高中數(shù)學史課件(溫州)

1、數(shù)學史選講數(shù)學史選講要求1.了解古埃及人、古巴比倫人在數(shù)學上取得的成果及對數(shù)學發(fā)展的貢獻。2.了解九章算術的主要內容，了解其成就和歷史意義3.了解畢達哥拉斯和阿基米德的數(shù)學貢獻4.了解歐幾里的數(shù)學貢獻，了解原本的內容及其對后世數(shù)學發(fā)展所起的作用5.了解微積分產生的歷史背景，了解牛頓和萊布尼茲在微積分方面的工作6.了解公理化思想以及構成公理體系的基本要求目標認 識 價值 開 闊 視 野 拓 展 見 識 提 高 興 趣 有關研究表明，近百年來，在數(shù)學方面，浙江溫州籍教授至少有200人。研究者認為，在同一個城市走出如此眾多的數(shù)學家和數(shù)學研究者，這在中國乃至世界數(shù)學史上都是極為罕見的。 溫州市溫籍數(shù)學

2、家群體成因分析課題負責人之一、溫州大學數(shù)學與信息科學學院副院長楊萬銓說，溫州是名符其實的“數(shù)學家之鄉(xiāng)”，不僅數(shù)學教授眾多，而且其中曾擔任過著名大學數(shù)學系主任或數(shù)學研究所所長職務的多達30多人。溫州何以成“數(shù)學家之鄉(xiāng)”據(jù)介紹，在溫籍數(shù)學家當中，中國現(xiàn)代數(shù)學的奠基人之一蘇步青及其弟子谷超豪是代表性人物。兩人創(chuàng)立并發(fā)展了著名的中國微分幾何學派。 此外，溫州籍的著名數(shù)學家還有：被譽為中國現(xiàn)代數(shù)學祖師的姜立夫；姜立夫之子，中國科學院院士，曾任北京大學數(shù)學學院院長的姜伯駒；新當選的中國科學院院士李邦河；在臺灣的徐賢修、項輔辰、楊忠道；曾任東南亞數(shù)學會理事長的李秉彝；曾在美國普林斯頓大學和勃克萊加州大學任數(shù)

3、學教授的項武忠、項武義兄弟；曾任北京師范大學校長的陸善鎮(zhèn)、華東師范大學副校長李銳夫；曾任杭州大學數(shù)學系主任的白正國、廈門大學數(shù)學系主任的方德植；現(xiàn)任中國計算數(shù)學學會副理事長的王興華等。 中國決策科學研究會會長胡毓達教授說，之所以形成一個龐大的溫州籍數(shù)學家群體，這與溫州的“務實”與“勤懇”的文化傳統(tǒng)有著直接的關系。溫州人在歷史上就以“吃苦耐勞”著稱，這種群體性格特征在現(xiàn)代溫州商人身上體現(xiàn)尤為明顯。而數(shù)學家們自然也秉承了這一精神。 溫州籍著名數(shù)學家姜立夫（18901978），浙江平陽人。1918年獲哈佛大學博士學位。1919年南開大學成立，次年，姜立夫到南開大學任教，是南開大學數(shù)學系唯一的臺柱。他

4、逐年根據(jù)學生情況輪流開設各門主要課程，由于他的博學多才，使南開大學能保證較高的教學質量，培養(yǎng)了一批我國數(shù)學界的卓越人才，如劉晉年、江澤涵、陳省身、孫本旺、吳大任等?？谷諔?zhàn)爭期間，他任教于西南聯(lián)大，抗戰(zhàn)勝利后，被委任為當時的中央研究院數(shù)學研究所所長。1949年，姜立夫被迫將數(shù)學研究所的圖書運往臺灣，不久，他擺脫羈絆毅然回到祖國大陸，并一直任教于中山大學。 溫州籍著名數(shù)學家蘇步青（19022003），浙江平陽人。1927年畢業(yè)于日本東北帝國大學數(shù)學系，后入該校研究院，獲理學博士學位。放棄在日本任教授的機會回國后，受聘于浙江大學數(shù)學系。1952年到復旦大學任教，歷任教務長、副校長、校長等職。1983

