高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題強化訓練134

1、高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CD和C1C的中點，則直線AE與D1F所成角的余弦值為()12A.3B.533C.5D.7解析：選B.以D為原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸成立空間直角坐標系(圖略)若棱長為2，則A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)，1)，所以EA(2，1，0)，D1F(0，222EAD1FcosEA，D1F5.|EA|D1F|55則直線AE與D1F所成角的余弦值為25.2在正方體ABCD-A

2、1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面1/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()12A.2B.332C.3D.2解析：選B.以A為原點成立以以下圖的空間直角坐1標系A-xyz，設棱長為1，則A1(0，0，1)，E1，0，2D(0，1，0)，1)，所以A1D(0，11A1E1，0，2，設平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，yz0，y2，則1所以12z0，z2.所以n1(1，2，2)由于平面ABCD的一個法向量為n2(0，0，1)，2所以cosn1，n2313.2即所成的銳二面角的余弦值為3.3

3、(浙江省十校聯(lián)合體期末聯(lián)考)在三棱錐O-ABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點P、Q分別是線段BC和OA上的動2/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練13411點，且滿足BP2BC，AQ2AO，則PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是()2，13，1A.B.23325225C.3，5D.2，5解析：選B.依照題意，以O為原點，成立以以下圖的空間直角坐標系，不如設2，OAOBOCOB(2，0，0)，設11P(x，y，0)，Q(0，0，z)，由于BP2BC，AQ2AO，所以1x2，0y1且xy2，0z1，PQ(x，x2，z)，|cosOB，OBPQPQ|OB

4、|PQ|x2x24x4z2，3當x1，z1時，|cosOB，PQ|3；25當x2，z1時，|cosOB，PQ|5；當x2，z0時，|cosOB，PQ|1.3/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練1342當x1，z0時，|cosOB，PQ|2，聯(lián)合四個選項可知PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是3.3，14(寧波市鎮(zhèn)海中學高考模擬)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，BAC2，ABACAA11，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GDEF，則線段DF的長度的取值范圍為()A.5，1B.5，1552525C.5，

5、1D.5，1解析：選A.成立以以下圖的空間直角坐標系，則11A(0，0，0)，E0，1，2，G2，0，1，F(xiàn)(x，0，D(0，y，0)，由于GDEF，所以x2y10，DFx2y25221y，551由x12y0，得y0，所以52x52，即AD的取值范圍是52，52答案：52，527(臺州市高考模擬)如圖，在棱長為2的正周圍體A-BCD中，E、F分別為直線AB、CD上的動點，且|EF|3.若記EF中點P的軌跡為L，則|L|等于_(注：|L|表示L的測度，在此題，L為曲線、平面圖形、空間幾何體時，|L|分別對應長度、面積、體積)6/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓

6、練134解析：如圖，當E為AB中點時，F(xiàn)分別在C，D處，滿足|EF|3，此時EF的中點P在EC，ED的中點P1，P2的地點上；當F為CD中點時，E分別在A，B處，滿足|EF|3，此時EF的中點P在BF，AF的中點P3，P4的地點上，連結P1P2，P3P4訂交于點O，則1四點P1，P2，P3，P4共圓，圓心為O，圓的半徑為2，則EF中點P11的軌跡L為以O為圓心，認為半徑的圓，其測度|L|2.22答案：(金麗衢十二校聯(lián)考)如圖，在三棱錐D-ABC中，設ADa，BCb，已知AB2，ACBD3c2CDc，則ab1的最小值為_，所以|ab解析：設ADa，CBb，DCc，由于AB2c|22b222(ab

7、4?acbcca)4，又由于ACBD3，所以(ac)(bc)3?abbccac23，所以aa2b222b2c22(3c2)4?c2a2b22，所以ab12ab2c2ab12，當且僅當ab時，等號成立，即ab1的最小值是2.答案：27/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練1349(寧波諾丁漢大學附中高三期中考試)如圖，矩形ABCD中，AB1，BC3，將ABD沿對角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長度在10，13內(nèi)變化，22則點A所形成的運動軌跡的長度為_解析：過A作AEBD，垂足為E，連結CE，AE.由于矩形ABCD中，AB1，BC3，37所以AE2，CE2.3

8、所以A點的軌跡為以E為圓心，以2為半徑的圓弧AEA為二面角A-BD-A的平面角以E為原點，以EB，EA所在直線為x軸，y軸成立以以下圖空間直角坐標系E-xyz，設AEA，則3330，2cos，2sin，C1，2，0，所以AC3353cos1（cos1）2sin2，4421053cos13所以222，解得0cos12，所以6090，所以A點軌跡的圓心角為30，8/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練13433所以A點軌跡的長度為6212.3答案：1210(寧波十校聯(lián)考模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，BAD120，ABAD2，BCD是等邊三角形，E是BP的中點

