創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模B題

1、2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參 賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)站下 載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或 其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文 引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有 違反競賽章

2、程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展 示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：B我們的報(bào)名參賽隊(duì)號為（8位數(shù)字組成的編號）：16019013所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜汉幽侠砉ご髮W(xué)萬方科技學(xué)院參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.趙志領(lǐng)王京廣郭濤指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：馮廣慶（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容 請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）

3、日期：2014年9月上日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型摘要本文主要研究的是創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)加工問題，對設(shè)計(jì)加工參數(shù)進(jìn)行分析和優(yōu) 化并為公司開發(fā)設(shè)計(jì)折疊桌軟件提供數(shù)學(xué)模型，為解決這些問題建立不同的數(shù)學(xué)模型并 用MATLAB進(jìn)行模型求解。針對問題一，本文建立了模型工一一動態(tài)變化及數(shù)學(xué)描述模型。利用解析幾何求出 每根桌腿由平鋪狀態(tài)到

4、完全展開過程中轉(zhuǎn)過的角度來描述折疊桌動態(tài)變化過程，并在此 基礎(chǔ)上用MATLAB解出設(shè)計(jì)加工參數(shù):桌腿木條開槽長度3，三維空間桌腳邊緣線。針對問題二，本文建立模型口一一設(shè)計(jì)加工參數(shù)模型。采用多目標(biāo)決策分析方法使 產(chǎn)品達(dá)到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以開槽長度K和長方形平板面積S必須達(dá) 到最小，對于任意給定的高度H和圓形桌面直徑R確定：決策變量：a 1（桌面最外側(cè)木條的半長），1（最外側(cè)桌腿的豎直偏角），p （最外 側(cè)折疊處到鋼筋位置距離與最外側(cè)桌腿的比值）目標(biāo)函數(shù)：K （開槽總長度），S長方形木板面積用MATLAB求解出多組方案并確定目標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)方案，列出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。針對問題三，本文

5、建立了模型田一一軟件設(shè)計(jì)模型。根據(jù)客戶設(shè)定的高度、桌面邊 緣線形狀大小為客戶提供三種桌面形狀：圓形桌面，圓弧和矩形組合桌面，“8” 字形桌面。對于圓形桌面可參照模型H；對于組合桌面，可在模型H的基礎(chǔ)上通過增大 最外側(cè)桌面木條的長度、來實(shí)現(xiàn)；對于“ 8”字形桌面則可將兩個組合桌面的直線邊進(jìn) 行對接，所以模型三的建立和求解便可在模型口的基礎(chǔ)上改動來實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：解析幾何MATLAB多目標(biāo)決策分析EXLINK.問題重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張 平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分 別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條

6、上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。桌子 外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：.給定長方形平板尺寸為120 cm X 50 cm X 3 cm,每根木條寬2.5 cm,連接桌 腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立 模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如， 桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。.折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊 桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參 數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。

7、對于桌高70 cm,桌面直徑80 cm的情 形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。.公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣 線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最 優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助 給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊 桌。給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動態(tài)變化過程的示意圖。.問題分析問題一的分析問題一要求我們建立模型描述折疊桌的動態(tài)變化過程并給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，由于長 方形平板尺寸和每根木條的寬度及鋼筋的位置都為已知，所以只需假設(shè)最

8、外側(cè)桌面木條 的半長，根據(jù)桌子的對稱性研究桌子左邊最外側(cè)到中間的桌腿，利用空間幾何建立數(shù)學(xué) 模型，再用MATLAB對模型求解得出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，用EXLINK導(dǎo)出每根桌腿轉(zhuǎn)過的角度。問題二的分析問題二要求我們做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，對于已定的桌高和桌面 直徑確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。由問題一中折疊桌桌腿的幾何關(guān)系建立多目標(biāo)決策分析模 型確定決策變量和目標(biāo)函數(shù)，用MATLAB確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。問題三的分析問題三要求我們?yōu)檎郫B桌的設(shè)計(jì)軟件提供數(shù)學(xué)模型，可根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀來給出所需平板的尺寸及加工參 數(shù)，對此我們充分的利用問題二的模型

9、來設(shè)計(jì)桌面邊緣線的形狀，使所建立的軟件設(shè)計(jì) 模型易于求解。.模型的假設(shè)假設(shè)一：不考慮加工對長方形平板寬度帶來的影響假設(shè)二：桌腿鋼筋不會發(fā)生形變假設(shè)三：描述桌腳邊緣線時(shí)桌腳為質(zhì)點(diǎn)假設(shè)四：外側(cè)桌腿和鋼筋固定良好假設(shè)五：鉸鏈不會發(fā)生形變且對設(shè)計(jì)加工參數(shù)無影響.問題一模型的建立與求解4.1符號說明:符號符號說明L i第i根桌腿腿長a i第i根桌面木條的半長a i第i根桌腿與豎直方向的夾角0 i第i根桌腿動態(tài)變化轉(zhuǎn)過的角度Hi第i根桌腿底部距地面的高度R桌面外接圓半徑h鋼筋位置距桌面高度mi第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離b第一根桌腿底部距桌子豎直對稱面的距離Ki第i根木條開槽長度模型I的建立（