5、年起任復旦大學名譽校長。1955年當選為中國科學院數(shù)學物理學部委員，兼任學術委員會常委，專長微分幾何，創(chuàng)立了國內外公認的微分幾何學派。蘇步青在科學業(yè)績上成績斐然，在培養(yǎng)人才和數(shù)學教育方面的貢獻同樣令人稱道。他的許多學生，如谷超豪、胡和生、張素成、白正國等都是國內外知名的學者。數(shù)學是什么？119世紀時由恩格斯給出的定義 數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式（簡稱：數(shù)與形）的科學 按照恩格斯所說， 數(shù)與形是數(shù)學的兩大基本柱石之一。整個數(shù)學都是由此提煉、演變與發(fā)展起來的。20世紀初的定義 數(shù)學是研究模式與秩序的科學 數(shù)學研究的基本對象是各種各樣的集合以及在它們上面賦予的各種結構。數(shù)學的時期2按時間

6、先后順序劃分為以下五個時期： 1數(shù)學萌芽期（公元前600年以前）； 2初等數(shù)學時期（公元前600年至17世紀中葉）； 3變量數(shù)學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）； 4近代數(shù)學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰(zhàn)）； 5現(xiàn)代數(shù)學時期（20世紀40年代以來）。 牛頓:16431727萊布尼茲:16461716歐拉:17071783數(shù)學形成時期公元前6世紀初等數(shù)學時期16世紀19世紀變量數(shù)學時期現(xiàn)代數(shù)學時期現(xiàn)在數(shù)學萌芽期（公元前600年以前）古埃及、古巴比倫和古印度、古代中國時期建立的算術；初等數(shù)學時期（公元前600年至17世紀中葉）古希臘時期建立的歐氏幾何學；歐洲文藝復興時期發(fā)展起來的代數(shù)

7、方程等。初等數(shù)學又叫常數(shù)數(shù)學。變量數(shù)學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）起點：解析幾何；標志：微積分（數(shù)學分析）；特點：數(shù)形結合，引入了變量，可以研究運動。近代數(shù)學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰(zhàn)）主要特征：分析的嚴密化;代數(shù)的抽象化;幾何的非歐化?，F(xiàn)代數(shù)學時期（20世紀40年代以來）起點：1900年Hilbert提出的23個未解決的數(shù)學問題；特點：學科分支增多，交叉增強(如：代數(shù)拓撲、微分拓撲、代數(shù)幾何等）；基礎：Cantor的集合論。 了解古埃及人古巴比倫人在數(shù)學上取得的成果及對數(shù)學發(fā)展的貢獻3 歷史學家往往把興起于 、 、 和 等地域的古代文明稱為“河谷文明”。 古埃及、古巴比

8、倫、古代印度、古代中國一、古埃及的數(shù)學聞名世界的“金字塔”在哪個國家？12345用象形文怎樣表示？2、紙草書 紙草書是研究古埃及數(shù)學的主要來源 萊因德紙草書：最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊因德購得，現(xiàn)藏于倫敦大英博物館又稱阿姆士紙草書，阿姆士在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，據(jù)他加的前言知，所抄錄的是一部已經流傳了兩個世紀的著作含84個數(shù)學問題莫斯科紙草書：又稱戈列尼雪夫紙草書，1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現(xiàn)存于莫斯科博物館產生于公元前1850年前后，比萊因德紙草書產生得早，但重要性要稍遜于萊因德紙草書，含有25個數(shù)學問題埃及幾何埃及是幾何

9、學的發(fā)源地。埃及幾何產生于尼羅河泛濫后的土地測量，是一種實用幾何那些從事土地測量的人有一個專名，叫做“拉繩者”，可以說，這些拉繩者就是當時的幾何學家。二、巴比倫的數(shù)學楔形文字中的記數(shù)法：巴比倫人把蘇美爾人創(chuàng)造的楔形文字發(fā)展成一套記數(shù)方法，是10進和60進的混合物，也就是60進制位值制記數(shù)法。古巴比倫人不但能計算各種復雜的算術問題，而且給出了乘法表，并能求解一元二次方程；更加令人不可思議的是，巴比倫人甚至知道如何求指數(shù)方程。（教材P6P7 ）長于計算，編制了許多數(shù)表：乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指數(shù)（對數(shù)）表。勾股數(shù)：紐約哥倫比亞大學的珍本圖書館藏著一塊年代為