9、，AC與BD交于點O，且OP平面ABCD.(1)求證：PD平面ACE；(2)當OP1時，求直線PA與平面ACE所成角的正弦值解：(1)證明：由于在四棱錐P-ABCD中，BAD120，ABAD2，BCD是等邊三角形，所以ABCACD，由于E是BP中點，AC與BD交于點O，所以O是BD中點，連結OE，則OEPD，由于PD?平面ACE，OE?平面ACE，所以PD平面ACE.(2)由于BDAC，PO平面ABCD，以O為原點，OB，OC，OP所在直線為坐標軸成立空間直角坐標系，則P(0，0，1)，A(0，1，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，312，0，2，9/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何

10、第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練1343131EA2，1，2，EC2，3，2，PA(0，1，1)，設平面ACE的一個法向量n(x，y，z)，nEA3x2yz0則，取x1，得n(1，0，3)，nEC3x6yz0設直線PA與平面ACE所成角為，36|nPA|4，則sin|n|PA|22所以直線PA與平面ACE所成角的正弦值為64.(浙江暨陽4月聯(lián)考卷)在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，BCAD，BCAB，PBAD2，ABBC1，E為棱PD上的點1(1)若PE3PD，求證：PB平面ACE；(2)若E是PD的中點，求直線PB與平面ACE所成角的正弦值解：(1)證明：過A作Az平面ABCD，以

11、A為原點，如圖成立直角坐標系，10/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134由題意解得，PC3，所以B(1，0，0)，P(1，1，3)，所以BP(0，1，3)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，12423設E(x，y，z)，由PE3PD，得E(3，3，3)，設平面ACE的法向量為n(x，y，z)，nACxy0則2423，取z1，得n(3，3，nAE3x3y3z01)，所以BPn0，由于PB?平面ACE，所以PB平面ACE.(2)過A作Az平面ABCD，以A為原點，如圖成立直角坐標系，由題意解得PC3，所以B(1，0，0)，P(1，1，3)，A(0，0，0)

12、，13所以BP(0，1，3)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，所以E(2，2，32)，11/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134133AC(1，1，0)，AE(2，2，2)，設平面ACE的法向量為n(x，y，z)，nACxy0則133，nAE2x2y2z0取z2，得n(3，3，2)，所以直線PB與平面ACE所成角的正弦值：330|BPn|sinn|20.|BP|210(嵊州市第二次高考適應性考試)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為邊長為2的正三角形，D是棱A1C1的中點，CC1h(h0)(1)證明：BC1平面AB1D；(2)若直線B

13、C1與平面ABB1A1所成角的大小為6，求h的值解：(1)證明：連結A1B交AB1于E，連結DE，則DE是A1BC1的中位線所以DEBC1.又DE?平面AB1D，BC1?平面AB1D，故BC1平面AB1D.12/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134(2)以AB的中點O為坐標原點，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸成立空間直角坐標系，以以下圖，則B(1，0，0)，C1(0，3，h)易得平面ABB1A1的一個法向量為n(0，1，0)又BC1(1，3，h)n|BC1所以sin6|cosBC1，n|.|BC1|n|1即h242，解得h22.(溫州十五校聯(lián)考)已知

14、菱形ABCD中，對角線AC與BD訂交于一點O，BAD60，將BDC沿著BD折起得BDC，連結AC.(1)求證：平面AOC平面ABD；(2)若點C在平面ABD上的投影恰巧是ABD的重心，求直線CD與底面ADC所成角的正弦值13/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134解：(1)證明：由于COBD，AOBD，COAOO，所以BD平面COA，又由于BD?平面ABD，所以平面AOC平面ABD.(2)如圖建系O-xyz，令ABa，則312a，0，0，B0，2a，0，10，a，0，236C6a，0，3a，31所以DCAB2a，2a，0，平面ADC的法向量為m2，設直線C

15、D與底面ADC所成角為，則1，3，23a6|DCm|sin|cosDC，m|33，|DC|m|a2故直線CD與底面ADC所成角的正弦值為63.(寶雞市質(zhì)量檢測(一)如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點E是PD的中點，點F是PC的中點(1)證明：PB平面AEC；(2)若底面ABCD為正方形，研究在什么條件下，二面角C-AF-D14/16高考數(shù)學二輪復習專題四立體幾何第3講空間向量與立體幾何專題增強訓練134的大小為60？解：易知AD，AB，AP兩兩垂直，成立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設AB2a，AD2b，AP2c，則A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2b，0)，D(0，2b，0)，P(0，0，2c)設ACBDO，連結OE，則O(a,b，0)，又E是PD的中點，所以E(0，b，c)，c)，(1)證明：由于PB(2a，0，2c)，EO(a，0所以PB2EO，所以PBEO，即PBEO.由于PB?平面AEC，EO?平面AEC，所以PB平面AEC.(2)由于四邊形ABCD為正方形，所以ab，A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2c)，E(0，a，c)，F(xiàn)(a，a，c)，由于z軸?平面CAF，所以設