拉格朗日乘數(shù)法在消費(fèi)者均衡原則中應(yīng)用

1、拉格朗日乘數(shù)法在花銷者均衡原則中的應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法在花銷者均衡原則中的應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法在花銷者均衡原則中的應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法在花銷者均衡原則中的應(yīng)用在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時(shí)，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時(shí)，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。詳盡方法以下:拉格朗日乘數(shù)法：設(shè)給定二元函數(shù)和附加條件(x,y)=0，為搜尋在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=?(x,y)+(x,y)，其中為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即x(x,y)=x(x,y)+x(x,y)=0，y(x,y)=y(x,y)+y(x,y)=0，(x,y

2、)=0由上述方程組解出x，y及，這樣求得的(x,y)，就是函數(shù)在附加條件(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究花銷者行為時(shí)，所要闡述的核心問題是花銷者均衡的原則。所謂花銷者均衡指的是一個(gè)有理性的花銷者所采用的均衡購買行為。進(jìn)一步說，它是指保證花銷者實(shí)現(xiàn)功能最大化的均衡購買行為。但人的需要或欲望是無量的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)所說的功能最大化只能是一種有限制的功能最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價(jià)格和花銷者的錢幣收入水平。第一，我們先引入一些名詞講解:總功能(TU):花銷者在一準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)花銷必然數(shù)量某種商品或商品組合所獲取的總的滿足。邊緣功能(MU):花銷者在全部其他

3、商品的花銷水平保持不變時(shí)，增加花銷一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總功能的增加。商品數(shù)量(Q)，商品價(jià)格(P),收入(I)邊緣功能的公式表達(dá)為TU/?Q那么如何才能實(shí)現(xiàn)在限制條件下功能最大化的商品組合呢？就是當(dāng)花銷者把全部收入用于購買各種商品時(shí)，他從所購買的每一種商品所獲取的邊緣功能與其價(jià)格的比率都同樣，這樣的商品組合就是最正確的或均衡的商品組合。假設(shè)當(dāng)花銷者選擇兩種商品x,y時(shí)，花銷者均衡原則的公式表達(dá)為:MUx?MUyxPy限制條件的公式表達(dá)式為:I=Px。那么這一結(jié)論是如何推導(dǎo)出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。設(shè)功能函數(shù)U(Q

4、x,Qy),為使它在限制條件下獲取極值，第一建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+(I-Px，為參數(shù)。求L(x,y)對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。即?L/Px=0?Qy-Py=0I-Px將方程除以方程，得:?Px即MUx?MUyPyPXPy所以，花銷者要實(shí)現(xiàn)兩種商品的功能最大化，邊緣功能的比率應(yīng)該等于價(jià)格比率。以上是關(guān)于x和y兩種商品所說的，可否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。若是花銷者在n種商品中做出選擇，則花銷者均衡的原則可表達(dá)為:MU1?MU2?MU3?MUnP1P2P3Pn這一結(jié)論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。拉格朗日乘數(shù)法可實(shí)行到求n元函數(shù)?(x1,x2,

5、xn)在m個(gè)附加條件(x1,x2,xn)下的條件極值。方法以下:m做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,xn)=,xn)+ii(x1,x2);i=1求L(x1,xn)關(guān)于x1,xn的偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即mxi=xi+ii=0,i=1,2,ni=1k(x1,x2,xn)=0,k=1,2,n求解此方程組，可獲取極值點(diǎn)?，F(xiàn)在回到我們的問題中，設(shè)功能函數(shù)U(Qx1,Qx2,Qxn),為使它在限制條件下獲取極值,第一建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx1,Qx2,Qxn)+(I-Px1-Pxn，為參數(shù)。求L(x1,x2,xn)對(duì)x1,xn的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立。即（）?L/（2）?L/（n）I-Px1將方程到(n)相除，即得，MUx1?MUx2?MUxnx1Px2n所以，花銷者