10、公元前1900前1600年的泥板，稱為普林頓332號數(shù)學泥板 的計算（教材P7）總的說來,古埃及和古巴比倫所給出的僅僅是“如此去做”，基本上沒有涉及到“為什么要這樣做”,數(shù)學的進一步飛躍還要等待古希臘來完成。4了解畢達哥拉斯和阿基米德的數(shù)學貢獻 公元前560前480年 精于哲學、數(shù)學、天文 學、音樂理論1畢達哥拉斯學派 希臘論證數(shù)學的另一位祖師 畢達哥拉斯學派創(chuàng)始人 信奉“萬物皆數(shù)”(一)希臘論證數(shù)學的祖師畢達哥拉斯2勾股定理（畢達哥拉斯定理）趙爽的“弦圖”2002.8 國際數(shù)學家大會會徽 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 3多邊形數(shù)4不可公度萬物皆數(shù)可公度第一次數(shù)學危機不可公度希帕蘇

11、斯發(fā)現(xiàn)阿基米德證明“阿基米德原理”：物體在液體中減輕的重量，等于排去液體的重量 故事：皇冠真假鑒別 浴池洗澡 （二）數(shù)學之神阿基米德鏈接到笛卡爾發(fā)現(xiàn)坐標系5了解歐幾里得的數(shù)學貢獻，了解原本的內容及其對后世數(shù)學發(fā)展所起的作用。 幾何原本歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約公元前 330 公元前 275）歐幾里得的幾何原本是用公理方法建立演繹數(shù)學體系的最早典范。第五公設（平行公設）第五公設：若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交。 在歐氏幾何的所有公設中，唯獨這條公設顯得比較特殊，它的敘述不像其它公設那樣簡

12、潔、明了，當時就有人懷疑它不像是一個公設而更像是一個定理，并產生了從其它公設和定理推出這條公設的想法。歐幾里得本人對這條公設似乎也心存猶豫，并竭力推遲它的應用，一直到卷命題29才不得不使用它。第二次數(shù)學危機高斯、羅巴切夫斯基與波爾約（具體內容見課本P58）誰被看作非歐幾何的創(chuàng)始人？非歐幾何的發(fā)展與確認德國數(shù)學家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何學-黎曼幾何。 (同一平面上的任何兩條直線一定相交) 三角形內角和小于180度19世紀70年代以后，意大利數(shù)學家貝爾特拉米、德國數(shù)學家克萊因和法國數(shù)學家龐加萊等人先后在歐幾里得空

13、間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實意義。至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解。6了解九章算術的主要內容，了解其成就和歷史意義“術”即解法簡介成書時間:公元1世紀地位:在西方數(shù)學傳入之前一直是中國古代數(shù)學學習者的首選教材作者:不詳(漢朝數(shù)學家集體智慧的結晶)貢獻:著作本身蘊涵的數(shù)學思想;后人對該書所作的注釋中蘊涵的數(shù)學思想(魏晉的劉徽和唐朝的李淳風)盈不足術今有(人)共買物，(每)人出八(錢)，盈(余)三錢；人出七(錢)，不足四(錢)，問人數(shù)、物價各幾何”，“答曰：七人，物價53(錢)。”“盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘(即交錯相乘)所出率，并以為實，并盈，不

14、足為法，實如法而一置所出率，以少減多，余，以約法、實。實為物價，法為人數(shù)”。 兩鼠穿墻今有垣墻五尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何？假設兩只老鼠打洞2天,則仍差5寸,不能把墻打穿;假設打洞3天,就會多出3尺7寸半. 三國時的劉徽提出的 的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 這樣繼續(xù)分割下去,所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長.“割圓求周” 割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.深遠影響我國古代數(shù)學巨著九章算術流傳至今已達兩千余年之久，不僅指導著我國數(shù)學的發(fā)展，而且早已流傳到世界各地，翻譯成日、

