防洪物質(zhì)調(diào)運(yùn)問題交通流最終版

1、PAGE PAGE 22交通流問題孫東方（數(shù)學(xué)院）高上起（信息院）李一山（資安院）摘要問題一的題設(shè)給出了很好的一個(gè)研究線索。受此啟發(fā)，本文在單行道，無超車等基本假設(shè)的基礎(chǔ)上定義了交通流基本參數(shù)（具體見基本假設(shè)和符號(hào)說明），建立了車流的基本關(guān)系，導(dǎo)出了車輛守恒方程，進(jìn)而建立了包含車輛跟隨模型的交通流模型。利用這個(gè)模型對(duì)問題一至問題六進(jìn)行了求解。接著對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的分析，分別研究了模型中密度波傳播的問題以及非連續(xù)交通流的問題，并利用得出的結(jié)論解決了問題七至問題十。最后對(duì)模型的不足和可能的推廣作了簡單闡述。在第一個(gè)問題中，本文采用了數(shù)值擬合得出測(cè)量某時(shí)刻車流密度的最佳區(qū)間長度2r?？紤]到公路很長

2、，r不大時(shí)可以認(rèn)為所建的模型是連續(xù)的，為后續(xù)問題的討論奠定了基礎(chǔ)。第二、三個(gè)問題我們分別選取了一個(gè)物理模型（交通流模型中的子模型）求出了結(jié)果。第四問先推導(dǎo)出車流速度與密度的關(guān)系，再用MATLAB非線性擬合進(jìn)行擬合，得到了描述車流速度與密度、流量與密度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可以很好的與觀測(cè)數(shù)據(jù)相符。后面幾問是在前四問的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的。在對(duì)模型做了進(jìn)一步假設(shè)后，建立了車流的基本關(guān)系，導(dǎo)出了車輛守恒方程，進(jìn)而建立了包含車輛跟隨模型的交通流模型。利用這個(gè)模型對(duì)問題一至問題六進(jìn)行了求解。接著對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的分析，分別研究了模型中密度波傳播的問題以及非連續(xù)交通流的問題，求解過程中，我們得到了車流恒定方程、車輛

3、跟隨方程、車流速度與密度的關(guān)系以及紅綠燈時(shí)車流速度，密度變化規(guī)律，對(duì)交通中紅綠燈的時(shí)間設(shè)置及管理提供了一定的依據(jù)。文章最后對(duì)模型的不足和可能的推廣作了簡單闡述。關(guān)鍵詞：交通流模型 密度波 密度波傳播 非連續(xù)交通流目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc174471483 1.問題重述 PAGEREF _Toc174471483 h 3 HYPERLINK l _Toc174471484 2.基本假設(shè) PAGEREF _Toc174471484 h 3 HYPERLINK l _Toc174471485 3.符號(hào)說明 PAGEREF _Toc174471485 h

4、4 HYPERLINK l _Toc174471486 4.問題一：測(cè)量區(qū)間的選取 PAGEREF _Toc174471486 h 4 HYPERLINK l _Toc174471487 5.問題二：證明N(t)的變化率滿足一個(gè)重要關(guān)系 PAGEREF _Toc174471487 h 8 HYPERLINK l _Toc174471488 6.問題三：給出兩輛車的車速和距離估計(jì)值 PAGEREF _Toc174471488 h 8 HYPERLINK l _Toc174471489 7.問題四：據(jù)數(shù)據(jù)給出速度-密度關(guān)系模型 PAGEREF _Toc174471489 h 10 HYPERLIN

5、K l _Toc174471490 8.問題五：證明=-(du/d)*(du/dx) PAGEREF _Toc174471490 h 12 HYPERLINK l _Toc174471491 9.問題六：帶有反應(yīng)時(shí)間T的線性車輛跟隨模型分析 PAGEREF _Toc174471491 h 15 HYPERLINK l _Toc174471492 10.問題七：計(jì)算密度波傳播速度并且證明其小于汽車的速度 PAGEREF _Toc174471492 h 16 HYPERLINK l _Toc174471493 11.問題八：兩小時(shí)后會(huì)不會(huì)有=m/2 PAGEREF _Toc174471493 h

