建模練習(xí)題及解答

1、07 信息學(xué)院應(yīng)數(shù)建模小隊(duì) 宋夢(mèng)奇，徐培，范文亮。 (注明:我們小組共做了三道題，1，2，4. 其中第4題用手寫(xiě)的方式遞交到徐老師您的信箱里了。) 一、問(wèn)題分析: 這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)是在一定的時(shí)間內(nèi)，廣告公司花費(fèi)的電視廣告費(fèi)最少，設(shè)廣告公司為汽車銷售公司購(gòu)買兩種類型的電視廣告，分別為x1和x2，要做的決策是購(gòu)買計(jì)劃，足球賽中插播廣告時(shí)間為x1，電視系列劇中插播廣告時(shí)間為x2，決策受到四個(gè)條件的限制:高收入的男性公民看到這個(gè)廣告的數(shù)量、一般公民看到這個(gè)廣告的數(shù)量、高收入的女性公民看到這個(gè)廣告的數(shù)量、以及廣告公司最多花費(fèi)60萬(wàn)的電視廣告費(fèi)。按照題目所給，將決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件用數(shù)學(xué)符號(hào)及式

2、子表示出來(lái)，就可得到下面的模型。 二、 模型假設(shè): 為了處理方便，考慮連續(xù)模型，根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)做出如下假設(shè): 決策變量:設(shè)足球賽中插播廣告時(shí)間為x1，電視系列劇中插播廣告時(shí)間為x2。 三、模型建立: 本模型需要的是廣告公司花費(fèi)的電視廣告費(fèi)最少，建立以下關(guān)系: 目標(biāo)函數(shù):Z=10 x1+6x2 約束條件: (1)看到這個(gè)廣告的高收入的男性公民數(shù)量至少有40萬(wàn)，即7x1+3x2=40; (2)看到這個(gè)廣告的一般公民數(shù)量至少是60萬(wàn)，即10 x1+5x2=60; (3)看到這個(gè)廣告的高收入的女性公民數(shù)量至少35萬(wàn)，即5x1+4x2=35; (4)廣告公司最多花費(fèi)60萬(wàn)的電視廣告費(fèi)，即10 x1+6x2

3、=0,x2=0. 綜上可得 min z=10 x1+6x2 st 7x1+3x2=40 10 x1+5x2=60 5x1+4x2=35 10 x1+6x2=40 10 x1+5x2=60 5x1+4x2=35 end 運(yùn)行結(jié)果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 63.33333 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.333333 0.000000 X2 3.333333 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.333333 0.00000

4、0 3) 0.000000 -0.666667 4) 0.000000 -0.666667 NO. ITERATIONS= 2 運(yùn)行結(jié)果中z=63.3333360，所以該方案不合理。 尋找到以下B,C,D三個(gè)相對(duì)較符合題意的方案: B程序 min 10 x1+6x2 st 7x1+3x240 10 x1+6x2=35 10 x1+6x2=40 10 x1+5x2=60 10 x1+6x2=60 end 運(yùn)行結(jié)果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 60.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

5、X1 6.000000 0.000000 X2 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.000000 4) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 五，模型計(jì)算與分析 與B,C結(jié)果比較可知， D方案相對(duì)最符合本問(wèn)題要求。具體數(shù)據(jù)分析如下: B方案中z=57.14286。 此時(shí) X1=5.714286，X2=0.000000 ，即 在足球賽中插播廣告5.714286分鐘，不在系列劇中插播。此時(shí)三個(gè)目標(biāo)只能實(shí)現(xiàn)第一個(gè)，即有四十萬(wàn)高收入

6、男性公民看到這個(gè)廣告。至于第二個(gè)目標(biāo)，僅有57.14286萬(wàn)，與與汽車銷售公司提出的目標(biāo)有60萬(wàn)一般收入的公民看到這個(gè)廣告相差2.85714萬(wàn)。至于第三個(gè)目標(biāo)，僅有28.5714萬(wàn)高收入女性看到這個(gè)廣告，與汽車銷售公司提出的目標(biāo)35萬(wàn)高收入女性有6.4286萬(wàn)的差距。 C方案中，z= 52.50000。此時(shí) X1= 0.000000 X2=8.750000 ，即在足球賽中不插播，在系列劇中插播8.75分鐘。此時(shí)實(shí)現(xiàn)了第三個(gè)目標(biāo) ，即有至少35萬(wàn)高收入女性公民可以看到這個(gè)廣告。此時(shí)總的廣告花費(fèi)最少。此時(shí)對(duì)于第一個(gè)目標(biāo)，僅有26.25萬(wàn)，與汽車銷售公司提出的目標(biāo)四十萬(wàn)高收入男性公民看到這個(gè)廣告，有

