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1、廣東省惠州市博羅縣楊村中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、 選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1. 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(1,1)B(1,1)CD參考答案:A考點(diǎn): 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義專題: 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析: 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案解答: 解:=,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),故選:A點(diǎn)評(píng): 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)題2. .函數(shù)的圖象大致為( ) 參考答案:A3. 已知點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)滿足,過點(diǎn)P的直線l與圓C:x
2、2+y2=16相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為()ABCD參考答案:A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,畫出以原點(diǎn)為圓心,半徑是4的圓,利用數(shù)形結(jié)合即可得到在哪一個(gè)點(diǎn)的直線與圓相交的弦最短【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖由圖象可知,當(dāng)P點(diǎn)在直線x=1與x+y=4的交點(diǎn)時(shí),與圓心距離最遠(yuǎn),作出直線與圓相交的弦短P的坐標(biāo)為(1,3),圓心到P點(diǎn)距離為d=,根據(jù)公式|AB|=2,可得:|AB|=2故選:A4. 如圖所示,線段BD是正方形ABCD的一條對(duì)角線,現(xiàn)以BD為一條邊,作正方形BEFD,記正方形ABCD與BEFD的公共部分為(如圖中陰影部分所示),則往五邊
3、形ABEFD中投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為( )A. B. C. D. 參考答案:B【分析】五邊形ABEFD的面積,陰影的面積為,得到概率.【詳解】不妨設(shè),故五邊形ABEFD的面積,陰影的面積為,故所求概率為,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.5. 已知點(diǎn)P是曲線上一動(dòng)點(diǎn),為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則的最小值是 ( )A0 B C D參考答案:D6. 要得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像( )向左平移個(gè)單位 向右平移個(gè)單位向左平移個(gè)單位 向右平移個(gè)單位參考答案:B7. 已知復(fù)數(shù)滿足,則( )A. B. C. D. 參考答案:B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算
4、,即可寫出共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?,所以,故,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于容易題.8. 設(shè)、表示兩條不同的直線,、表示兩個(gè)不同的平面,下列命題中真命題是 ( ) A若,則B若C若D若參考答案:C9. 如圖為某個(gè)容量為100的樣本的頻率分布直方圖,分組為104,106,則在區(qū)間上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)為 A0.1 B0.2 C20 D10參考答案:10. 若,滿足約束條件,則的最小值是( )A B C D參考答案:A作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖:由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)時(shí),故選A考點(diǎn):線性規(guī)劃二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 某日
5、中午12時(shí)整,甲船自A處以16km/h的速度向正東行駛,乙船自A的正北18km處以24km/h的速度向正南行駛,則當(dāng)日12時(shí)30分時(shí)兩船之間距間對(duì)時(shí)間的變化率是 .km/h.參考答案:答案:1.612. 命題“若、都是偶數(shù),則是偶數(shù)”的逆命題是 參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】四種命題A2若是偶數(shù),則、都是偶數(shù) 解析:“若a、b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù)”的逆命題是:“若a+b是偶數(shù),則a、b都是偶數(shù)”,故答案為:若a+b是偶數(shù),則a、b都是偶數(shù)【思路點(diǎn)撥】命題“若p,則q”的逆命題是“若q,則p”13. 已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù),則= (要求寫明自變量的取值范圍)參考答案:14. 在如右圖所示的程序框圖中,
6、當(dāng)程序被執(zhí)行后,輸出的結(jié)果是 參考答案:286略15. 如圖4, 是以為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)接正方形,將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形(陰影部分)內(nèi)”,則(1);(2)參考答案:(1);(2)本題考查幾何概型,條件概率公式同時(shí)考查圓面積和正方形面積的計(jì)算,難度中等。(1)圓的面積為,圓內(nèi)接正方形面積為所以。(2)扇形區(qū)域OHE的面積為,所以,,則,所以。16. 若且是第二象限角,則 .參考答案:【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)與分析的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】函數(shù)與分析/三角比/任意角的三角比.【試題分析】因?yàn)?/p>
7、是第二象限角,所以,所以,故答案為.17. 已知函數(shù)(0)的圖像與y軸交與P,與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)記為A,B,若PAB的面積等于,則 ;參考答案:,即.。PAB的面積等于,即,所以。三、 解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18. 為選拔選手參加“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”,某中學(xué)舉行一次“詩(shī)詞大賽”活動(dòng).為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在50,
8、60),90,100的數(shù)據(jù)).(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值;(2)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“中國(guó)謎語(yǔ)大會(huì)”,設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的2名學(xué)生中得分在80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案:解:(1)由題意可知,樣本容量,; (2)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有人, 分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有人, 抽取的2名學(xué)生中得分在的人數(shù)X可能取值0,1,2, 則, ,則的分布列為012所以19. 已知函數(shù)f(x)=exax(e自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論關(guān)于x的方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù);(3)若a1,當(dāng)