6、17 HYPERLINK l _Toc174471494 12.問題九：交通燈由紅變綠后的車流密度 PAGEREF _Toc174471494 h 19 HYPERLINK l _Toc174471495 13.問題十的分析求解 PAGEREF _Toc174471495 h 20 HYPERLINK l _Toc174471496 14.模型的評(píng)價(jià)與推廣 PAGEREF _Toc174471496 h 21 HYPERLINK l _Toc174471497 15.參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc174471497 h 21 HYPERLINK l _Toc174471498 16.附錄

7、PAGEREF _Toc174471498 h 21 HYPERLINK l _Toc174471499 (一)問題一的程序代碼： PAGEREF _Toc174471499 h 21 HYPERLINK l _Toc174471500 (二)問題四的程序代碼： PAGEREF _Toc174471500 h 22問題重述問題背景：隨著現(xiàn)代化發(fā)展的程度不斷深入,人口和交通工具的不斷增多,世界各國都面臨交通問題.而在當(dāng)今的信息化社會(huì)里,效率就是時(shí)間,時(shí)間就是財(cái)富.而隨著人們擁有汽車的數(shù)量不斷地增長,優(yōu)化交通管理成為亟需 解決的突出問題之一.要求對(duì)以下問題進(jìn)行研究：在給出的初步模型（在單車道的區(qū)間

8、0，100上有45輛汽車，在并給出了每輛車的位置坐標(biāo)）討論分析如何選取測(cè)量區(qū)間來定義在x=50處的車輛密度。證明動(dòng)態(tài)研究路段的車流量變化率滿足的一個(gè)重要關(guān)系在兩個(gè)固定觀測(cè)站條件下，求通過的兩輛車的車速和距離的估計(jì)值。利用所觀測(cè)得到的速度密度關(guān)系的數(shù)據(jù)給出速度-密度關(guān)系模型，并畫出它們的流量密度曲線，并確定這條隧道的容量。設(shè)u=u(),如果表示每輛汽車的加速度，證明=-(du/d)*(du/dx),其中負(fù)號(hào)是否有道理？試對(duì)帶有反應(yīng)時(shí)間T的線性車輛跟隨模型進(jìn)行分析。設(shè)u()=um(-/m)。如果車流密度處處在0附近，試計(jì)算其密度波的傳播速度并且證明這個(gè)速度要小于汽車的速度。結(jié)果表明林肯隧道的資料適

9、合于模型q()=am-。假設(shè)初始密度將在區(qū)間-x0,0內(nèi)從m線性地減為0.問兩小時(shí)后會(huì)不會(huì)有=/2?設(shè)u=um(1-p2/pm2).試給出公路上交通燈由紅變綠后的車流密度。如果交通燈由紅燈變成綠燈，試給出這個(gè)信息的傳播速度?；炯僭O(shè)在高速公路上各種類型的機(jī)動(dòng)車一輛接著一輛的飛駛而過，就象在江河中奔騰的水流一樣，一股車流沿著公路滾滾向前。因此它啟發(fā)我們把車流看成連續(xù)的流體，利用物理上處理液體動(dòng)力的思想來分析和討論交通流的有關(guān)問題。于是我們可以作出以下假設(shè)：假設(shè)車輛沿著一條無窮長的單車道，沿著單一方向運(yùn)動(dòng)，并設(shè)其為x軸。公路沿途沒有岔路口及其它入口或出口。即關(guān)于車輛守恒的假設(shè)：在一個(gè)路段上除了從端