15、英、俄、德等多種文字，對世界數(shù)學的發(fā)展也有不可估量的巨大貢獻和影響。把九章算術與西方最早的一本數(shù)學名著歐幾里得的幾何原本相對照，就可以發(fā)現(xiàn)從形式到內容都各有特色和所長，形成東、西方數(shù)學的不同風格。、幾何原本以形式邏輯方法把全部內容貫穿起來，而九章算術則按問題的性質和解法把全部內容分類編排。、幾何原本中極少提及應用問題，而九章算術則是解應用問題為主，、幾何原本以幾何為主，略有一點算術內容，而九章算術則包含了算術、代數(shù)、幾何等我國當時數(shù)學的全部內容。其中尤其是代數(shù)無可爭辯地是中國所創(chuàng)。在16世紀以前基本上是中國一手包辦了的。因此，完全可以說九章算術與幾何原本是世界數(shù)學史上東西輝映的兩本不朽的傳世名

16、著。也是現(xiàn)代數(shù)學的兩大主要源泉。 7了解微積分產生的歷史背景，了解牛頓和萊布尼茨在微積分方面的工作 古希臘人研究過的面積問題 直觀地看，小矩形越多，其面積和就越接近于所求曲線下的面積。 如何求此面積的精確值？ 第一類問題：瞬時速度問題 已知物體移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。 困難在于：十七世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。例如，計算瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬刻，移動的距離和所用的時間都是 0，而 0 / 0 是無意義的。但根據(jù)物理學，每個運動

17、的物體在它運動的每一時刻必有速度，是不容懷疑的。 第一類問題 求曲線的切線。 這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題、光學中研究光線通過透鏡的通道問題、運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等。 第二類問題：切線問題 第二類問題 困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個沒有解決的問題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線”。這個定義對于十七世紀所用的較復雜的曲線已經不適應了。 第三類問題：函數(shù)的最值問題 求函數(shù)的最大最小值問題。 十七世紀初期，伽利略斷定，在真空中以 角發(fā)射炮彈時，射程最大。 研究行星運動也涉及最大最小值問題。 困難在于：原

18、有的初等計算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。 第三類問題 第四類問題：面積、體積、曲線長、重心和引力的計算 求曲線的長度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一個物體上的引力。 困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應用了這個方法，但也必須添加許多技巧，因為這個方法缺乏一般性，而且經常得不到數(shù)值的解答。 窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。 第四類問題 微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個全新的且更為復雜的概念：微分和積分。這樣，除了用來處理數(shù)值所需要的基礎外，還需

19、要邏輯方面的基礎。函數(shù)概念函數(shù)概念的發(fā)展歷程類別對函數(shù)的理解歷史上的代表數(shù)學家1運 算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；歐拉（1748）；拉格朗日（1797）；布爾（1854）3曲線（圖像）歐拉（1748）4變量的依賴關系萊布尼茨（1714）；歐拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5變量的對應關系孔多塞（1778）；傅立葉（1822）；羅巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；漢克爾（1870）；哈代（1908）；古爾薩（1923）6映 射戴德金（1

20、887）7集合的對應關系坦納里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；維布倫（20世紀）；布爾巴基（1939）8序偶集皮亞諾（1911）；豪斯多夫（1914）；布爾巴基（1939） 微分與積分是分析中的兩種基本的極限過程。這兩種過程的一些特殊的情況，甚至在古代就已經有人考慮過（在阿基米德工作中達到高峰），而在十六世紀和十七世紀，更是越來越受到人們的重視。然而，微積分的系統(tǒng)發(fā)展是在十七世紀才開始的，通常認為是牛頓和萊布尼茨兩位偉大的科學先驅的創(chuàng)造。這一系統(tǒng)發(fā)展的關鍵在于認識到：過去一直分別研究的微分和積分這兩個過程，實際上是彼此互逆的聯(lián)系著。 牛頓（16421727年），英國數(shù)學家、物理學家、天

21、文學家、自然哲學家。生于英格蘭林肯郡伍爾索普的一個小村莊里。他的母親在那里管理著丈夫遺留下來的農莊，他父親是在他出生前兩個月去世的。 1. 牛頓（Newton） 少年時期，牛頓在一個低標準的地方學校接受教育，而且是一個除了對機械有興趣以外，沒有特殊才華的青年人。 1661年他進入了劍橋大學的三一學院，安靜而沒有阻力地學習著自然哲學。1665年牛頓剛結束他的大學課程，學校就因為倫敦地區(qū)鼠疫流行而關閉。他離開劍橋，回到家鄉(xiāng)，在那里開始了他在機械、數(shù)學和光學上的偉大工作，于1665-1666年間做出流數(shù)術、萬有引力和光的分析三大發(fā)明，年僅23歲。 1667年牛頓回到劍橋，獲得碩士學位，成為三一學院的

