線線角線面角二面角的一些題目

1、文檔編碼 : CK8O5B2G2U1 HZ10Z5B3N5M8 ZN7T10N3H6G1線線角與線面角習(xí)題 新泰一中 閆輝 一,復(fù)習(xí)目標(biāo) 1.懂得異面直線所成角的概念 ,并把握求異面直線所成角的常用方法 2.懂得直線與平面所成角的概念,并把握求線面角常用方法 3.把握求角的運(yùn)算題步驟是“一作, 即“降維”的思想方法 . 二,課前預(yù)習(xí) 二證,三運(yùn)算” ,思想方法是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形 1.在空間四邊形 ABCD 中, AD=BC=2, E,F 分別為 AB,CD的中點(diǎn)且 EF= 角為 . 3 , AD, BC 所成 的 CDD 1 C2.如圖 ,在長方體 ABCD-A1B1C1D1中 , B

2、1C和 C1D與底面所成的角分別為 60 和 45 ,就異面 直線 B1C 和 C1D 所成角的余弦值為 A. 6B. 6C. 2D. 3B A 6B 4363.平面 與直線 a 所成的角為 3,就直線 a 與平面 內(nèi)全部直線所成的角的取值范 A 1 C 1 圍是 4.如圖 ,ABCD 是正方形 ,PD平面 ABCD,PD=AD PA 與 BD 所成的角的度數(shù)為 A.30 B.45 C.60 就, D.90 A 5.有一個(gè)三角尺 ABC, A=30 , C=90 ,BC 是貼于桌面當(dāng)三角尺與桌面成 45 角時(shí) ,AB 邊與桌面所成角的正弦值 上 , B 1 P D是 三,典型例題 B CA 例

3、 1.96全國 如圖 ,正方形 ABCD 所在平面與正方形 ABEF 所在平面60 角 ,求異面直線 AD 與 BF 所成角的余弦值 . CB 備課說明 :1.求異面直線所成的角常作出所成角的平面圖形 .作法有 : D平移法 :在異面直線的一條上挑選“特別點(diǎn)” ,作另一條直線平行線 或利用中位線 .補(bǔ)形法 :把空間圖形補(bǔ)成熟識(shí)的幾何體 ,其目的在于容 A E 易發(fā)覺兩條異面直線的關(guān)系 .2.解立幾運(yùn)算題要先作出所求的角 ,并要 有嚴(yán)格的推理論證過程 ,仍要有合理的步驟 . F 例 2.如圖在正方體 AC1 中 , 1 求 BC1 與平面 ACC1 A1 所成的角 2 求 A1B1 與平面 A1

4、C1B 所成 的角 . 備課說明 :求直線與平面所成角的關(guān)鍵是找直線在此平面上的射影 ,為此 D 1 B 1 B C 1 必需在這條直線上找一點(diǎn)作平面的垂線 . 作垂線的方法常接受 :利用平 面垂直的性質(zhì)找平面的垂線 .點(diǎn)的射影在面內(nèi)的特別位置 . A 1DCA 第 1 頁,共 7 頁例 3.已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F 為棱 BB1 上一點(diǎn) ,BF FB1=2 1, BF=BC=2a . 1如 D BC 的中點(diǎn) ,E 為線段 AD 上不同于 A, D 的任意一點(diǎn) ,證明： EF FC1; 2試問 :如 AB= 2a ,在線 段 AD 上的 E 點(diǎn)能否使 EF 與平 B

5、B1C1C 成 60 角 ,為什么 .證明你的結(jié)論 . 面 備課說明 :這是一道探干脆命題 ,也是近年高考熱點(diǎn)問題 ,解 決這類問題 ,常假設(shè)命題成立 ,再爭辯是否與已知條件沖突 , A C從而判定命題是否成立 . E DB A 1 F C 1 B 1 四,反饋練習(xí) 1 設(shè)集合 A,B,C 分別表示異面直線所成的角,平面的斜線與平面所成的角,直線與平面所 成的角的取值范疇 ,就 AA=B=C BA=B C CA B C D B A C. 2 兩條直線 a , b 與平面 所成的角相等 ,就直線 a , b 的位置關(guān)系是 A平行 B相交 C異面 D 以上均有可能 . 3 設(shè)棱長為 1 的正方體

6、ABCD-A1B1C1D1 中,M, N 分別為 AA1 和 BB1 的中點(diǎn),就直線 CM 和 D1N 所成角的正弦值為 . 4 已知 a ,b 是一對(duì)異面直線, 且 a ,b 成 60 b 均成 60 o 角的直線有 條 . o角,就在過空間任意點(diǎn) P 的全部直線中, 與 a , 5 異面直線 a , b 相互垂直, c 與 a 成 30 6ACB=90 在平面 內(nèi) ,PC 與 CA, CB 所成的角 PCA= PCB=60 o 角,就 c 與 b 所成角的范疇是 o,就 PC 與平面 所成的角 . 為 . 7 設(shè)線段 AB=a ,AB 在平面 求: 1CD 的長 ;2CD 與平面 內(nèi) ,C

