微分方程建模理論概要課件

1、微分方程模型的建立主講人 張?zhí)mDifferential Equation model微分方程模型的建立主講人 張?zhí)mDifferential?？平M常見的微分方程模型：2003年，C題：SARS的傳播常微分方程組或差分方程組2004年，C題：飲酒駕車線性常微分方程組2011年，C題：企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革常微分方程，阻滯增長模型專科組常見的微分方程模型：2003年，C題：SARS的傳播常 實(shí)際問題需尋求某個變量y 隨另一變量 t 的變化規(guī)律 ：y=y(t).直接求很困難 建立關(guān)于未知變量、未知變量的導(dǎo)數(shù)以及自變量的方程 建立變量能滿足的微分方程 ？哪一類問題一、微分方程模型： 實(shí)際問題需尋求

2、某個變量y 隨另一變量 t 的直接在工程實(shí)際問題中 “改變”、“變化”、“增加”、“減少”等關(guān)鍵詞提示我們注意什么量在變化. 關(guān)鍵詞“速率”, “增長” ,“衰變” ,“邊際的” ,常涉及到導(dǎo)數(shù). 建立方法常用微分方程運(yùn)用已知定律規(guī)律等 運(yùn)用微元法模擬近似法機(jī)理分析法在工程實(shí)際問題中 “改變”、“變化”、“增加”、“2022/10/12二、建立微分方程模型的方法（1）根據(jù)規(guī)律列方程 利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等找出變量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，來建立微分方程模型。如，根據(jù)放射性元素衰減規(guī)律： 放射性元素的衰減速率與當(dāng)時的剩余量成正比2022/10/10二、建立微分方

3、程模型的方法（1）根據(jù)規(guī)律2022/10/12（2）微元分析法 利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。2022/10/10（2）微元分析法 利用已知的定2022/10/12（3）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。2022/10/10（3）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)三、微分方程建模步驟1、翻譯或轉(zhuǎn)化：

4、 在實(shí)際問題中許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率”、增長” 等 2、建立瞬時表達(dá)式： 根據(jù)自變量有微小改變t時，因變量的增量W，建立起在時段t上的增量表達(dá)式，令t 0，即得到 的表達(dá)式3、配備物理單位： 在建模中應(yīng)注意每一頃采用同樣的物理單位 4、確定條件： 這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨(dú)立于微分方程而成立，用以確定有關(guān)的常數(shù)。為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。三、微分方程建模步驟1、翻譯或轉(zhuǎn)化：3、配備物理單位： 案例1 物體冷卻問題 一個較熱的物體置于室溫為180c的房間內(nèi)，該物體最初的溫度是600c，3分鐘以后降到500c .想知

5、道它的溫度降到300c 需要多少時間？10分鐘以后它的溫度是多少？四、建模方法簡單舉例 案例1 物體冷卻問題四、建模方法簡單舉例 牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體放入處于常溫 m 的介質(zhì)中時，T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差. 分析：假設(shè)房間足夠大，放入溫度較低或較高的物體時，室內(nèi)溫度基本不受影響，即室溫分布均衡,保持為m，采用牛頓冷卻定律是一個相當(dāng)好的近似.建立模型：設(shè)物體在冷卻過程中的溫度為T(t)，t0， 牛頓冷卻（加熱）定律：將溫度為T的物體 分析：假設(shè)房“T的變化速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差” 翻譯為數(shù)學(xué)語言建立微分方程其中參數(shù)k 0，m=18. 求得一般解為“T的變化

6、速率正比于T與周圍介質(zhì)的溫度差” 翻譯為數(shù)學(xué)語言建 ln(Tm)=k t+c,代入條件，求得c=42 ， , 最后得 T(t)=18+42 , t 0. 結(jié)果 ：T(10)=18+42 =25.870，該物體溫度降至300c 需要8.17分鐘. ln(Tm)=k t+c,代入條件，求得c=42 ， 案例2 除雪問題 一場降雪開始于午前的某個時刻，并持續(xù)到下午，雪量穩(wěn)定。某人從正午開始清掃某條街的人行道，他的鏟雪速度（以ft3/h度量）和清掃面的寬度均不變。到下午2點(diǎn)他掃了兩個街區(qū)，到下午4點(diǎn)他掃了一個街區(qū)。請問：雪是從什么時候開始下的？（可假設(shè)他沒有回頭清掃落在已掃過的路面上的雪）案例2 除雪

