線性代數(shù)的15的課件

1、1線性代數(shù)2第七次課 3.1 向量及其運算3.2 向量間的線性關系3目的要求 1. 了解向量概念，掌握向量加法、數(shù)乘運算法則。 2.理解向量的線性組合、線性表示、向量組線性相關性等概念；3.掌握向量組線性相關性的有關性質與判別法。4定義3.1 一、n維向量概念（矩陣的特殊情形）。為第i個分量，分量個數(shù)稱為向量的維數(shù)。 用 表示向量;加下標表示分量。 用 有序數(shù)組稱為一個n維向量3.1 向量及其運算5 行、列向量（特殊矩陣） 6向量的幾何意義 一維向量集合-數(shù)軸； 二維向量集合-平面； 三維向量集合-空間； 四維以上向量集合，無具體幾何意義 。7具體問題的向量表示：方程 產量 8特殊向量（與矩陣

2、類比可知）零向量 負向量 n維單位向量組（e為基本向量） 9向量與矩陣的聯(lián)系10二、向量的運算（特殊矩陣）轉置、相等、加法、數(shù)乘、乘法；運算律；例 （注意符號運算與具體運算） 設 求11設 求12 一、 線性組合與線性表示 引例 設求 解 稱是的線性組合；又稱可由線性表示。3.2向量間的線性關系(線性組合)13即線性方程組有解.是向量組的線性組合；又稱和向量 ，若存在一組數(shù)使得成立，則稱可由向量組線性表示。如果對于給定的向量組 定義 3.2 14例 P93零向量是任一同維向量組 的線性組合；是的線性組合；向量組中的任一向量都是該向量組的線性組合.15 設判斷線性表示.能否由16解 考慮線性方程

3、組即有由向量相等的定義得到如下線性方程組因系數(shù)行列式由Cramer法則得此線性方程組有惟一的一組解17即惟一線性表示?？捎?8 設判斷能否由線性表示.19 解 設不存在。即線性表示。不能由20設判斷線性表示能否由21線性方程組有無窮多解，則 不但能由 線性表示，且有無窮多種線性表示的方法。線性方程組有無窮多解解 22(2) 解線性方程組(1) 設線性組合判定步驟有解；無解；確定與的關系 線性組合；非線性組合；(3) 對應 中解的兩種情況 23 二、線性相關性（線性相關與線性無關）對于n維向量組若存在一組不全為零的數(shù)使得成立，則稱線性相關；否則，稱線性無關。定義 3.324m個n維向量 線性相關

4、以 為未知量的齊次線性方程組有非零解(只有零解)(無關)25注意： (1) 若線性無關，當且僅當時，才有成立()對于任一向量組，不是線性無關就是線性相關（）包含零向量的任何向量組是線性相關的26（）n維單位向量組 必線性無關.相關的充要條件是 .（）當向量組只包含一個向量時，則線性（）對于含有兩個向量的向量組，它線性相關 的充要條件是兩向量的分量對應成比例.義是兩向量共線幾何意27 例 判別向量組的線性相關性解 設即 線性無關.28 例 判別向量組的線性相關性解 設29 線性相關。有非零（無窮多）解.30證 設(從結論入手) 線性無關。 例 向量組線性無關， 證明 線性無關。31 例 若向量組

5、1,2,3線性相關,則向量組1+2, 2+3, 3+1,也線性相關嗎?b1,b2 ,b3不全為0解: k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 (k1+k3)1+ (k1+k2)2 + (k2+k3)3=01,2 ,3線性相關 1+2, 2+3, 3+1線性相關。32例 已知 線性無關，判斷的線性相關性。33三、向量組線性相關和線性無關的判定和性質定理3.1 （線性相關性與行列式間的關系）n個n維向量組線性相關34證明向量組線性相關可得的齊次線性方程組存在一組不全為零的數(shù)使得成立,35由Cramer法則及其推論可知,該線性方程組有非零解充要條件其系數(shù)行列式：因行列式轉置其值不變,故行

6、列式=036推論n個n維向量組線性無關 37線性相關。線性無關。例 為何值時（1）線性相關（2）線性無關解 38也線性無關。定理3.2（分量增減）P96個向量上添加n-r個分量所得到的n維向量組證設 若r維向量組線性無關，則每一因為線性無關，所以由定義知，39齊次線性方程組 只有零解，因此添加n-r個方程的齊次線性方程組40也線性無關。 也只有零解，故 如 與 線性無關，但 與 線性相關.注 定理3.2的逆不成立。41推論設n維向量組線性相關，則每一個向量上去掉后面(n-r)個分量后的r維向量組：必定線性相關。部分無關，加長無關；加長相關，部分相關。42判斷向量組的線性相關性線性無關; 線性無

7、關.由定理3.2知解 由定理3.知43定理3.3 (線性相關性與線性組合間的關系)向量線性表示。線性相關向量組其中至少有一個向量可由其余m-1個44必要性如果 線性相關，因 中至少有一個不為零，不妨設證明則存在一組不全為零的數(shù)使則有能由其余m-1個向量線性表示.即45（比如 ）充分性能由其余m-1個向量線性表示.設中有一個向量整理得因 這 個數(shù)不全為零，故 線性相關.46則添加m-s個向量后推論 線性無關向量組向量組中的任何一個向量都不能由其余m-1個向量線性表示。定理3.4 （向量個數(shù)增減） 如果s個n維向量也線性相關（ms） 線性相關，47因為 所以存在不全為零的 使 從而有 所以 線性相

8、關。 線性相關， 證 48推 論 若向量組線性無關，則其中任何一部分向量組成的向量組一定線性無關。部分相關，整體相關；整體無關，部分無關。線性無關線性無關49定理3.5 （線性相關性與惟一線性表示）惟一線性表示。若向量組線性相關，線性無關，一定可由則而向量組50證 線性相關，所以因為存在一組不全為零的數(shù) ，使 成立如果則不全為零，且上式為線性相關，與題設矛盾，則于是即有51可由線性表示若可表示為兩式相減得表明：因為線性無關，所以有表明由表示的線性表達式是惟一的52思考題(1) 如果向量組 線性相關,那么向量 一定可由 線性表示.(2) 若 ,則向量組 線性無關.(3) 如果存在一組不全為零的數(shù) ,使得,則 線性無關.判斷正誤53設解 設存在一組數(shù) 即有方程組（1）問t為何值時，向量組 線性相關？（2）問t為何值時，向量組 線性無關？（3）當向量組線性相關時，將 表為 的線性組合。54（2）當 時，方程組解得于是相關；線性(1) 當 時, （