7、A ,BD 與 成 30 角,BDAB,C, D 在 同側(cè) ,CA=BD=b . 所成角正弦值 . CDA B 第 2 頁,共 7 頁課前預(yù)習(xí) 1. 60 3. 3 , 2 5. 64典型例題 例 1 解 : CB AD CBF 為異面直 AD與 BF 所成的角 .連接 CF,CE 設(shè)正方形 ABCD 的邊長 ,就 BF= 2 a 線 CB AB, EB AB CEB 為平 ABCD 與平面 ABEF 所成的面 角 CBE=60 CE=a FC= 2a cos CBF= 24OB 1 例 2 解 :1 設(shè)所求的角為 , 先證 BD平面 ACC1A1, 就 sin =sin OC1B= = .故

8、 BC1 2 =30 o .2 A1BC1 是正三角形 , 且 A1B1=B1C1 =BB1. 棱錐 B1-A1BC1 是正三棱錐 . 過 B1 作 B1H 平面 A1BC1,連 A1H, B1A1H 是直線 A1B1 與平面 A1C1B 所成的角 . 設(shè) A1B1= a 就 A1B= 2 a 得 A1H= 6a . 故 cos B1A1 H= A1 H = 6.所求角為 arccos 63 A1 B1 3 3例 3 解 :1 連接 OF, 簡潔證明 AD面 BB1C1C, DF 是 EF 在 B1 C1CB 的射影 , DF FC1 , FC1 EF.2 AD面 BB1C1C, EFD 是

9、EF 與平面 BB1 C1C 所成的角 . 在 EDF 中, 如 面 EFD=60 , 就ED=DFtan 60 = 3 5 = 15a , AB=BC=AC=2a , AD= 3a . 15a 3a . E 在 DA 的延長線上 , 而不在線段 AD 上 ; 故線段 AD 上的 E 點(diǎn)不行能使 EF 與平BB1C1 C 成 60 角 . 面 反饋練習(xí) 45 1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60 , 90 6. 45 97. 解 :1 作 DD 于 D,連接 AD ,BD .CA , CADD.四邊形 CADD 是直角梯 形, CAD= D DA=90 ,AB ,AB DD.又 AB

10、 BD, AB平面 BDD,BD 平面 BDD. AB BD . DBD是 BD 與 所成的角 , DBD=30 ,BD=b , DD = b,BD= 3b . 2 22在 ABD中 , AB=a ,BD= 2 3b , ABD=90 , AD= AB 2BD2 = a 2 3b 4 .在 CAD 2 2 2 2D 中, CD= AD AC D D a b . 2作 DC DC交 CA于 C, CDA CD 與 所成的角 ,sin CDA= AC b. 是 C D 2a 2b 2第 3 頁,共 7 頁線面角與面面角練習(xí) 一,學(xué)問與方法要點(diǎn) ： 1斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾

11、角；求斜線與平面所成的角關(guān)鍵 是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足,這經(jīng)常常要 用面面垂直來確定垂足的位置；如垂足的位置難以確定,可考慮用其它方法求出斜線上 一點(diǎn)到平面的距離； 2二面角的大小用它的平面角來度量, 求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角 要 證 明 ；作二面角的平面角常常要用三垂線定理, 關(guān)鍵是過二面角的一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一 個(gè)面作垂線,并確定垂足的位置；如二面角的平面角難以作出,可考慮用射影面積公式 求二面角的大??； 3判定兩個(gè)平面垂直,關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到一條垂直于另一個(gè)平面的直線； 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理是：假如兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面

12、內(nèi)垂直于它們交線的 直線垂直于另一個(gè)平面 二,例題 例 1正方體 ABCD-A1B1C1D1中, M 為 C1D1中點(diǎn) 1求證： AC1平面 A1BD 2 求 BM 與平面 A1BD 成的角的正切值 解： 1 連 AC, C1C平面 ABCD, C1CBD 又 AC BD, AC1BD同理 AC1 A1B A1BBD=B AC1平面 A1BD 2設(shè)正方體的棱長為 a,連 AD1, AD1交 A1D于 E,連結(jié) ME,在 D1AC1中, ME AC1, AC1平面 A1BD ME平面 A1BD 連結(jié) BE,就 MBE 為 BM 與平面 A1BD 成的 Rt MEB 中, ME AC1 3a ,

13、角在 2 22BE 2 2 a a 2 6 6 a , tan MBE ME BE 2 2 例 2如圖,把等腰直角三角形 ABC 以斜邊 AB 為軸旋使 C 點(diǎn)移動(dòng)的距離等于 AC 時(shí)停止,并記為 P （ 1）求證：面 ABP面 ABC；（ 2）求二面角 點(diǎn) C-BP-A 的余弦值 證明（ 1） 由題設(shè)知 AP CP BP點(diǎn) P 在面 ABC 的射影 D 應(yīng)是 ABC 的外即 D AB PD AB, PD 心, 面 ABP,由面面垂直的判定定理知,面 ABP面 ABC （ 2）解法 1 取 PB 中點(diǎn) E,連結(jié) CE, DE,CD BCP 為正三角形,CE BD BOD 為等腰直角三角形, D

