數(shù)學(xué)必修ⅰ北師大版函數(shù)的奇偶性與周期性課件解讀

1、1第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 1第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 2三年12考 高考指數(shù):1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性2三年12考 高考指數(shù):31.函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用是高考的重要考向；2.常與函數(shù)的圖像、單調(diào)性、對稱性、零點(diǎn)等綜合命題;3.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目.31.函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用是高考的重要考向；41.函數(shù)奇偶性的定義(1)圖像定義：f(x)為奇函數(shù)圖像關(guān)于_對稱；f(x)為偶函數(shù)圖像關(guān)于_對稱；(2)符號定義：對于函數(shù)f(x)的定義

2、域內(nèi)的任意一個(gè)xf(x)為偶函數(shù)_;f(x)為奇函數(shù)_.原點(diǎn)y軸f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)41.函數(shù)奇偶性的定義原點(diǎn)y軸f(-x)=f(x)f(-x)5【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：函數(shù)f(x)=x+sinx,g(x)=xsinx各自圖像有什么對稱性？提示：f(x)為奇函數(shù)，所以其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；g(x)為偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱.5【即時(shí)應(yīng)用】6(2)判斷下列六個(gè)函數(shù)是否是奇函數(shù).(請?jiān)诶ㄌ栔刑睢笆恰被颉胺瘛?y=x2-|x| ( )y=sin3x ( )y=x+ ( )y=3x-3-x ( )y=|x|cosx ( )y=x2,x(-1,1 ( )6(2)判斷下列六個(gè)函數(shù)

3、是否是奇函數(shù).(請?jiān)诶ㄌ栔刑睢笆恰被?【解析】由奇函數(shù)、偶函數(shù)的符號定義知，函數(shù),為偶函數(shù)，,為奇函數(shù),是非奇非偶函數(shù).答案：否 是 是 是 否 否7【解析】由奇函數(shù)、偶函數(shù)的符號定義知，函數(shù),為偶函數(shù)，8(3)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù)，那么a+b的值是_.【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=f(x)= +bx,又f(-x)=f(x),即又x ,b=0,故a+b= +0=答案：8(3)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上9(4)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x2,則f(x)=_.【解析】由題意知f(0)=0,當(dāng)x0,f(-x)

4、=(-x)2=x2,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2,答案：9(4)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)=10(5)若f(x)為R上的偶函數(shù)，且在0，+)上單調(diào)遞減，則f(x)在(-,0上的單調(diào)性為_.【解析】由圖像關(guān)于y軸對稱知在(-,0上為單調(diào)增函數(shù).答案：單調(diào)遞增10(5)若f(x)為R上的偶函數(shù)，且在0，+)上單調(diào)遞112.周期性(1)周期函數(shù)：常數(shù)T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則需滿足的條件：T0;f(x+T)=_對定義域內(nèi)的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_，那么這個(gè)_就稱為它的最小正周期f(x)最小的正數(shù)最小的正數(shù)11

5、2.周期性f(x)最小的正數(shù)最小的正數(shù)12【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知函數(shù)f(x),對任意xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)時(shí)，f(x)=2 012x2,則f(2 013)=_.(2)函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+1)=-f(x),則f(x)的最小正周期為_.12【即時(shí)應(yīng)用】13【解析】(1)f(x+4)=f(x),f(x)的最小正周期為4，f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012.(2)f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x).最小正周期為2.答案：(1)2 012 (2)2 13【

6、解析】(1)f(x+4)=f(x),14 判定函數(shù)的奇偶性【方法點(diǎn)睛】判定函數(shù)的奇偶性的常用方法及思路(1)符號定義法：14 判定函數(shù)的奇偶性15(2)圖像定義法：f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于y軸對稱f(x)為奇函數(shù)f(x)為偶函數(shù)15(2)圖像定義法：f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于y軸對稱f(x16(3)性質(zhì)法：用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)來判斷其和差積商函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)與奇函數(shù) 奇函數(shù)與偶函數(shù) 偶函數(shù)與偶函數(shù) 和 差奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)積 商16(3)性質(zhì)法：用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)來判斷其和差積商函數(shù)的奇17【提醒】“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立

7、的. 17【提醒】“性質(zhì)法”中的結(jié)論是在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成18【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=(x+1)(3)【解題指南】由奇偶性的符號定義，先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算f(-x)，并判斷其與f(x)的關(guān)系，從而得出函數(shù)的奇偶性.18【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：19【規(guī)范解答】(1)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù).(2)使f(x)=(x+1) 有意義，則有 0且1+x0,解得函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1,不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此函數(shù)f(x)既不是奇

8、函數(shù)，也不是偶函數(shù).19【規(guī)范解答】(1)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)20(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?-，0)(0,+)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x0，則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；當(dāng)x0時(shí),-x0時(shí)，-x0,又x0時(shí)，f(x)=2x2-x,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x),即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x.綜上,32【互動探究】在本例(1)中的條件下求f(x)在R上的解析33【反思感悟】利用函數(shù)的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值、求解析式、作圖像、判定單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值、解析式、圖像、

