專題：與圓有關(guān)的最值問題

1、與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例 1：在坐標(biāo)系中， 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (3 ，0) ，點(diǎn) B 為 y 軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn) C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且 AC=2設(shè)tan BOC=m，則 m的取值范圍是 _引例 2：如圖，在邊長(zhǎng)為1 的等邊 OAB中，以邊 AB為直徑作 D，以 O為圓心 OA長(zhǎng)為半徑作 O， C 為半圓弧 ?A、B 兩點(diǎn)重合），射線 AC交 O于點(diǎn) ，a ，求的最大值A(chǔ)C=bab.EBC=引例 3：如圖， BAC=60，半徑長(zhǎng)為1 的圓 O與 BAC的兩邊相切， P 為圓 O上一動(dòng)點(diǎn)，以P 為圓心， PA長(zhǎng)為半徑的圓 P 交射線 AB、AC于 D、E 兩點(diǎn)，連接 DE，則線段 D

2、E長(zhǎng)度的最大值為 ().A 3B 6C 3 3D 3 3y2BCOOAxC一、題目分析：ADB此題是一個(gè)圓中的動(dòng)點(diǎn)問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識(shí)的銜接1 引例 1：通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動(dòng)點(diǎn) C 與兩個(gè)定點(diǎn) O、 A 構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置（相切）進(jìn)行線段、角度有關(guān)計(jì)算，同時(shí)對(duì)三角函數(shù)值的變化（增減性）進(jìn)行了延伸考查，其實(shí)質(zhì)是高中“ 直線斜率 ”的直接運(yùn)用；2引例 2：通過圓的基本性質(zhì)，尋找動(dòng)點(diǎn)C 與兩個(gè)定點(diǎn) A、B 構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是高中“柯西不等式 ”的直接運(yùn)用；3

3、 引例 3：本例動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)由引例1、引例 2 中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，增加為三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從性質(zhì)運(yùn)用、構(gòu)圖形式、動(dòng)點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度， 解答中還是注意動(dòng)點(diǎn)D、E 與一個(gè)定點(diǎn) A 構(gòu)成三角形的不變條件 （ DAE=60），構(gòu)造弦 DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑 AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是高中“正弦定理 ”的直接運(yùn)用；綜合比較、 回顧這三個(gè)問題， 知識(shí)本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對(duì)其真正的幾何原理卻無法通透.二、解題策略1直觀感覺，畫出圖形；2特殊位置，比較結(jié)果；理性分析動(dòng)點(diǎn)過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找

4、動(dòng)量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化 .三、中考展望與題型訓(xùn)練例一、斜率運(yùn)用如圖， A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2 ， 1），以 A 為圓心的 A 切 x 軸于點(diǎn) B， P(a，b) 為 A 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)分別探索： b a 的最大值； ba 的最小值； ba 的最大值； ba 的最大值；yyyPPPAAABOxBOxBOx【拓展延伸】： b2a 的范圍； b2a 的范圍；例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1如圖，在Rt ABC中， ACB=90， AC=4，BC=3，點(diǎn) D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為 BD的中點(diǎn)，在D 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是.ADMCB2如圖，

5、O的直徑為 4，C 為 O上一個(gè)定點(diǎn)， ABC=30， 動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧?AB向 B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P 與點(diǎn) C 在直徑 AB的異側(cè) ) ，當(dāng) P 點(diǎn)到達(dá) B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C 作 CP的垂線 CD交 PB 的延長(zhǎng)線于 D 點(diǎn)（ 1）在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過程中，線段CD長(zhǎng)度的取值范圍為；D（ 2）在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過程中，線段AD長(zhǎng)度的最大值為.CAOB例三、正弦定理P1如圖， ABC 中， BAC=60， ABC=45， AB=2， D是線段 BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作O 分2別交 AB， AC于 E， F 兩點(diǎn)，連接 EF，則線段 EF 長(zhǎng)度的最小值為如圖，定長(zhǎng)弦

6、 CD在以 AB為直徑的 O上滑動(dòng)（點(diǎn) C、 D與點(diǎn) A、 B 不重合）， M是 CD的中點(diǎn)，過點(diǎn) C 作 CP AB于點(diǎn) P，若 CD=3， AB=8，則 PM長(zhǎng)度的最大值是例四、柯西不等式、配方法1如圖，已知半徑為 2 的O 與直線 l 相切于點(diǎn) A，點(diǎn) P 是直徑 AB 左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P 作直線 l 的垂線，垂足為 C，PC與O交于點(diǎn) D，連接 PA、PB，設(shè) PC的長(zhǎng)為 x（ 2 x4），則當(dāng) x=時(shí)， PD?CD的值最大，且最大值是為.2如圖， 線段 AB=4，C 為線段 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 以 AC、BC為邊作等邊 ACD和等邊 BCE， O外接于 CDE，則 O半徑的最小

