數學必修ⅰ北師大版函數的奇偶性與周期性課件解讀

1、1第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性 1第三節(jié) 函數的奇偶性與周期性 2三年12考 高考指數:1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義；2.會運用函數的圖像理解和研究函數的奇偶性；3.了解函數周期性、最小正周期的含義，會判斷、應用簡單函數的周期性2三年12考 高考指數:31.函數的奇偶性、周期性的應用是高考的重要考向；2.常與函數的圖像、單調性、對稱性、零點等綜合命題;3.多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題目.31.函數的奇偶性、周期性的應用是高考的重要考向；41.函數奇偶性的定義(1)圖像定義：f(x)為奇函數圖像關于_對稱；f(x)為偶函數圖像關于_對稱；(2)符號定義：對于函數f(x)的定義

2、域內的任意一個xf(x)為偶函數_;f(x)為奇函數_.原點y軸f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)41.函數奇偶性的定義原點y軸f(-x)=f(x)f(-x)5【即時應用】(1)思考：函數f(x)=x+sinx,g(x)=xsinx各自圖像有什么對稱性？提示：f(x)為奇函數，所以其圖像關于原點對稱；g(x)為偶函數，所以其圖像關于y軸對稱.5【即時應用】6(2)判斷下列六個函數是否是奇函數.(請在括號中填“是”或“否”)y=x2-|x| ( )y=sin3x ( )y=x+ ( )y=3x-3-x ( )y=|x|cosx ( )y=x2,x(-1,1 ( )6(2)判斷下列六個函數

3、是否是奇函數.(請在括號中填“是”或7【解析】由奇函數、偶函數的符號定義知，函數,為偶函數，,為奇函數,是非奇非偶函數.答案：否 是 是 是 否 否7【解析】由奇函數、偶函數的符號定義知，函數,為偶函數，8(3)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數，那么a+b的值是_.【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=f(x)= +bx,又f(-x)=f(x),即又x ,b=0,故a+b= +0=答案：8(3)已知f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上9(4)已知f(x)為R上的奇函數，且當x0時，f(x)=x2,則f(x)=_.【解析】由題意知f(0)=0,當x0,f(-x)

4、=(-x)2=x2,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2,答案：9(4)已知f(x)為R上的奇函數，且當x0時，f(x)=10(5)若f(x)為R上的偶函數，且在0，+)上單調遞減，則f(x)在(-,0上的單調性為_.【解析】由圖像關于y軸對稱知在(-,0上為單調增函數.答案：單調遞增10(5)若f(x)為R上的偶函數，且在0，+)上單調遞112.周期性(1)周期函數：常數T為函數f(x)的一個周期，則需滿足的條件：T0;f(x+T)=_對定義域內的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_，那么這個_就稱為它的最小正周期f(x)最小的正數最小的正數11

5、2.周期性f(x)最小的正數最小的正數12【即時應用】(1)已知函數f(x),對任意xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)時，f(x)=2 012x2,則f(2 013)=_.(2)函數f(x)對于任意實數x滿足條件f(x+1)=-f(x),則f(x)的最小正周期為_.12【即時應用】13【解析】(1)f(x+4)=f(x),f(x)的最小正周期為4，f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012.(2)f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x).最小正周期為2.答案：(1)2 012 (2)2 13【

6、解析】(1)f(x+4)=f(x),14 判定函數的奇偶性【方法點睛】判定函數的奇偶性的常用方法及思路(1)符號定義法：14 判定函數的奇偶性15(2)圖像定義法：f(x)的圖象關于原點對稱關于y軸對稱f(x)為奇函數f(x)為偶函數15(2)圖像定義法：f(x)關于原點對稱關于y軸對稱f(x16(3)性質法：用奇、偶函數的性質來判斷其和差積商函數的奇偶性奇函數與奇函數 奇函數與偶函數 偶函數與偶函數 和 差奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數偶函數積 商16(3)性質法：用奇、偶函數的性質來判斷其和差積商函數的奇17【提醒】“性質法”中的結論是在兩個函數的公共定義域內才成立

7、的. 17【提醒】“性質法”中的結論是在兩個函數的公共定義域內才成18【例1】判斷下列函數的奇偶性：(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=(x+1)(3)【解題指南】由奇偶性的符號定義，先看函數的定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)，并判斷其與f(x)的關系，從而得出函數的奇偶性.18【例1】判斷下列函數的奇偶性：19【規(guī)范解答】(1)顯然函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),f(x)為奇函數.(2)使f(x)=(x+1) 有意義，則有 0且1+x0,解得函數的定義域為(-1,1,不關于原點對稱，因此函數f(x)既不是奇

8、函數，也不是偶函數.19【規(guī)范解答】(1)顯然函數f(x)的定義域為R，關于原點20(3)顯然函數f(x)的定義域為：(-，0)(0,+)，關于原點對稱，當x0，則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；當x0時,-x0時，-x0,又x0時，f(x)=2x2-x,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x),即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x.綜上,32【互動探究】在本例(1)中的條件下求f(x)在R上的解析33【反思感悟】利用函數的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數值、求解析式、作圖像、判定單調性問題轉化為已知區(qū)間上的函數值、解析式、圖像、