9、單調(diào)性問題求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想.33【反思感悟】利用函數(shù)的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值、34【變式備選】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5,5.若當(dāng)x0,5時(shí)，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)0的解集是_.34【變式備選】奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?5,5.若當(dāng)x35【解析】由奇函數(shù)圖像對稱性補(bǔ)出其在-5,0)上的圖像，由圖像知解集為(-2,0)(2,5.答案：(-2,0)(2,535【解析】由奇函數(shù)圖像對稱性補(bǔ)出其在-5,0)上的圖像，36 函數(shù)周期性的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】關(guān)于函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論(1)若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有：f(x+a)=-f(x)，則

10、函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期；f(x+a)= 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期；f(x+a)= 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期；36 函數(shù)周期性的應(yīng)用37(2)如果T是函數(shù)y=f(x)的周期，則kT(kZ,k0)也是函數(shù)y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；若已知區(qū)間m,n(m10時(shí)，|lgx|1,因此結(jié)合圖像及數(shù)據(jù)特點(diǎn)y=f(x)與y=|lgx|的圖像交點(diǎn)共有10個(gè).41(2)根據(jù)f(x)的周期性及f(x)在-1,1上的解42【反思感悟】已知周期函數(shù)在長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的解析式或圖像，則可求在其他區(qū)間上的函數(shù)值、解析式或

11、畫出其他區(qū)間上的圖像，關(guān)鍵是用好其周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.42【反思感悟】已知周期函數(shù)在長度為一個(gè)周期的區(qū)間上的解析43【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x+1)=f(1-x).當(dāng)x0,2時(shí)，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x2,4時(shí)，求f(x)的解析式;(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).43【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)44【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x

12、+2)=f(x).f(x)是周期為4的周期函數(shù).44【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),45(2)當(dāng)x-2,0時(shí)，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,當(dāng)x-2,0時(shí)，f(x)=x2+2x.又當(dāng)x2,4時(shí)，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得x2,4時(shí)，f(x)=x2-6x+8.45(2)當(dāng)x-2,0時(shí)，-x0,2，由已知得46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=

13、1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)47【變式備選】設(shè)函數(shù)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)=x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)x-4,4時(shí)，求f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的面積.47【變式備選】設(shè)函數(shù)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)，且4

14、8【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)，則f(x)是以4為周期的周期函數(shù).f()=f(-14+)=f(-4)，f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)，f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f()=-4.48【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得49(2)由f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x)得f(x+2)=f(-x)，故知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱，又x0,1時(shí)，f(x)=x，且f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(x)的圖像如圖所示49(2)由f(x)是(-,+)上的奇函數(shù)與f(x+2)50當(dāng)x-4,4時(shí)，

15、f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的面積為：S=4SOAB=4( 21)=4.50當(dāng)x-4,4時(shí)，f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的51【創(chuàng)新探究】創(chuàng)新應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與周期性【典例】(2011福建高考)對于函數(shù)f(x)=asinx+bx+c(其中,a,bR,cZ)，選取a,b,c的一組值計(jì)算f(1)和f(-1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是( )(A)4和6 (B)3和1(C)2和4 (D)1和251【創(chuàng)新探究】創(chuàng)新應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與周期性52【解題指南】解答本題需根據(jù)函數(shù)f(x)解析式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造奇函數(shù)g(x)=f(x)-c,然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)，g(-1)+g(1)=0,探究出f(-1

16、)+f(1)與c的關(guān)系，從而由cZ限定f(1)與f(-1)不可能的取值.52【解題指南】解答本題需根據(jù)函數(shù)f(x)解析式的結(jié)構(gòu)特征，53【規(guī)范解答】選D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),g(x)為定義在R上的奇函數(shù).則由奇函數(shù)的性質(zhì)，得:g(-1)+g(1)=0,即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,又cZ,f(1)+f(-1)是偶數(shù)，而選項(xiàng)中只有D中兩數(shù)和為奇數(shù)，故選D.53【規(guī)范解答】選D.令g(x)=f(x)-c=asinx+54【閱卷人點(diǎn)撥】通過對本題的深入研究，可以得到以

17、下創(chuàng)新點(diǎn)撥及備考建議:創(chuàng)新點(diǎn)撥本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)：(1)命題方式創(chuàng)新：題目雖為選擇題，但并不是直接考查而是以間接否定的形式考查.(2)考查內(nèi)容創(chuàng)新：本題通過所給函數(shù)的解析式及所求函數(shù)值，間接考查函數(shù)奇偶性的確定與應(yīng)用，較好地考查了學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用意識、探究能力和邏輯推理能力，是考查函數(shù)奇偶性與周期性的一個(gè)新的亮點(diǎn). 54【閱卷人點(diǎn)撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥55備考建議從該題的解答過程來看，我們在備考函數(shù)奇偶性與周期性時(shí)還應(yīng)注意以下問題:(1)熟練掌握函數(shù)奇偶性、周期性的有關(guān)概念及確定與應(yīng)用的方法.(2)平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)在所給的解析式或函數(shù)關(guān)系中，要能從其結(jié)構(gòu)特征探究、發(fā)現(xiàn)其隱含的奇偶性、周期性，從而利用奇偶性、周期性將問題解決.55備從該題的解答過程來看，我們在備考函數(shù)奇偶性與周期561.(2011山東高考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)0 x2時(shí),f(x)=x3-x，則函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)