7、值為 ( ).B.23C.32D. 2E32DOACB3在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心， 2 為半徑畫 O， P 是 O上一動(dòng)點(diǎn)，且P 在第一象限內(nèi)，過點(diǎn) P 作 O的切線與 x 軸相交于點(diǎn)A，與 y 軸相交于點(diǎn)B，線段 AB 長(zhǎng)度的最小值是.例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1如圖，在Rt ABC中， C=90， AC=6，BC=8， D為 AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作 CD的垂線交直線BC于點(diǎn) E，則線段 CE長(zhǎng)度的最小值是.ADCOE B2如圖， RtABC 中， C=90， A=30， AB=4，以 AC上的一點(diǎn)O為圓心 OA為半徑作 O，若 O與邊 BC始終有交點(diǎn)（包括

8、B、 C兩點(diǎn)），則線段 AO的取值范圍是.AOCB3如圖，射線PQ射線 MN，PM MN，A 為 PM的中點(diǎn)， O為射線 PQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC AB 交 MN于點(diǎn) C，當(dāng)以O(shè)為圓心，以 OB為半徑的圓與線段PM有公共點(diǎn)時(shí) （包括 P、 M兩點(diǎn)），則線段 OP長(zhǎng)度的最小值為.POQAM BN例五、其他幾何知識(shí)的運(yùn)用如圖所示， ACAB，AB=6，AC=4，點(diǎn) D 是以 AB 為直徑的半圓O上一動(dòng)點(diǎn)， DE CD交直線 AB于點(diǎn) E，設(shè) DAB= ，（090）若要使點(diǎn)E 在線段OA上（包括O、 A兩 點(diǎn) ）， 則 tan的取值范圍為.【題型訓(xùn)練】1如圖，已知直線長(zhǎng)線交直線 l 于點(diǎn)圍為.與 O相

9、離， OA l C，若在 O上存在點(diǎn)于點(diǎn) A， OA=5， OA與 O相交于點(diǎn)P， AB 與 O相切于點(diǎn)B， BP的延Q，使 QAC是以 AC為底邊的等腰三角形，則O的半徑 r 的取值范CCGDBEOFABA2已知：如圖，RtABC中， B=90o， A=30o， BC=6cm，點(diǎn) O從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒3 cm 的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了 t 秒 (t 0) 時(shí)，以 O點(diǎn)為圓心的圓與邊 AC相切于點(diǎn) D，與邊 AB相交于 E、 F 兩點(diǎn)，過 E 作 EG DE交射線 BC于 G.（ 1）若點(diǎn) G在線段 BC上，則 t 的取值范圍是；（ 2）若點(diǎn) G在線段 BC的延長(zhǎng)線上，則t

10、 的取值范圍是.3如圖， M， N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距 MN=10cmP 為 M上的任意一點(diǎn)， Q為 N 上的任意一點(diǎn)，直線 PQ與連心線 l 所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng) P、 Q在兩圓上任意運(yùn)動(dòng)時(shí)， tan的最大值為 ( ).64(C)33(A)(B)(D)4P1233QADPMNlOBC4如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4， O 為矩形 ABCD的中心，以 D 為圓心 1 為半徑作 D，P 為 D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AP、 OP，則 AOP面積的最大值為 ( ).(A)4(B)2135175(C)(D)845如圖，在 Rt ABC中， C=90， AC=8，BC=6，經(jīng)過

11、點(diǎn) C 且與邊 AB相切 的動(dòng)圓與 CA、 CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則線段 PQ長(zhǎng)度的最小值是 ().A 19B 24C 5D 42456如圖， 在等腰 Rt ABC中，C=90， AC=BC=4，D 是 AB 的中點(diǎn)， 點(diǎn) E在 AB邊上運(yùn)動(dòng) （點(diǎn) E 不與點(diǎn) A 重合），過 A、D、 E 三點(diǎn)作 O， O交 AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，線段 EF 長(zhǎng)度的最小值為CPQADB7如圖， A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 DA與 y 軸交于點(diǎn)A2B1AFEOBDC(2 ， 0) 、(0 ， 2) ， C 的圓心的坐標(biāo)為 (-1， 0) ，半徑為1，若 D是C上的E，則 ABE面積

12、的最小值是 ().C.2D.22228如圖，已知 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2 ，0) 、(0 ，1) ，C 的圓心坐標(biāo)為 (0 ，-1)，半徑為 1，D 是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AD與 y 軸交于點(diǎn) E，則 ABE 面積的最大值是 ().A 3B 11C 10D 4339如圖，等腰 Rt ABC中， ACB=90， AC=BC=4， C 的半徑為1，點(diǎn) P 在斜邊 AB上， PQ切 O于點(diǎn) Q，則切線長(zhǎng) PQ長(zhǎng)度的最小值為 ().A. 7B.22C. 310如圖 BAC60，半徑長(zhǎng) 1 的 O與 BAC的兩邊相切， P 為 O上一動(dòng)點(diǎn)，以P 為圓心， PA 長(zhǎng)為半徑的 P 交射線 AB、AC于 D、E 兩點(diǎn)，連接 DE，則線段 DE長(zhǎng)度的范圍為.APyPQOAxCB11在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（ 3， 0），點(diǎn) P（ m， n ）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2，則 mn 的范圍為.12在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（ 3，0），點(diǎn) B 是 y 軸右側(cè)一點(diǎn)，且AB=2，點(diǎn) C 上直線 y=x+1 上一動(dòng)點(diǎn)，且CB AB于點(diǎn) B，則 tanACBm