10、點(diǎn)駛往和駛出的的車輛處，不會(huì)在其中出現(xiàn)或消失其它的車輛。單車道內(nèi)不允許超車。汽車速度僅僅依賴于車流速度。如果路上車輛很少時(shí)，汽車將以其可能的最大速度行駛。在一定的密度下（擁護(hù)以致發(fā)生堵塞時(shí)）汽車將停止不動(dòng)。密度和流量是連續(xù)的（甚至于連續(xù)可微）。速度僅僅是密度的函數(shù)。符號(hào)說明單位距離的公路上的車輛數(shù)，即車輛密度r車輛密度單位區(qū)間的半徑X設(shè)公路為x 軸，車輛沿x 軸的正向運(yùn)動(dòng)。一輛車的位置表示為x(t),它是時(shí)間t的函數(shù)。于是速度為dx(t)/dt,加速度為q流量某時(shí)刻通過固定點(diǎn)的車速度q道路的車流量N某時(shí)刻某區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)T因駕駛?cè)说膭?dòng)作反應(yīng)時(shí)間引起的加速度的延遲靈敏系數(shù)問題一：測(cè)量區(qū)間的選取我

11、們?cè)O(shè)區(qū)間半徑為r 。公路在x=50處車輛的密度可以表示為以半徑為r區(qū)間50r,50+r上的車輛數(shù)量N除以區(qū)間的長度2r。即： （1） 由于給出的車輛數(shù)N對(duì)于位置的函數(shù)是離散的。所以如果r非常小，車輛實(shí)際上就由于偏大而不能正確的反映x=50這點(diǎn)的車輛密度。為研究r的取值與車輛密度的關(guān)系，用MATLAB6.0軟件繪制出r圖像如圖表1所示。圖表 SEQ 圖表 * ARABIC 1：區(qū)間r的選取與密度的關(guān)系圖（測(cè)量區(qū)間變化較大）由圖表1可知，剛開始密度變化很快，有一定的突變，隨著r取值增大，的取值趨于平穩(wěn)。但從另一個(gè)角度來說，車輛密度是描述一段道路中某一位置（本題中為x=50）的特征量，而公式區(qū)（1）

12、中N為該位置為中點(diǎn)的區(qū)間上的車輛數(shù)。所以區(qū)間取的越大就越不能反映其中心位置的特征。由于我們?nèi)〉臏y(cè)量區(qū)間變化較快，所以我們也可以看一下區(qū)間變化較小的情況，下面我們也給出其圖表2。圖表 2：區(qū)間r的選取與密度的關(guān)系圖（測(cè)量區(qū)間變化較大）由圖表1，2我們認(rèn)為r取為20是合理的，即測(cè)量區(qū)間為30，70，在此測(cè)量區(qū)間以后車輛密度就會(huì)趨于穩(wěn)定，大概為0.45。下面我們可以進(jìn)一步研究不同點(diǎn)的密度與測(cè)量區(qū)間的關(guān)系，還是利用原來編寫的matlab程序，再稍做改變就可以得到圖表3。圖表 3：區(qū)間r的選取與密度的關(guān)系圖（取不同的點(diǎn)）由圖表3可以看出，取不同的測(cè)試點(diǎn)，開始的密度也是變化很快，最后的密度都會(huì)趨于穩(wěn)定，而

13、且基本上和測(cè)試點(diǎn)x50是相同的，當(dāng)然這里我們要去除邊界上的點(diǎn)，因?yàn)檫吔琰c(diǎn)的區(qū)間不好取，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。問題二：證明N(t)的變化率滿足一個(gè)重要關(guān)系如下圖圖（1）表示在公路上有兩個(gè)觀測(cè)站，一個(gè)固定在x=a，另一個(gè)是移動(dòng)的x=b(t)。N(t)表示公路上區(qū)間a,b(t)內(nèi)的車輛數(shù)圖（1）a (a (t) b(t) b(t+t)我們知道，流量q(x,t)=u(x,t)(x,t)及車輛數(shù)N=q(x,t)t所以，在t時(shí)間內(nèi)，有t輛車從a段進(jìn)入?yún)^(qū)間，有t輛車從b段開出區(qū)間，另外， 由于觀測(cè)點(diǎn)x=b(t) 是移動(dòng)的，所以相當(dāng)于又有(b,t) x輛車進(jìn)入?yún)^(qū)間（其中）。于是，變化的總車輛為t-t+(b,t)

