2012電磁場與電磁波06-矢量與場論5-亥姆霍茲定理和矢量場分類

1、電磁場與電磁波Electromagnetic Fields and Waves 矢量與場論5謝澤明華南理工大學電子與信息學院射頻與無線技術研究所TEL:mail:亥姆霍茲定理與三度運算公式內容散度和旋度的意義亥姆霍茲定理矢量場分類算子的運算規(guī)則重要的恒等式矢徑的“三度”計算各種場的討論矢量場的旋度和散度的意義矢量場的旋度是矢量函數(shù)；矢量場的散度是標量函數(shù)。旋度表示場中各點的場量與旋渦源的關系。散度表示場中各點的場量與通量源的關系。矢量場由它的散度和旋度確定（因為源已經(jīng)確定）矢量場所在空間里的場量的旋度處處等于零，稱該場為無旋場(或保守場)。矢量場所在空間里的場量的散度

2、處處等于零，稱該場為無散場(或管形場)。旋度表示是 的各個分量沿著與它們相垂直的方向上的變化規(guī)律。散度表示是 的場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。【Helmholtz定理】 對于任意矢量場 ，有證明略。可以得到幾點結論：在無界空間，若矢量場有界且正則（場值至少按1/r衰減，且其源密度至少按1/r2衰減），則矢量場由它的散度和旋度唯一確定。在有界空間，矢量場由它的散度、旋度及其邊界條件唯一確定。矢量場可以分解為無散場與無旋場組合。 對應旋渦源， 對應通量源，所以Helmholtz定理也告訴我們，矢量場是由其旋渦源和通量源產(chǎn)生的。電磁場的散度和旋度為電磁場的基本方程，使我們研究的重點（麥克斯韋方程組）

3、矢量場的分類在有界空間，矢量場由它的散度、旋度及其邊界條件唯一確定。矢量場的分類按照場有無散度、旋度分類：無旋有散場有旋無散場無旋無散場有旋有散場算子的運算規(guī)則在直角坐標系下梯度散度旋度可以看出，算子具有矢量與微分算子的雙重特性，這是構成算子運算規(guī)則的基礎。為了便于計算，定義顯然下面通過例題說明算子的運算規(guī)則?！纠孔C明證明：應用乘積函數(shù)的微分運算規(guī)則應用矢量恒等式： （k為常數(shù)）有可以應用算子直角坐標公式，驗證上式的正確性。但應用運算規(guī)則更為簡單，而且也說明了算子與坐標無關。運算規(guī)則1：運算中，先把有下標c的量看成常數(shù)，待運算結束后，再去除下標c?！纠孔C明證明：應用乘積函數(shù)的微分運算規(guī)則應

4、用矢量恒等式：于是運算規(guī)則2：運算中，常數(shù)矢量要始終在算子的左側，函數(shù)矢量要始終在算子的右側。去掉下標c后得證。幾個重要的矢量公式式中： 2為Laplacian算子，在直角坐標系下【例4-5】證明矢徑的“三度”計算在電磁理論中，大量遇到矢徑 的“三度”計算問題。設 表示源點， 表示場點， 則稱為矢徑。應用球坐標系，最為簡單。矢徑的性質泊松方程無旋有散場（位場，有勢場）矢量場 在區(qū)域V內處處有 則矢量場 稱為域內V的無旋有散場。由其中，u為 的標量位函數(shù)，是 的標量源函數(shù)（散度源或通量源）根據(jù)的分布，由泊松方程求出u，繼而求出 。 各種場的特點根據(jù)斯托克斯定理，無旋場是保守場(即無旋場量的線積分

5、與路徑無關，或者該場量沿任意閉路c的環(huán)量為0)，也即對任意閉路在矢量分析中，無旋場、梯度場和保守場是等價的。矢量位函數(shù)有旋無散場（管形場）矢量場 在區(qū)域V內處處有 則矢量場 稱為域內的有旋無散場。由在許多場問題中， 是為了由旋度源 求 而引入的輔助計算量，故令 ，則有 稱為矢量位 的矢量泊松方程。恒定磁場的矢量磁位與產(chǎn)生磁場的場源電流源之間滿足的就是矢量泊松方程。無散場也稱為管形場，因為通量在由矢量線形成的同一個矢量管中的所有截面上都是相等的。矢量管S1S2Ss無旋無散場(調和場)矢量場 在區(qū)域V內處處有 則矢量場 稱為V域內的無旋無散場。無旋無散場只能存在有限的區(qū)域V內。它是由分布在區(qū)域V以

6、外或V的邊界上的某種場源產(chǎn)生的在區(qū)域V內的場量。場源對其影響是通過邊界條件來體現(xiàn)。在V內，由上式為拉普拉斯方程。在數(shù)學上滿足拉普拉斯方程的標量函數(shù)稱為調和函數(shù)，故無旋無散場也稱為調和場。有旋有散場矢量場 在區(qū)域V內處處有 則矢量場 稱為V域內的有旋有散場。根據(jù)亥姆霍茲定理，有(無旋有散+有旋無散)則【例5-4】已知 解：求它們的源分布，并說明哪一個矢量可以表示為一個標量函數(shù)的梯度函數(shù)及哪一個矢量可以表示為一個矢量函數(shù)的梯度。因為 ，根據(jù) ，則 表示為一個標量函數(shù)的梯度函數(shù)。 是無旋場，是由通量源( )產(chǎn)生，其源分布為因為 ，根據(jù) ，則 表示為一個矢量函數(shù)的旋度函數(shù)。 是無散場，是由旋渦源( )產(chǎn)生，其源分布為第五講總結幾個重要電磁場定理 亥姆霍茲定理 ，高斯散度定理， 斯托克斯定理，格林定理矢量場的分類無旋場，無散場5-1 證明矢量Green第二定理第五講作業(yè)5-2 P39 18， 20， 21第五講 習題講解【題1】 利用直角坐標系證明 證明：在直角坐標系中，當 時，所以當 時， 變?yōu)椴欢ㄊ?。以源點 為中心，做半徑為R的球面S，球面S所包圍的體積為V，從而有(散度定理)又因為球面上 的方向即為 的方向，且R是常數(shù)，于是利用函數(shù)的性質之一所以有【題2】證明證明：令 為任意常矢量，利