7、問題 一場降雪開始于午前的某11示 意 圖下雪速度：a(單位)3/小時.面積 鏟雪速度：b(單位)3/小時S(t)： 正午后t小時的鏟雪位移下雪時間：午前x0已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3 翻譯為11示 意 圖下雪速度：a(單位)3/小時.面積 t到t+t時刻：（1）鏟雪容量：b* t（2）忽略t下雪量，雪量減少容量：（3）微分表達(dá)式：（4）模型：建立模型 t到t+t時刻：（3）微分表達(dá)式：（4）模型：建立模型 解：求解模型 解：求解模型練習(xí)1溶液混合問題：設(shè)有一容器將有某種濃度的溶液以流量 注入濃度為 的同樣的溶液，假定溶液被立即攪勻，并 以 的流量流出，試建立容器中濃度與

8、時間關(guān)系的模型。練習(xí)1溶液混合問題： 許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變的特性，如封閉區(qū)域內(nèi)的能量、貨幣量等. 利用變量間的平衡與增長特性,可分析和建立有關(guān)變量間的相互關(guān)系. 案例3 人口增長模型 對某地區(qū)時刻 t 的人口總數(shù)P(t)，除考慮個體的出生、死亡，再進(jìn)一步考慮遷入與遷出的影響. 四、微分建模典型舉例 許多研究對象在數(shù)量上常常表現(xiàn)出某種不變 利用變量間的 在很短的時間段t 內(nèi)，關(guān)于P(t)變化的一個最簡單的模型是： t時間內(nèi)的人口增長量=t內(nèi)出生人口數(shù)t內(nèi)死亡人口數(shù)+ t內(nèi)遷入人口數(shù)t內(nèi)遷出人口數(shù) t時間內(nèi)的凈改變量=t時間內(nèi)輸入量t時間內(nèi)輸出量般化更一基本模型 在很短的時間段t

9、 內(nèi)，關(guān)于P(t)變化的一個 t時 不同的輸入、輸出情況對應(yīng)不同的差分或微分方程. 輸入量 含系統(tǒng)外部輸入及系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的量； 輸出量 含流出系統(tǒng)及在系統(tǒng)內(nèi)部消亡的量.此類建模方法的關(guān)鍵是分析并正確描述基本模型的右端，使平衡式成立 案例5 戰(zhàn)斗模型 兩方軍隊(duì)交戰(zhàn), 希望為這場戰(zhàn)斗建立一個數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用這個模型達(dá)到如下目的： 不同的輸入、輸出情況對應(yīng)不同的差分或輸入量 含系統(tǒng)外部1. 預(yù)測哪一方將獲勝？ 2. 估計(jì)獲勝的一方最后剩下多少士兵？ 3. 計(jì)算失敗的一方開始時必須投入多少士兵才能贏得這場戰(zhàn)斗？ 設(shè) x(t) t 時刻X方存活的士兵數(shù)； y(t) t 時刻Y方存活的士兵數(shù)；假設(shè)： 1）雙

10、方所有士兵不是戰(zhàn)死就是活著參加戰(zhàn)斗， x(t)與y(t)都是連續(xù)變量. 建立模型1. 預(yù)測哪一方將獲勝？ 2. 估計(jì)獲勝的一方最后剩下多少士 2）Y方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X 方軍隊(duì) a 名士兵； 3）X 方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死Y方軍隊(duì) b 名士兵；t 時間內(nèi)X軍隊(duì)減少的士兵數(shù) = t 時間內(nèi)Y軍隊(duì)消滅對方的士兵數(shù)平衡式 即有 x =ayt, 同理 y =bxt, 令t 0, 得到微分方程組： 2）Y方軍隊(duì)的一個士兵在單位時間內(nèi)殺死X 3）X 例5.1.4(獨(dú)家廣告模型)廣告是調(diào)整商品銷售的強(qiáng)有力的手段, 廣告與銷售量之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？如何評價不同時期的廣告效果？廣告的效果, 可做如下的條件假設(shè)： *1. 商品的銷售速度會因廣告而增大, 當(dāng)商品在市場上趨于飽和時，銷售速度將趨于一個極限值； 分析 例5.1.4(獨(dú)家廣告模型)廣告是調(diào)整商品銷廣告的效果*2. 商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降低； *3. 選擇如下廣告策略，t時刻的廣告費(fèi)用為： 記 S(t) t 時刻商品的銷售速度； M 銷售飽和水平，即銷售速度的上限； （0） 衰減因子，廣告作用隨時間的 推移而自然衰減的速度.分析建立模型*2. 商品銷售率（銷售加速度）隨商品銷售速度的增高而降