14、x所以dNdt=即：dNdt=-(b,t)u(b,t)-db/dt+(a,t)u(a,t)問題三：給出兩輛車的車速和距離估計(jì)值從題目中可以知道兩個(gè)觀測(cè)站的位置是固定的，現(xiàn)在給出了兩個(gè)觀測(cè)站對(duì)a，b兩輛汽車通過觀測(cè)站的時(shí)刻，分別為ta1，ta2，tb1，tb2，為了方便計(jì)算，我們可以假設(shè)它們的時(shí)間有關(guān)系有ta1ta2tb1 0時(shí)，車輛守恒方程特征線滿足dx/dt=dq/d，又注意到車流關(guān)系q()= ()易知（x，0）=0,因此眼所有這些現(xiàn)有=0。則因此，在t=0時(shí)，通過點(diǎn)x。的特征線由給出，于是，在x0 時(shí)，當(dāng)時(shí)間t x/um時(shí)，一直沒有車輛在行駛。當(dāng)x0) 和我們?cè)倭顇0=0,得到，第一輛車追

15、上前面的車流的時(shí)的位置=Um(t-),最后一輛車開始運(yùn)動(dòng)的位置=mUm(m) (t-)，代入題目給出的速度公式u=um(1-p2/pm2) 可以解出： 我們得到。問題十的分析求解在第九題的分析基礎(chǔ)上，我們易得到x=Um(t-)即信息傳遞速度為Um模型的評(píng)價(jià)與推廣該模型只研究單行道上的機(jī)動(dòng)車交通流的問題。而實(shí)際狀況下的道路多數(shù)不是單行道，且多為雙行道。道路存在分岔，彎道；道路上又存在著車輛流，行人流，自行車流（這在我國尤其典型）分流，交匯的復(fù)雜問題。這顯然不是單單依靠本模型可以解決的。而該模型除解決本題外也有其他的應(yīng)用價(jià)值，例如在研究隧道交通流問題時(shí)可以運(yùn)用本模型推導(dǎo)出隧道內(nèi)車流的最佳車流密度，

16、管理人員可以根據(jù)實(shí)際情況的不同隨時(shí)對(duì)進(jìn)入隧道的車流量進(jìn)行控制。該模型也可以運(yùn)用在生產(chǎn)線的管理上。參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)模型（第三版） HYPERLINK /search/power_search/power_search.asp?key1=%BD%AA%C6%F4%D4%B4+%D0%BB%BD%F0%D0%C7+%D2%B6%BF%A1 t _blank 姜啟源 謝金星 葉俊 同作者作品 高等教育出版社附錄問題一的程序代碼：hold off;clear;r=1:50;position=1.0,3.1,6.1,9.4,12.7,14.1,15.2,16.9,18.9, 20.1,21.5,23.5,25

17、.8,28.9,31.3,34.8,37.0,40.1, 43.4,44.9,46.4,47.9,49.6,51.6,53.3,54.8,56.6, 58.3,59.6,60.6,61.9,62.9,63.7,65.0,66.6,69.8, 72.1,76.3,78.8,81.6,84.2,87.7,90.8,95.1,99.3;m,n=size(r);for k=45:50 for i=1:n num=0; for j=1:45 if abs(position(j)-k)=r(i) num=num+1; end end midu(i)=num/2/r(i); end subplot(4,1,

18、4) plot(r,midu); hold on;endxlabel(r);ylabel(midu);title(密度與測(cè)量區(qū)間的關(guān)系);問題四的程序代碼：syms x;t=34 44 53 60 74 82 88 94 94 96 103 112 108 129 132 139 160 165;y=32 28 25 23 20 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6;m,n=size(t);myfunc=inline(beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./t),beta,t); beta=nlinfit(t,y,myfunc,1 1 1 1);for i=1:n s=t(i);y1(i)=beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./s);endbetaplot(t,y,*,t,y1,r);y1=beta(1)+beta(2)*(log(beta(3)+log(beta(4)*(1./x);xlabel(密度);ylabel(速度);syms x;t=34 44 53 60 74 82 88 94 94 96 1