線2.線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)； （2）作直線CD，CD即為所求直線要點(diǎn)詮釋：(1)作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線

3、段相等的常用方法之一同時(shí)也給出了引輔助線的方法，“線段垂直平分線，常向兩端把線連”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心外心. 要點(diǎn)詮釋:1.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)（三線

4、共點(diǎn)），該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.2.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合. 3.外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出“已知，求作，作法和畫圖”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過程一般不用寫出來.最后要點(diǎn)題即“xxx即為所求”.角平分線要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.要點(diǎn)詮釋：用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PEAD于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，則PE

5、PF.要點(diǎn)二、角的平分線的判定 角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：用符號語言表示角的平分線的判定：若PEAD于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F，PEPF，則PD平分ADB要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.要點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形

6、的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如圖所示：ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到ABC三邊所在直線距離相等. 類型一、線段的垂直平分線定理1.如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的AB的長為半徑畫孤，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD若ADC的周長為10，AB=7，則ABC的周長為（）A、7B、14 C、17D、20舉一反三：【變式】閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明已知：線段AB，要作線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以A、B為圓心，大于 AB的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C、D； （2）作直線CD直線CD

7、即為所求作的線段AB的垂直平分線根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明已知：如圖，連接AC、BC、AD、BD，AC=AD=_=_求證：CDAB，CD平分AB證明：2. 如圖，已知線段AB，分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C、Q，連接CQ與AB相交于點(diǎn)D，連接AC，BC那么：（1）ADC=_度；（2）當(dāng)線段AB=4，ACB=60時(shí)，ACD=30度，ABC的面積等于_（面積單位）舉一反三：如圖，在ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求BEC的周長要點(diǎn)二、線段的垂直平分線的逆定理3.已知，如圖，在ABC中，BDAC于點(diǎn)D，點(diǎn)M、N分別是A

8、B、BC邊的中點(diǎn)求證：直線MN是線段BD的垂直平分線4.在ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若BAC=110，則EAG=_.要點(diǎn)四、尺規(guī)作圖5.如圖，每個(gè)格的單位長度是1，ABC的外心坐標(biāo)是 (_). 類型二、線段的角平分線定理1如圖，ACB90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延長線交BC的延長線于F. 求證：AECF.2、如圖, ABC中, C 90, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 則DEB的周長為( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不對（例2） （舉一反三）舉

9、一反三：已知：如圖，AD是ABC的角平分線，且，則ABD與ACD的面積之比為（ ） A3：2 B C2：3 D. 3、如圖，OC是AOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PDOA交于點(diǎn)D，PEOB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是OC上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連接DF、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論類型二、角的平分線的判定4、已知，如圖，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求證：AF為BAC的平分線.舉一反三：如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn)，BECF求證：AD是ABC的角平分線.一選擇題1.如圖，在RtACB中，C=90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D若AC=9，則A

10、E的值是（） A、6B、4 C、6D、42.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA=5，則線段PB的長度為（）A、6B、5 C、4D、3（2） （3） （4） （5）3.如圖，直線CP是AB的中垂線且交AB于P，其中AP=2CP甲、乙兩人想在AB上取兩點(diǎn)D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求；（乙）作AC、BC之中垂線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確（）A、兩人都正確B、兩人都錯(cuò)誤 C、甲正確，乙錯(cuò)誤 D、甲錯(cuò)誤，乙正確4.如圖，在RtA

11、BC中，C=90，B=30AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不正確的是（）A、AE=BEB、AC=BE C、CE=DED、CAE=B5.如圖，AC=AD，BC=BD，則有（）A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB與CD互相垂直平分D、CD平分ACB6.在三角形內(nèi)部，有一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P一定是 （ ）A、三角形三條角平分線的交點(diǎn) B、三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)；C、三角形三條中線的交點(diǎn)； D、三角形三條高的交點(diǎn).二填空題7如圖，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，A=30，AB的垂直平分線交AC于D，則CBD的度數(shù)為_（7） （8） （

12、9） （10）如圖，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3則CE長為_如圖，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30，ACB=80，則BCE=度如圖，AB=AC，BAC=120，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，那么ADC=_度11.如圖:已知,在ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則ADE的周長等于 （11） （12）12.如圖，ABC的周長為19cm，AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，AE=3cm，則ABD的周長為_cm三解答題： 13.如圖，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分

13、別交于點(diǎn)G，H，ABE=CBE（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；（2）求證：BG2-GE2=EA214.已知，如圖，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交AB于點(diǎn)E，且CD=AC，DFBC，分別與AB、AC交于點(diǎn)G、F（1）求證：GE=GF； （2）若BD=1，求DF的長15.如圖，已知AB=AC，A=36，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)M，有下面4個(gè)結(jié)論：BD是ABC的角平分線；BCD是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD（1）判斷其中正確的結(jié)論是哪幾個(gè)？（2）從你認(rèn)為是正確的結(jié)論中選一個(gè)加以證明【課后強(qiáng)化練習(xí)】一.選擇題1. AD是AB

14、C的角平分線, 自D點(diǎn)向AB、AC兩邊作垂線, 垂足為E、F, 那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.DE DFB. AE AF C.BD CD D. ADE ADF2如圖，在RtABC中，C90，BD是ABC的平分線，交AC于D，若CD，AB，則ABD的面積是（ ）A B CD2(2) (3) (5) (6)如圖，平分于點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 44. 到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是（ ）A.三角形三條高線的交點(diǎn) B.三角形三條中線的交點(diǎn)C三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)D.三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)5. 如圖，下列條件中不能確定點(diǎn)O在APB的平分線上

15、的是（ ） APBAPDC B. AODCOB C. ABPD，DCPB D.點(diǎn)O到APB兩邊的距離相等.6. 已知，如圖，ABCD，BAC、ACD的平分線交于點(diǎn)O，OEAC于E，且OE5，則直線AB與CD的距離為（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20二.填空題7如圖，已知C90，AD平分BAC，BD2CD，若點(diǎn)D到AB的距離等于5，則BC的長為_(7) (8) (9) (10)8. 如圖，在ABC中，C90，DEAB，12，且AC6，那么線段BE是ABC的 ，AEDE。9. 已知：如圖，在ABC中，BD、CE分別平分ABC、ACB，且BD、CE交于點(diǎn)O，過O作OPBC于P，OMAB于M，ONAC于N，則OP、OM、ON的大小關(guān)系為_10.如圖,直線、表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,可供選擇的地址有 處.11已知：如圖，在RtABC中，C90，沿著過點(diǎn)B的一條直線BE折疊ABC，使C點(diǎn)恰好落在AB邊的中點(diǎn)D處，則A的度數(shù)等于_ (11) (12)12.已知如圖點(diǎn)D是ABC的