兩條直線的交點

1、第一章坐標、點和直線本章在兩維空間里使用坐標來描述點和直線。學(xué)完本章后，你應(yīng)該能夠：求兩點間的距離求給定了端點坐標的線段的中點求給定了端點坐標的線段的斜率在給定直線斜率和直線上一個點的情況下，求直線方程求通過兩點的直線的方程根據(jù)其方程的不同形式來區(qū)分直線求兩直線的交點根據(jù)直線斜率判斷它們是否平行或垂直1.1兩點間的距離選定原點，畫一條水平向右的x 軸和豎直向上的 y 軸，并確定 x 軸和 y 軸上的刻度，這樣就建立了一個坐標系。我們把這樣的坐標系稱為 笛卡兒坐標系 ，按法國數(shù)學(xué)家 ReneDescartes來命名，他生活在 17 世紀。在圖 1.1 中，點 A 的坐標為4,3 ， B 的坐標為

2、 10,7 。直線 AB 在 A 點和 B點間的部分叫做 線段，該線段的長度就是這兩點間的距離。1在圖 1.1 中添加第三個點 C ，構(gòu)成一個直角三角形?？梢钥吹剑?C 點的 x - 坐標與 B 點相同、 y -坐標與 A 點相同，即 C 點的坐標為 10,3 ?？梢院苋菀卓吹?， AC 的長度為 1046 ， CB 的長度為 734 。在三角形 ABC 中使用畢達哥拉斯定理，可得線段AB 的長度為：10272624236165243如果需要的話，可以使用計算器得到7.21 ，但通常將結(jié)果記為 52 會比較好。坐標幾何學(xué)的概念是使用代數(shù)的方法，這樣你可以進行類似的計算，A 和B 可以是任意點，而

3、不僅僅是圖1.1 中的特定點。通常使用符號是很有幫助的，一看就能知道這些符號表示的坐標代表的是哪個點。其中一個方法是使用下標，把第一個點的坐標表示為x1 , y1 ，第二個點的坐標表示為x2 , y2 。所以，比如x1 就代表了第一個點的x -坐標。圖 1.2 給出了這個一般三角形，可以看出，此時C 點的坐標為x2 , y1 ，所以 ACx2 x1 ， CB y2y1 ，根據(jù)畢達哥拉斯定理可得AB22x2 x1y2 y1使用代數(shù)方法的一個優(yōu)點是無論三角形的形狀和位置如何，該公式都有效。在圖 1.3 中， A 點的坐標是負的， 在圖 1.4 中，沿圖形從左邊往右邊移動時，2直線向下傾斜而不是向上

4、。你可以使用圖1.3 和 1.4 來得到每種情況下AB 的長度，然后使用公式來驗證結(jié)果。在圖 1.3 中，x2x132325且y2y151516所以AB3221262253661552在圖 1.4 中，x2x1615且y2y12533所以AB62222 522 593 4153同樣，你標注點 A 和 B 的順序是沒有關(guān)系的，如果你認為點B 是“第一個點”x1, y1 ，點 A 是“第二個點”x2 , y2，則公式是不變的。對于圖1.1，則為BA4232223 61 65 21 0764和前面一樣。點 x1, y1和點 x2 , y2之間的距離（或連接兩點的線段的長度）是x22y2 y12x11

5、.2線段的中點你也可以根據(jù)坐標來找出一條線段的中點。圖 1.5 給出了和圖 1.1 相同的線段，但是添加了中點 M 。通過 M 點平行于 y 軸的直線和 AC 相交于點 D 。則三角形 ADM 的邊長是三角形 ABC 邊長的一半，所以A D1AC 110 4163222D M1CB17 3142222點 M 的 x -坐標和點 D 的 x -坐標相同，為4AD 411044372點 M 的 y -坐標為13DM3733252所以中點 M 的坐標為7,5 。4在圖 1.6 中，點 M 和 D 以同樣的方式添加到圖1.2 中，和前面完全一樣。AD1 AC1x2x122DM11y2y1CB22所以

6、M 點的 x -坐標為111x1 AD x1 2x 2 x1 x1 2x2 2x11112x12 x 22x 2x 1M 點的 y -坐標為y1 DM y 11y21 y11y22112 y 1y1 2y2 2y121 y2y 125連接點x1 , y1 和點 x2 , y2 的線段的中點的坐標為1x1x2, 1y1 y222既然已經(jīng)得到了中點M 的坐標的代數(shù)形式，則可以把它運用于任意的兩個點。例如，對于圖1.3， AB 的中點為12311511412,21 , 2222對于圖 1.4，為 11 6 ,15 217, 173 1, 31。222222同樣，你認為哪個點是第一個，哪個點是第二個是