9、xf(x)x3x2+3ax1+m對(duì)任意x0,+)恒成立時(shí),m的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】(1)f(x)=exa,對(duì)a分類討論,即可得出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)由(1)可得:對(duì)a分類討論,利用其單調(diào)性即可得出:方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)(3)a1時(shí),xf(x)x3x2+3ax1+m,化為:x(exax)x3+x23ax+1m,令g(x)=x(exax)x3+x23ax+1,x0,+)g(x)=(1+x)ex3(x+a),令h(x)=ex3(x+a),可得h(x)=ex3,可得:函數(shù)h(x)存在唯一零點(diǎn)x0令g
10、(x)=0,可得=3x0+3a利用g(x0)1,化為:a3,即可得出【解答】解:(1)f(x)=exa,當(dāng)a0時(shí),f(x)0,此時(shí)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí),令f(x)=0,解得x=lna則x(,lna)時(shí),此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;x(lna,+)時(shí),此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上可得:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,lna);函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是lna,+)(2)由(1)可得:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增x+時(shí),f(x)+;x時(shí),f(x)因此此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為1a=0時(shí),f(x)=ex0,此時(shí)方程f(x)=a的
11、根的個(gè)數(shù)為0當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,lna);函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間是lna,+)可得函數(shù)f(x)的極小值即最小值為:f(x)min=f(lna)=aalna,因此a=1時(shí),f(x)min=f(0)=1,此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為1a1時(shí),f(x)min=f(lna)=aalnaa,此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為20a1時(shí),f(x)min=f(lna)=aalnaa,此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為0綜上可得:當(dāng)a0時(shí),此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為1a=0時(shí),此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為0當(dāng)a0時(shí),a=1時(shí),此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為1a1時(shí),此時(shí)方程
12、f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為20a1時(shí),此時(shí)方程f(x)=a的根的個(gè)數(shù)為0(3)a1時(shí),xf(x)x3x2+3ax1+m,化為:x(exax)x3+x23ax+1m,令g(x)=x(exax)x3+x23ax+1,x0,+)g(x)=(1+x)ex3(x+a),令h(x)=ex3(x+a),可得h(x)=ex3,因此當(dāng)x=ln3時(shí),h(x)取得極小值,即最小值,h(ln3)=33(ln3+a)0,且h(0)=13a0;x+時(shí),h(x)+因此函數(shù)h(x)存在唯一零點(diǎn)x0,令g(x)=0,可得=3x0+3a可得:當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)g(x)取得極小值,即最小值g(x0)=x0+3ax0+11,化為:a3
13、,其中x0滿足: =3x0+3a【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值并且研究方程的根的個(gè)數(shù)、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題20. (10分)(2015?洛陽(yáng)三模)已知f(x)=|x+l|+|x2|,g(x)=|x+1|xa|+a(aR)()解不等式f(x)5;()若不等式f(x)g(x)恒成立,求a的取值范圍參考答案:考點(diǎn): 絕對(duì)值不等式的解法 專題: 不等式的解法及應(yīng)用分析: ()f(x)=|x+l|+|x2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和,而2 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,
14、從而得到不等式f(x)5的解集()由題意可得|x2|+|xa|a 恒成立,而|x2|+|xa|的最小值為|2a|=|a2|,故有|a2|a,由此求得a的范圍解答: 解:()f(x)=|x+l|+|x2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和,而2 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,故不等式f(x)5的解集為2,3()若不等式f(x)g(x)恒成立,即|x2|+|xa|a 恒成立而|x2|+|xa|的最小值為|2a|=|a2|,|a2|a,(2a)2a2,解得a1,故a的范圍(,1點(diǎn)評(píng): 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)
15、思想,屬于中檔題21. 在ABC中,AB=6,AC=3, ?=18(1)求BC的長(zhǎng);(2)求tan2B的值參考答案:【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】(1)根據(jù)向量積的運(yùn)算由?=18可得AB?AC?cosA=18,利用余弦定理可求BC的長(zhǎng)度(2)方法1:利用余弦定理求解cosB和sinB,可得tanB,在利用二倍角公式求tan2B方法2:利用正弦定理求sinB,在求cosB,可得tanB,在利用二倍角公式求tan2B【解答】解:(1)由?=18可得AB?AC?cosA=18,AB=6,AC=3cosA=,0A,A=由余弦定理可得:BC=;(2)方法1:由(1)可得:a=3,b=3,c=6,可得:cosB=那么sinB=tanB=故得tan2B=方法2:由(1)可得:cosA=,A=那么:a=3,b=3,c=6,那么sinA=正弦定理可得:,可得sinB=,那么:cosB=tanB=故得tan2B=22. (本小題滿分12分)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為 在曲線C上. ()求雙曲線C的方程; ()記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若OEF的面積為求直線l的方程參考答案:()解法1:依題意,由a2+b2=4,得雙曲線方程為(0a24,將點(diǎn)(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a22,故所求雙曲線方程為 4分解
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