工科數(shù)學分析期末復習提綱不定積分

1、 不定積分小結一、不定積分基本公式13ax5cosx7cotxdx9cscx11csc213dxx15dxa217dxa21920 二、兩個重要的遞推公式（由分部積分法可得）1則易得Dn：n為奇數(shù)時，可遞推至 n為偶數(shù)時，可遞推至D2則易得In可遞推至（這是有理函數(shù)分解后一種形式的積分的求法，大家可以回顧課本恢復記憶）三、普遍方法(一)換元積分法：第一類換元積分法(湊微分法)這類方法需要敏銳的觀察力，即觀察出某個函數(shù)的導數(shù)，這就要求我們熟悉常見函數(shù)的導數(shù)。首先我們來看一下最常見的一類有理函數(shù)的例子例注意到分母根號下為二次配方可以得到解決。x=-=-例與例1類似，我們有：x=例dx=接下來舉幾個

2、我們可能不太熟悉的例子，不容易湊成微分。例=例至此可以用湊微分法了例注意到第二類換元積分法（1）利用三角函數(shù)進行代換：sintan換元時必須要注意變量的范圍，保證范圍的等價性（通過例題體會）例如以下兩個基本積分公式ax例利用tan2x+1=sec2x，t函數(shù)的正負，所以這一點在涉及到開根號的三角函數(shù)表達式時尤為重要。則至此，cos4tdtcos令一種解法：cos利用倍角公式可以解出。（2）倒代換，經(jīng)常用在分母多項式次數(shù)較高的情況下例(二)分部積分法d應用選取這兩者是很關鍵的，選取不當，將使積分愈化愈繁d例=e=e則：這個函數(shù)就有多種拆分方法輪換，應注意。一般P求得原函數(shù)，其中Pmx表示例 (三

3、)特殊函數(shù)積分法1、有理函數(shù)的不定積分參考教材171頁有關有理函數(shù)分解定理的說明，比較繁瑣，但要掌握。關鍵在于將有理函數(shù)分解為要求的形式，并會解決分解后的各種函數(shù)的積分，其實我們可以將其歸結為兩種形式：1當當2對于分子，我們可以將其湊為易求得，第二部分利用第一頁的遞推公式：I則易得In可遞推至以下幾例用于練習有理式的分解和計算：例例例2、三角函數(shù)有理式的積分常用技巧：（1）湊微分例若m和n都是偶數(shù)，利用sin2x+若m或n為奇數(shù)，則拆開一個湊成微分，然后再化為同名函數(shù)，之后再利用（二、）中的遞推公式。例利用已經(jīng)解得的補充一點tan這就得到了tannxdx的遞推公式，事實上還可以將其看作sinmx cosnxdx的特殊形式 (2)倍角公式、積化和差例(3)分項技巧例至此第一項可以繼續(xù)分項或者利用倍角公式，第二項可以直接套用（二、）中的遞推公式或者利用分部積分求解，實際上遞推公式也是由分部積分法得到的。例1至此可以直接套用基本積分表了。()例=（此題較為復雜，大家需要認真看）（4）配湊法例 假設， 則 得到（1） 得到 （2） 由（1）與（2）解得： （5）萬能公式：(1)tanx=2注意正負號的判斷例：=3、簡單無理函數(shù)的積分（ 例（配方，再用三角變換化為三角有理式的積分或直接利用積分公式計算。