7、沒有關(guān)系的。在圖1.5中，如果取x1, y1為 10,7 ， x2 , y2為4,3 ，你會發(fā)現(xiàn)中點是1 104 , 1737, 5 ，和前面一樣。221.3線段的斜率斜率是對直線陡峭度的測量，直線越陡，斜率越大。與距離和中點不同， 斜率是整條直線的性質(zhì)， 而不僅僅是一條特定的線段。取直線上的任意兩點，求出從一個點到另一個點的 x -坐標和 y -坐標的增量，如圖 1.7，則無論你選擇哪個點，下面分數(shù)的值是相同的，step x step這就是直線的 斜率。6在圖 1.2 中， x step和 ystep分別為 x2x1 和 y2y1，所以：通過點 x1, y1和 x2 , y2 的直線的斜率為

8、 y2y1x2x1無論坐標是正，還是負，該公式都使用。例如，在圖1.3 中， AB 的斜率為5151632325但是請注意在圖 1.4 中，斜率為 2533 ；負的斜率說明當你沿圖像6155從左邊移到右邊時，直線是向下傾斜的。和其它的公式一樣，哪個點下標為1，哪個點下標為2 是沒有關(guān)系的。在圖 1.1 中，可計算斜率為7342，或 3742 。1046341063如果兩條直線的斜率相等，則它們是平行的。例一條線段的兩個端點的坐標為pq, pq 和pq, pq ，求線段的長度，斜率和中點的坐標。對于長度和斜率，需要計算x2x1p qp q p q p q 2q和 y2y1p qp q p q p

9、 q2q7則長度為：22224 2 q 4 2 q82 qx2 x1y2 y12 q2 q斜率為：y2y12qx2x112q對于中點，需要計算x1x2p qp q p q p q 2 p和y1y2p qp q p q p q 2 p則中點為：1x1x2, 1y1 y212 p , 1 2 pp, p2222嘗試自己畫出圖形來說明該例子中的結(jié)論。例證明點 A 1,1 ， B 5,3 ， C 3,0 和 D1, 2 構(gòu)成一個平行四邊形。你可以使用多種方法來解答這個問題，但是無論你使用哪種方法，畫圖都是值得的，如圖1.8 所示。8方法 1（使用距離）在這種方法中，求對邊的長度，如果兩對對邊的長度都是

10、相等的，則ABCD 是一個平行四邊形。AB52312120DC31202202CB52302313DA11212132所以 ABDC ， CBDA ，所以 ABCD 是一個平行四邊形。方法 2（使用中點）在該方法中，首先找出對角線AC和BD的中點。如果兩個點相同，則兩條對角線互相平分，四邊形為平行四邊形。AC 的中點為：113 ,11 0，即2,1222BD 的中點為：151,132 ，也是 2,1222所以 ABCD 是一個平行四邊形。方法 3（使用斜率） 在這種方法中，找出對邊的斜率，如果兩對對邊是平行的，則 ABCD 是一個平行四邊形。 AB 和 DC 的斜率分別為：3121022151

11、42和142393所以 AB 平行于 DC 。 DA 和 CB 的斜率都是，所以 DA 平行于 CB 。因為對邊平行，所以ABCD 是一個平行四邊形。1.4直線或曲線的方程的含義怎樣判斷點3,7 和 1,5 是否在曲線 y3x22 上呢？答案是把點的坐標代入曲線方程，看是否符合方程。也就是，方程能否滿足點的坐標。對于 3,7：右邊為332229，左邊為，方程不滿足，所以點3,7不7在曲線 y3x22 上。對于 1,5：右邊為3225，左邊為，所以方程滿足。點1,5在曲15線 y 3x22 上。直線或曲線的方程是判斷坐標為x, y 的點是否在該直線或該曲線上的標準。這是運用直線或曲線方程的一個重

12、要方式。1.5直線方程例求斜率為 2 且通過點2,1 的直線的方程。圖 1.9 給出了斜率為 2，且通過點 A 2,1 的直線。直線上的另10外一個點是 P x, y 。當（當且僅當）AP 的斜率為 2 時， P 點位于直線上。AP 的斜率為 y1 ，令其等于 2 可得：x2y1x22即y12x4或y 2x 3一般情況下，需要求斜率為m ，且通過坐標為 x1 , y1的點 A 的直線的方程。圖 1.10 給出了該直線，以及直線上的另外一點P ，坐標為 x, y 。 AP 的斜率為 yy1 ，令其等于 m 可得 yy1m ，或 y y1m x x1。xx1xx1通過點x1, y1 ，斜率為 m

13、的直線的方程為yy1m xx1 。11可以看到 A x1 , y1 的坐標滿足該方程。例求通過點2,3 ，且斜率為1的直線的方程。使用方程 y y1m xx1 ，可得：y 31 x2即 y3x 2 或 yx1。驗證該結(jié)果，把坐標2,3 代入方程的兩邊，證明給定的點確實位于直線上。例求通過點3,4 和1,2 的直線的方程。要求得方程，首先找出通過點3,4 和1,2 的直線的斜率，然后使用方程 yy1m xx1 。通過點 3,4和1,2的直線的斜率為：24211342通過點3,4 且斜率為 1 的直線的方程為：2121y4x32乘開并化簡可以得到：2y8x3 ，或2 yx5把另外一個點的坐標代入可