7、13.75萬(wàn)的差距，差距較大。對(duì)于第二個(gè)目標(biāo)，僅有43.75萬(wàn)，與與汽車銷售公司提出的目標(biāo)有60萬(wàn)一般收入的公民看到這個(gè)廣告相差16.25萬(wàn)。 D方案中z=60.00000 ， X1=6.000000 ， X2=0.000000，即在足球賽中插播6分鐘，不在系列劇中插播。此時(shí)實(shí)現(xiàn)了第一、二這兩個(gè)目標(biāo)。即此時(shí)至少有四十萬(wàn)(有42萬(wàn))高收入男性公民看到這個(gè)廣告，至少有60萬(wàn)一般收入的公民看到這個(gè)廣告。至于第三個(gè)目標(biāo)，有30萬(wàn)高收入女性看到這個(gè)廣告，與汽車銷售公司提出的目標(biāo)35萬(wàn)高收入女性有5萬(wàn)的差距。 六、模型修改 本問(wèn)題至此，事實(shí)上已改變了目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化成為求通過(guò)與實(shí)際結(jié)合，應(yīng)在不賠錢(qián)的情況下盡

8、量最大滿足汽車銷售公司的三個(gè)目標(biāo)。即希望廣告公司最后的決策與汽車公司目標(biāo)差距最小。 min z= 40- 7x1-3x2+60-10 x1-5x2+35-5x1-4x2 st 10 x1+6x2=60 輸入 min -22x1-12x2 st 10 x1+6x2=60 得到運(yùn)行結(jié)果 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) -132.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 0.000000 1.200000 ROW SLACK OR SURPLUS DU

9、AL PRICES 2) 0.000000 2.200000 NO. ITERATIONS= 1 七、模型修改后分析 即是min z=3，此時(shí)最優(yōu)，x1=6，x2=0。即在足球賽中插播6分鐘，不在系列劇中插播。此時(shí)實(shí)現(xiàn)了第一、二這兩個(gè)目標(biāo)。即此時(shí)至少有四十萬(wàn)(有42萬(wàn))高收入男性公民看到這個(gè)廣告，至少有60萬(wàn)一般收入的公民看到這個(gè)廣告。至于第三個(gè)目標(biāo)，有30萬(wàn)高收入女性看到這個(gè)廣告，與汽車銷售公司提出的目標(biāo)35萬(wàn)高收入女性有5萬(wàn)的差距。此結(jié)果與解法一中得到的結(jié)果一致。該解法再次驗(yàn)證了本模型建立的優(yōu)越性。 模型不足:只是粗略地比較了收看廣告的人數(shù)，而沒(méi)有比較具體人群的購(gòu)買率。 在網(wǎng)上查的男女購(gòu)買

10、汽車的比例。顯然，男性購(gòu)車比女性概率要大得多。 A1車主性別, 討論一下A1的購(gòu)買人員性別構(gòu)成 最后一個(gè)選項(xiàng) 一定要指出姓名 1. 48 男 2. 10 女 問(wèn)題摘要: 隨著社會(huì)的發(fā)展，建筑業(yè)日益興起，每天世界各地都有工地在進(jìn)行建設(shè)，建設(shè)需要原料，但原料需從料場(chǎng)運(yùn)送到工地，所以其運(yùn)送費(fèi)用就成了人們關(guān)心的問(wèn)題，本文主要討論解決了某公司臨時(shí)料場(chǎng)的供應(yīng)計(jì)劃與最佳選址問(wèn)題，為使總噸公里數(shù)最小，在已知各地間道路連通的情況下，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型。 關(guān)鍵字: 線性規(guī)劃、噸公里數(shù)、供應(yīng)計(jì)劃、選址方案 一、模型假設(shè): 1、 運(yùn)輸途中車速保持不變 2、 料場(chǎng)供應(yīng)量應(yīng)與工廠日用量到達(dá)平衡。 3、 改建前后工廠用料量與

11、以前相同。 二、符號(hào)說(shuō)明 i:第i個(gè)料場(chǎng)，i=1，2 j:第j個(gè)建筑工地，j=1，2，3，4，5，6 dj:工廠日用水泥量 Cij:第i個(gè)臨時(shí)料場(chǎng)到第j個(gè)工地水泥運(yùn)輸量 rij:料場(chǎng)i到工地j的距離 ei:料場(chǎng)i的日儲(chǔ)量 三、模型建立與求解 (1)為使總噸公里數(shù)最小，即 決策變量:(料場(chǎng)j到工地i的運(yùn)量) cij26221/2線形規(guī)劃模型:min()()cxayb,，, ,ijjijiji,112stcdi.,1,.,6,ijij,1 6cej,1,2,ijji,11 2 3 4 5 6 i 用例中數(shù)據(jù)計(jì)算，最優(yōu)解為: 3 5 0 7 0 1 c(料場(chǎng)A) 0 0 4 0 6 10 c(料場(chǎng)B