22、研究員。1669年牛頓接替他的數(shù)學老師巴羅的職位，擔任盧卡斯數(shù)學教授。他不是一個成功的教師，聽他課的學生很少。 他提出的創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注意，只有巴羅及天文學家哈雷認識到他的偉大，并給他以鼓勵。牛頓涉獵的學科很多，知識面很廣。他從事過光學、天體力學、數(shù)學、化學、流體靜力學、流體動力學、物理學方面的研究工作，還自己動手制作實驗裝置，甚至自己制作了兩臺反射望遠鏡（制作出做架子用的合金、澆鑄框架、做底座、磨光鏡頭等。） 他在數(shù)學上以創(chuàng)建微積分而著稱，其流數(shù)法（即物質的變化率）始于1665年，系統(tǒng)敘述于流數(shù)法和無窮級數(shù)（1671年完成，1736年出版），首先發(fā)表在自然哲學之數(shù)學原理 （1

23、687）中。其中借助運動學中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數(shù)理論，并創(chuàng)用字母上加一點的符號表示流動變化率（即導數(shù)符號）。 此外他還論述了有理指數(shù)的二項定理（1664年）以及數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法等中的有關問題。 他在物理學上發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律（1666-1684年），并據(jù)此指出行星運行成橢圓軌道的原因。1666年用三棱鏡實驗光的色散現(xiàn)象，1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠鏡。 晚年的牛頓變得消沉，精神幾乎崩潰。他放棄研究工作，于1695年接受任命，擔任大英造幣廠監(jiān)察。1705年，封為爵士，享年85歲。牛頓對于他一生的成就，一直是十分謙虛的。 2. 萊布尼茨（Leibniz）

24、萊布尼茨（16461716年）是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學家。他研究法律，在答辯了關于邏輯的論文后，得到哲學學士學位。1666年以論文論組合的藝術獲得阿爾特道夫大學哲學博士學位，同時獲得該校的教授席位。 1671年，他制造了他的計算機。1672年3月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導巴黎。這次訪問使他同數(shù)學家和科學家有了接觸，激起了他對數(shù)學的興趣?？梢哉f，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂數(shù)學。 1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學家和科學家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動，但他的科學研究工作領域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動范圍是龐大的

25、。 萊布尼茨從1684年開始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他的思想的發(fā)展，實際上都包含在他從1673年起寫的，但從未發(fā)表過的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一個課題跳到另一個課題，并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所用的記號。有些是它在研究格雷戈里、費馬、帕斯卡、巴羅的書和文章時，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的方式時所出現(xiàn)的簡單思想。 1714年萊布尼茨寫了微分學的歷史和起源，在這本書中，他給出了一些關于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書的目的是為了澄清當時加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺地歪曲了關于他的思想來源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個最偉大的才智，怎樣為了

26、達到理解和創(chuàng)造而奮斗。 特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過程；1676年6月23日的手稿中，他意識到求切線的最好方法是求 dy/dx ，其中dy，dx 是變量的差，dy/dx 是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工作。1716年，他無聲無息地死去。 微積分是能應用于許多類函數(shù)的一種新的 普遍的方法，這一發(fā)現(xiàn)必須歸功于牛頓和萊布尼茨倆人。經過他們的工作，微積分不再是古希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨立的科學，用來處理較以前更為廣泛的問題。 任何一件新事物出現(xiàn)時，一般不可能是十分完美的。如果牛頓和萊布尼茨想到過連續(xù)函數(shù)不一定有導數(shù)而這卻是一般情形那么微分學就決不會被創(chuàng)造出來。 畢卡 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權的爭論 牛頓從1665年到1687年把結果通知了他的朋友，特別是把他的短文分析學送給了巴羅，但他于1687年以前，并沒有正式公開發(fā)表過微積分方面的任何工作。 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權的爭論 雖然萊布尼茨于1672年訪問巴黎，1673年訪問倫敦時，和一些知道牛頓工作的人通信。然而，他直到1684年才正式公開發(fā)表微積分的著作。于是就發(fā)生了