14、以驗證該方程。1.6識別直線方程例題的答案都可以寫成ymxc 的形式，其中 m 和 c 是數(shù)字。可以很容易看出任何具有這種形式的方程都是一條直線的方程。如果ymxc ，則 y cm x0 ，或yc0 時例外）xm （當 x0該方程說明，對于所有的坐標滿足方程的點x, y ，連接 0,c 和 x, y 的直線的斜率為 m ，即 x, y位于一條通過點 0,c，斜率為 m 的直線上。點 0,c 位于 y -軸上，數(shù)字 c 叫做直線的 y -截距 。要找出 x -截距，令方程中 y 0 ，可得 xc ，但是需要注意，如果 m 0m則不能做該除法，在這種情況下，直線與x -軸平行，所以 x -截距不存

15、在。當 m0 時，直線上所有的點的坐標都是something, c 的形式。所以點1,2，1,2， 5,2， 都位于直線 y2 上，如圖 1.11 所示。作為一個特殊情況，x -軸的方程為y 0。13類似地，平行于 y -軸的直線的方程的形式為x k ，直線上的所有的點都有坐標 k, something 。所以點 3,0， 3,2 ， 3,4，都位于直線 x 3 上，如圖 1.12 所示。 y -軸自身的方程為 x0 。直線 xk 的斜率不存在；它的斜率沒有定義。它的方程不能寫成mx c 的形式。1.7方程 axbyc0假如你得到了方程y2 x 4 ，很自然要乘以 3 得到 3 y 2x 4

16、，可以重新33排列為 2x3y40 ，則方程的形式為axbyc0 ，其中 a ， b 和 c 為常數(shù)。注意到直線ymxc和 axbyc0 都包含字母c ，但是它們的含義不14同。對于 ymxc ， c 是 y -截距，但是 axbyc0 中的 c 沒有這種含義。找出 axbyc0 的斜率的一個簡單方法是重新排列方程，寫成 y.的形式，下面是一些例子。例求直線 2x3y40的斜率。把該方程寫成y.的形式，然后根據(jù)ymxc 的斜率是 m這一事實求解。由 2x 3y 4 0 可得：3 y2x4即y2 x433所以，對比該方程和 ymxc ，斜率為2 。3例平行四邊形的一條邊位于方程為3x4 y70

17、的直線上，點 2,3 是平行四邊形的一個頂點，求另外的一條邊的方程。直線 3x 4 y 70 和 y3 x7 相同，所以斜率為 3。44415通過點2,3 且斜率為 3的直線為43y32x4或 3x4y601.8兩條直線的交點假設(shè)已知兩條直線的方程分別為2 xy4 和 3x2 y1 ，如何求出它們的交點的坐標呢？要求的是同時位于兩條直線上的點x, y ，則坐標x, y 滿足兩個方程，所以需要聯(lián)立求解方程。對于這兩個方程，可得x1 ， y2 ，所以交點的坐標為1, 2 。該方法適用于任意方程的直線，只要它們不是平行的。要找出交點，聯(lián)立方程求解即可。該方法也可用來求解兩條曲線的交點。1.9互相垂直

18、的直線的斜率1.3 節(jié)已經(jīng)說明如果兩條直線的斜率相等， 則它們是平行的。 那么兩條相互垂直的直線，它們的斜率有什么關(guān)系呢？首先，如果一條直線的斜率為正， 則與它垂直的直線斜率為負，反之亦然。但是，它們的斜率有更精確的關(guān)系。在圖 1.13 中，假設(shè) PB 的斜率是 m ，可畫出“斜率三角形” PAB ，其中 PA 為一個單位， AB 為 m 個單位。16在圖 1.14 中，將三角形 PAB 旋轉(zhuǎn) 90 度得到三角形 PA B，所以 PB垂直于PB 。 PA B 的 y step為 1， xstep為 m ，所以PB 的斜率ystep11xstepmm所以垂直于 PB 的直線的斜率是1 。m所以如果兩條互相垂直的直線的斜率是m1 和 m2 ，則 m1m21 。同樣下面的結(jié)論也是正確的，如果兩條直線的斜率是m1 和 m2 ，且 m1 m21 ，則直線互相垂直。要證明該結(jié)論，參考綜合練習1 的題 22。兩直線的斜率為 m1 和 m2，如果 m1m21，或者 m11，或者 m21 ，m2m1則這兩條直線互相垂直。注意如果直線平行于坐標軸，則該條件是無效的。但是，可以看出直線常數(shù) 和形式為 y 常數(shù) 的直線互相垂直。例證明點 0, 5 ，1,2 ， 4,7 和 5,0 構(gòu)成一個菱形。17你可以使用多種方法來解決這個問題。下面的解答說明，這些點構(gòu)成了一個平行四邊形，并且它的對角線是互相垂