12、) 總噸公里數(shù)為136.2 (2)決策變量:， ,y，xcjijj26221/2min()()cxayb,，,非線性規(guī)劃模型: ,ijjijiji,112cdi,1,.,6 s.t. ,ijij,16cej,1,2 ,ijj,i1在lingo軟件中實(shí)現(xiàn): 程序: model: title location problem; sets: demand/1.6/:a,b,d; supply/1.2/:x,y,e; links(demand,supply):c; endsets data: a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25; b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.7

13、5; d=3,5,4,7,6,11; e=20,20; enddata init: x,y=5,1,2,7; endinit min=sum(links(i,j):c(i,j)*(x(j)-a(i)2+(y(j)-b(i)2)(1/2); for(demand(i):DEMABND_CONSUM(supply(j):c(i,j)=d(i);); for(supply(i):SUPPLY_CONSUM(demand(j):c(j,i)=e(i);); for(supply:free(X);free(Y);); End 運(yùn)行結(jié)果: Local optimal solution found. Obj

14、ective value: 85.26604 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 68 Model Title: location problem Variable Value Reduced Cost A( 1) 1.250000 0.000000 A( 2) 8.750000 0.000000 A( 3) 0.5000000 0.000000 A( 4) 5.750000 0.000000 A( 5) 3.000000 0.000000 A( 6) 7.250000 0.000000 B( 1) 1.250000 0.000

15、000 B( 2) 0.7500000 0.000000 B( 3) 4.750000 0.000000 B( 4) 5.000000 0.000000 B( 5) 6.500000 0.000000 B( 6) 7.750000 0.000000 D( 1) 3.000000 0.000000 D( 2) 5.000000 0.000000 D( 3) 4.000000 0.000000 D( 4) 7.000000 0.000000 D( 5) 6.000000 0.000000 D( 6) 11.00000 0.000000 X( 1) 3.254883 0.000000 X( 2) 7

16、.250000 -0.1853513E-05 Y( 1) 5.652332 0.000000 Y( 2) 7.750000 -0.1114154E-05 E( 1) 20.00000 0.000000 E( 2) 20.00000 0.000000 C( 1, 1) 3.000000 0.000000 C( 1, 2) 0.000000 4.008540 C( 2, 1) 0.000000 0.2051358 C( 2, 2) 5.000000 0.000000 C( 3, 1) 4.000000 0.000000 C( 3, 2) 0.000000 4.487750 C( 4, 1) 7.0

17、00000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.5535090 C( 5, 1) 6.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 3.544853 C( 6, 1) 0.000000 4.512336 C( 6, 2) 11.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 85.26604 -1.000000 DEMABND_CON( 1) 0.000000 -4.837363 DEMABND_CON( 2) 0.000000 -7.158911 DEMABND_CON( 3) 0.000000 -

18、2.898893 DEMABND_CON( 4) 0.000000 -2.578982 DEMABND_CON( 5) 0.000000 -0.8851584 DEMABND_CON( 6) 0.000000 0.000000 SUPPLY_CON( 1) 0.000000 0.000000 SUPPLY_CON( 2) 4.000000 0.000000 四、模型結(jié)果分析 本文運(yùn)用了線性和非線性規(guī)劃模型，并運(yùn)用lingo軟件求解，得到最優(yōu)方案，總噸公里數(shù)最小。題目中給出兩個(gè)料場(chǎng)到六個(gè)工廠的路線的聯(lián)通性及距離，總噸公里數(shù)為噸數(shù)與單位公里數(shù)之積。思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)單易懂，但也有不足。不足之處約束條件太少，選址問(wèn)題和料場(chǎng)供應(yīng)關(guān)系相對(duì)模糊，關(guān)系并不緊密。 4.在石油的生產(chǎn)地和加工廠，為了儲(chǔ)存原油，經(jīng)常使用大量的儲(chǔ)油罐。油罐的外形為一個(gè)圓柱體和兩個(gè)圓錐體的組合，上端有一注油孔(見(jiàn)圖)由于經(jīng)常注油和取油，有時(shí)很難知道油罐中剩油的數(shù)量。這給現(xiàn)有儲(chǔ)油量的統(tǒng)計(jì)帶來(lái)很大的麻煩。顯然，將剩油取出計(jì)量是不現(xiàn)實(shí)的。因此，希望能設(shè)計(jì)一個(gè)精細(xì)的標(biāo)尺:工人只需將該尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據(jù)標(biāo)尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。這是一個(gè)來(lái)自油田的問(wèn)題。 模型分析:建模的關(guān)鍵在于分析油量深度(記為h)