常微分方程課后答案(第三版)王高雄

1、常微分方程習(xí)題 2.1dy 2xy,并求滿足初始條件：x=0,y=1.。dx解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得1dy 2xdx ,兩邊同時(shí)積分得： lny1yc 1,故它的特解為y e x 2 。x2 c ,y c e x 2 x 0, y 1代入得2dx (x 1)dy 0, 并求滿足初始條件：x=0,y=1 的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：1x dx 1 dy,y 時(shí)，兩邊同時(shí)積分得lnx1 y 21 c,即y 1c 1c ln x 11當(dāng)y x y c 故特解是1y 。1 ln1 x3dy 1 y2dxxy x3 y解：原式可化為：2dy 1 y 211 y2 0,故分離變量得 ydy 1dxd

2、xyxx3y1 y2x x31 ln12y2 lnx ln1 x2121lnc(c 0),y2)1 x2) cx2故原方程的解為y21 x2) cx21 x)ydx1 y)xdy 0y 或x xy 時(shí)，變量分離1 x dx 1 y dy 0 xy兩邊積分lnx xlny y c,即lnxy x y c,故原方程的解為ln xy x y cy x 0.5 : ( y x)dy ( y x)dx 0dyy xydydu解： , 令 u, yux, u x1dxy xxdxdx1則u x du u 1,u 1du dxdxu 1兩邊積分得：arctguu2 1 x1ln1u2)lnx。2 dydx

3、y x2 y2解：令 y u, y ux, dy u x2 y2x2x2 1u2)du 11dxx,分離變量得：du sgnxdx1u2 xcarcsinu sgnxlnx c代回原來(lái)變量，得arcsiny sgnxlnx cxcy2 x2也是方程的解。7：tgydx ctgxdy 0解：變量分離，得：ctgydy tgxdxlnsin ylncosx.8 : dy ey23xdxy解：變量分離，得dy 3x cy1ey2 3y19 : x(ln x ln y)dy ydx 0y dy y dx 0 xx令u y1lnud ln uxx1lnu代回原變量得：cy 1 ln y 。xdy1： e

4、xydydx解：變量分離eydy ex dx兩邊積分ey ex cdy exydxey dy ex dxey excdydx(xy)2解：令x y t,dy dt 1dxdxdt1原方程可變?yōu)椋?1dxt2變量分離得：1dt dx,兩邊積分arctgt xct2 1代回變量得：arctg(x y) x cdy 1dx(x y)2解令x y t，則dy dt dt 1 1dxdxdxt2變量分離 t2dt dx，兩邊積t arctgt xc，代回變量t 2 1x y arctg(x y) x cdy 2x y 1dxx2y12x y 1 x 2 y 1 x 1 y 1令x X 1 , y Y 1

5、 ,dY 332X Y 33dXX 令 Y U，則方程可化為：XdU 2 2XdX1 變量分離14, dy dxx y 5 x y 2解：令x y 5t,dydx 1 dt ,dx原方程化為1 dtdxtt 7, 變量分離(t 7)dt 7dx兩邊積分1t2 t 7xc2代回變量1(xy)27(x y ) 7x.2dy15dx (x 1)2 (4 y 1)2 8xy 1dy解：方程化為dydx x2 2x 1 16 y 2 8y 1 8xy 1 (x 4 y 1)2 2dydu1 du91 x 4y u，則關(guān)求導(dǎo)14dx，所以dx4 dx u2 ，4分離變量1du dx，兩邊積分arctg(

6、2 x8 y) 6xc，是22 92原方程的解。33316dy dxy 6 2x22xy5 x 2 y 2解：dy(y3)2 2x2dy3y3)2 2x2dx y 2 (2xy3 x 2 dx2xy3 xy u，則原方程化為2 6du 2 6xdx2xu x2x2， 這 是 齊 次 方 程 ， 令2 u 1xu z，則du zx dz，所以3z2 6 zx dz，x dz z2 z6xdxdx2z 1dxdx2z 1當(dāng)z 2 z 6 0，得z 3或z 2是（1）方程的解。即y 3 3x或y 3 2x是方程的解。2z11當(dāng)z 2 z 6 0時(shí)，變量分離z 2z dz dx，兩邊積分的（z 3)7

7、 (z 2)3 x x5 c,即（y3 3x)7 y3 2x)3 x5 c，又因?yàn)閥3 3x或y3 2x包含在通解中當(dāng)c 時(shí)。故原方程y 3 3x)7 y 3 2x)3 x15 c17.dy 2x3 3xy xdx3x2 y2y3 ydy x(2x2 3y2 ; dy2 2x2 3y2 1dxy(3x22y1)dx23x 2 y 2 1令y2 u,;x2 v;則du 2v 1dv 12v 1 0方程組的解為）；ZvYu ， 1 02 3 y則有2z 3y 0，從而方程化為dy zy3z 2 y 0令dz3 2zdydtdt2dt2 2t ，則有 t z，所以t z，z(2)dzdzdz3dz3

8、 當(dāng)2 2t 2 時(shí)，即t ，是方程的解。得y 2 x 2 或y 2 x 2是原方程的解當(dāng)3122 時(shí)，分離變量得dt dz兩邊積分y2 2zx(yx 2)5 c另外y 2 x 2 y 2 x ，包含在其通解中，故原方程的解為y 2 x 2 y 2 x 2 2)5 cx dy f (xy)經(jīng)變換xy u可化為變量分離方程，并由此求解下列方程ydx.y1 x2 y2)dx xdy(2). x dy 2 x 2 y 2y dx2x2 y2xy u,x求y x dy dy 所以x dy du y得：1 dudxdxdxdx1 f(u),du u (f(u) 1) 1 (uf(u) u)y dxdx

9、y(f(u) 1)xx故此方程為此方程為變程。(1)當(dāng)x 或y 是原方程的解，當(dāng) xy x dy時(shí)，方程化為1x2 y2y dxduxy u,則方程化為(2uu3),變量分離得：du 1dxdudxx2uu3 xu2y2兩邊同時(shí)積分得： cx4,即cx2,y 也包含在此通解中。u2 2x2 y2 2y2y故原方程的解為原yx22 2cx2,x 0.解(2)令xy u，則原方程化為du 1 (u 2 u 2 u)12 u 24udu dxx2u2yx1dx，兩邊積分得lnyxxx 2 y 24x 2 u2c，這也就是方程的解。已知f(x)f (x)dt 1, x 0, 試求函數(shù)f (x)的一般表達(dá)式.0 f (x) f (x)dt 01y y2 y1y1dy11 11 y 3 ; dx dxy3dy;兩邊積分得x c ;所以y 2x c2x c2x c把y 2x c代入0f (x)dt 1y12t cx2t cx0dt 2x c;(c ) 2xc得c 所y 1求具有性質(zhì) x(t) x(s) 的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。1 x(t)x(s)解令t=s=0 x(0) x(0) =2x(0)若x(0) 0 得x2=-1 矛盾。1 x(0)1 x(0)x(0)所以x(0)=0. x(t)=limx(t t) x(t) limx(t)(1 x 2 (t) x(