9、單調性問題求解，充分體現(xiàn)了數學的轉化與化歸思想.33【反思感悟】利用函數的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數值、34【變式備選】奇函數f(x)的定義域為-5,5.若當x0,5時，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)0的解集是_.34【變式備選】奇函數f(x)的定義域為-5,5.若當x35【解析】由奇函數圖像對稱性補出其在-5,0)上的圖像，由圖像知解集為(-2,0)(2,5.答案：(-2,0)(2,535【解析】由奇函數圖像對稱性補出其在-5,0)上的圖像，36 函數周期性的應用【方法點睛】關于函數周期性的幾個常用結論(1)若對于函數f(x)定義域內的任意一個x都有：f(x+a)=-f(x)，則

10、函數f(x)必為周期函數，2|a|是它的一個周期；f(x+a)= 則函數f(x)必為周期函數，2|a|是它的一個周期；f(x+a)= 則函數f(x)必為周期函數，2|a|是它的一個周期；36 函數周期性的應用37(2)如果T是函數y=f(x)的周期，則kT(kZ,k0)也是函數y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；若已知區(qū)間m,n(m10時，|lgx|1,因此結合圖像及數據特點y=f(x)與y=|lgx|的圖像交點共有10個.41(2)根據f(x)的周期性及f(x)在-1,1上的解42【反思感悟】已知周期函數在長度為一個周期的區(qū)間上的解析式或圖像，則可求在其他區(qū)間上的函數值、解析式或

11、畫出其他區(qū)間上的圖像，關鍵是用好其周期性進行轉化.42【反思感悟】已知周期函數在長度為一個周期的區(qū)間上的解析43【變式訓練】設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x+1)=f(1-x).當x0,2時，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數;(2)當x2,4時，求f(x)的解析式;(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).43【變式訓練】設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數44【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x

12、+2)=f(x).f(x)是周期為4的周期函數.44【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),45(2)當x-2,0時，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,當x-2,0時，f(x)=x2+2x.又當x2,4時，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得x2,4時，f(x)=x2-6x+8.45(2)當x-2,0時，-x0,2，由已知得46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=

13、1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)47【變式備選】設函數f(x)是(-,+)上的奇函數，且f(x+2)=-f(x)，當x0,1時，f(x)=x.(1)求f()的值；(2)當x-4,4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的面積.47【變式備選】設函數f(x)是(-,+)上的奇函數，且4

14、8【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)，則f(x)是以4為周期的周期函數.f()=f(-14+)=f(-4)，f(x)是(-,+)上的奇函數，f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f()=-4.48【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得49(2)由f(x)是(-,+)上的奇函數與f(x+2)=-f(x)得f(x+2)=f(-x)，故知函數y=f(x)的圖像關于x=1對稱，又x0,1時，f(x)=x，且f(x)的圖像關于原點對稱，則f(x)的圖像如圖所示49(2)由f(x)是(-,+)上的奇函數與f(x+2)50當x-4,4時，

15、f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的面積為：S=4SOAB=4( 21)=4.50當x-4,4時，f(x)的圖像與x軸所圍成的圖形的51【創(chuàng)新探究】創(chuàng)新應用函數的奇偶性與周期性【典例】(2011福建高考)對于函數f(x)=asinx+bx+c(其中,a,bR,cZ)，選取a,b,c的一組值計算f(1)和f(-1)，所得出的正確結果一定不可能是( )(A)4和6 (B)3和1(C)2和4 (D)1和251【創(chuàng)新探究】創(chuàng)新應用函數的奇偶性與周期性52【解題指南】解答本題需根據函數f(x)解析式的結構特征，構造奇函數g(x)=f(x)-c,然后利用奇函數的性質，g(-1)+g(1)=0,探究出f(-1

16、)+f(1)與c的關系，從而由cZ限定f(1)與f(-1)不可能的取值.52【解題指南】解答本題需根據函數f(x)解析式的結構特征，53【規(guī)范解答】選D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),g(x)為定義在R上的奇函數.則由奇函數的性質，得:g(-1)+g(1)=0,即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,又cZ,f(1)+f(-1)是偶數，而選項中只有D中兩數和為奇數，故選D.53【規(guī)范解答】選D.令g(x)=f(x)-c=asinx+54【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，可以得到以

17、下創(chuàng)新點撥及備考建議:創(chuàng)新點撥本題有以下創(chuàng)新點：(1)命題方式創(chuàng)新：題目雖為選擇題，但并不是直接考查而是以間接否定的形式考查.(2)考查內容創(chuàng)新：本題通過所給函數的解析式及所求函數值，間接考查函數奇偶性的確定與應用，較好地考查了學生的創(chuàng)新應用意識、探究能力和邏輯推理能力，是考查函數奇偶性與周期性的一個新的亮點. 54【閱卷人點撥】通過對本題的深入研究，可以得到以下創(chuàng)新點撥55備考建議從該題的解答過程來看，我們在備考函數奇偶性與周期性時還應注意以下問題:(1)熟練掌握函數奇偶性、周期性的有關概念及確定與應用的方法.(2)平時學習時在所給的解析式或函數關系中，要能從其結構特征探究、發(fā)現(xiàn)其隱含的奇偶性、周期性，從而利用奇偶性、周期性將問題解決.55備從該題的解答過程來看，我們在備考函數奇偶性與周期561.(2011山東高考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數,且當0 x2時,f(x)=x3-x，則函數y=f(x)的圖像在區(qū)間0,6上與x軸的交點個數為( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)