14、E PB CED 為二面角 C-BP-A 的平面角 又由（ 1）知,面 ABP面 ABC, DC AB, AB面 ABP面 ABC, 由面面垂直性質(zhì)定理,得 DC面 ABP DC DE因此 CDE 為直角三角 形 設(shè) BC 1,就 CE 3, DE 1, cos CED DE 1 23 22CE 332例 3如以下圖,在正三棱柱 ABC A1B1C1 中, E BB1 ,截面 A1EC 側(cè)面 AC1 1 求證： BE EB1 ； 2 如 AA1 A1B1 ,求平面 A1 EC 與平面 A1B1C1 所成二面角 銳角 的度數(shù) 第 4 頁,共 7 頁證明：在截面 A1EC 內(nèi),過 E 作 EG A

15、1 C, G 是垂足,如 圖, 面 A1 EC面 AC1 , EG側(cè)面 AC1 取 AC 的中點(diǎn) F,分別連 BF 和 FC,由 AB BC 得 BF 結(jié) 面 ABC側(cè)面 AC , BF側(cè)面 AC , 1 AC 1得 BF EG BF 和 EG 確定一個(gè)平面,交側(cè)面 BE側(cè)面 AC , BE FG,四邊形 BEGF 1是 BE AA , FG AA , AA C FGC 1 1 1AC 于 FG 1, BEFG 解： 2 分別延長 CE 和 C1B1 交于點(diǎn) D,連結(jié) B A C B C A 60, 1 1 1 1 1 1 A1 D DA1 C1 DA1 B1 B1 A1 C1 90,即 DA

16、 1 A1 C1 CC1 面 A1 C1 B1 , 由三垂線定理得 DA1 A1 C,所以 CA1 C1 是所求二面角的平面角且 A1 C1 C90 CC1 AA1 A1 B1 A1 C1 , CA1 C1 45,即所求二面角為 45 說明：假如改用面積射影定理,就仍有另外的解法 三,作業(yè) ： 1已知平面 的一條斜線 a 與平面 成 角,直線 b ,且 a,b 異面,就 a 與 b 所成的角為 （ A） A有最小值 ,有最大值 2B無最小值,有最大值 2； （ D） C有最小值 ,無最大值 D有最小值 ,有最大值 ； 2以下命題中正確選項(xiàng) A過平面外一點(diǎn)作該平面的垂面有且只有一個(gè) B過直線外一

17、點(diǎn)作該直線的平行平面有且只有一個(gè) C過直線外一點(diǎn)作該直線的垂線有且只有一條 D過平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一個(gè) 3一條長為 60 的線段夾在相互垂直的兩個(gè)平面之間,它和這兩個(gè)平面所成的角分別為 45和 30,這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)向平面的交線引垂線,就垂足間的距離是 （A） A 30 B20 C 15 D 12 4設(shè)正四棱錐 S ABCD 的側(cè)棱長 2與 SC 所成的角 為 是 B45 A 30 5正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為 ,底面邊長為 3 ,E 是 SA 的中點(diǎn),就異面直線 BE （C） C 60 D 90 arctan 2 2,就它的側(cè)棱與底面所成的角為 26A 是 BC

18、D 所在平面外的點(diǎn), BAC= CAB= DAB=60, AB=3, AC=AD=2. （）求證： AB CD； （）求 AB 與平面 BCD 所成角的余弦 值 . 第 5 頁,共 7 頁7正四周體 ABCD 中, E 是 AD 邊的中點(diǎn),CE 與底面 BCD 所成角的正弦解 過 A, E 分別作 AH面 BCD, EO面 BCD, H,O 為垂足, AH 2OE, AH, OE 確定平面 AHD,連結(jié) OC, ECO 即為所求 AB=AC=AD, HB=HC=HD BCD 是正三角形,H 是 BCD 的中 連結(jié) DH 并延長交 BC 心, 于 F, F 為 BC 的中點(diǎn), 2 2 3 3DH

19、 DF a a ,在 Rt ADH3 3 2 3 中, 8在四周體 ABCD中, DA面 ABC, ABC90, AE CD, AF 求證：（ 1）EF DC；（ 2）平面 DBC平面 AEF DB 證明 BC AB 如圖 1-83（ 1）AD面 ABC ADBC又 ABC90 BC面 DAB DB 是 DC在面 ABD 內(nèi)的射影 AF DB AF CD（三 垂線定理） （ 2） CD AE, CD EF CD面 AEF CD AE CD CD平面 AEF CD EF BCD 面 BCD面 AEF面 （ 3）由 EF CD, AE CD AEF 為二面角 B-DC-A 的平面 又 AF DB, AF CD,BDCD D AF平面 DBC, 二面角題目： 例如以下圖,已知 PA 面 ABC , S PBC S, S ABC S ,二面角 P BC A 的 C1 平面角為 ,求證： S cos S P A DB 第 6 頁,共 7 頁2 如圖,在空間四邊形 ABCD 中,