10、數(shù)據(jù)單位均為cm）根據(jù)桌子的對稱性只需研究桌子左邊最外側(cè)到中間的10根桌腿，設(shè)最外側(cè)桌腿為第 一根桌腿1b其桌面木條的半長為4，以第一根桌腳為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（見 圖1）根據(jù)問題一所給尺寸計(jì)算出：第一根桌腿：腿長L1 = 60 - 4第一根桌腿底部距桌子豎直對稱面的距離b = H tan a 1 + q桌腿與豎直方向的夾角a = arccos 101120 a1鋼筋位置到桌子豎直對稱面距離m1= 2、f(60 aj 502 + a1鋼筋位置距桌面高度h = 25圖3根據(jù)圖2和圖3計(jì)算可以得出： TOC o 1-5 h z 第，根桌面木條的半長a =、252 + a 2,5 - 2.511

11、1 i1桌面外接圓半徑R = /52+ a 21第i根桌腿腿長L = 60 - a ii第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m= mai第i根桌腿的豎直夾角a .二arctanmh h ，、一， 、 h第i根桌腿鋼筋位置以上長度l =i cos ai第i根桌腿底部距地面的高度H = H - L cos a ii i第i根桌腿底部到桌子豎直對稱面的距離Sj= a+ L sin a iX = b - Sii桌腿底部坐標(biāo)Y = 2.5iiZ = Hii為了得出每根木條的開槽長度Ki,利用第i根桌腿鋼筋位置以上長度li減去桌子平鋪時(shí)候鋼筋位置與折疊點(diǎn)的距離即：K = l -（30 - ai）模型I

12、的求解根據(jù)題中所給的圖和木板的厚度，大致可以假設(shè)桌面最外側(cè)木條半長a1為3，用 5MATLAB編程進(jìn)行求解，程序見附錄通過EXLINK導(dǎo)出桌面與豎直方向夾角a ,制出表格描述折疊桌動態(tài)變化的過程（見表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿與豎直方向夾a28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿動態(tài)變化轉(zhuǎn)過的角度061.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18

13、.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB畫出桌腳邊緣線（見圖3），程序見附錄二桌腳邊緣線三維圖形圖4桌腳邊緣線各點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)如下表:X0.00003.78337.56039.605310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.6166X11.205411.407011.444111.413511.3740Y15.000017.500020.000022.500025.0000Z12.6

14、48914.269415.497616.356116.8632表2用EXLINK導(dǎo)出設(shè)計(jì)加工參數(shù)：桌面外接圓半徑R = ；252 + a 2 = 25.17941桌腿開槽長度見下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長度K06.8810.3413.1415.4717.3918.92第8根第9根第10根20.1020.9221.42開槽位置見下表:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根第9根第10根li25.5725.0425.0425.2525.5325.8126.0626.2526.36表44.問題二模型的建立與求解5.1符號說明:符號符號說明S長方形平板面積K i第

15、i根桌腿的槽長L長方形木板長度d長方木形板寬度H桌子高度P最外側(cè)桌腿鋼筋的位置到折疊處的長度與桌腿的長度比值h第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離m i第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離a i第i根桌面木條的半長li第i根桌腿長度d桌子寬度f. /第i根桌腿鋼筋位置以上長度a 1最外側(cè)桌腿的豎直偏角R桌面直徑5.2模型n的建立（數(shù)據(jù)單位均為cm）采用多目標(biāo)決策分析方法使產(chǎn)品達(dá)到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以開槽長 度K和長方形平板面積S必須達(dá)到最小，對于任意給定的高度H和圓形桌面直徑R確定 最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，即輸入桌高H及桌面直徑R得出最優(yōu)加工參數(shù)開槽長度K以及所需 長方木板長L和寬d由問

16、題一中圖1解得第一根桌腿長度l =上二，設(shè)最外側(cè)桌腿鋼筋的位置到折疊12處的長度與桌腿的長度比值為p根據(jù)圖1和圖2得出第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離h = pH，桌寬d fR-a 2，4 i1第，根桌面木條的半長為a =、R-Id - 2.5G-1）1i 4 4第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m = Apl -h 2 - a i y 1i第i根桌腿鋼筋位置以上長度f=. hh 2 + m2所以可求出第i根桌腿的槽長K = f -（L - a ，即得出桌腿的總槽長K = 4嚴(yán)K，從i i l 2 i Jii =1而有：決策變量：a 1 （桌面最外側(cè)木條的半長），a 1 （最外側(cè)桌腿的豎直

17、偏角），p （最 外側(cè)折疊處到鋼筋位置距離與最外側(cè)桌腿的比值）開槽長度K =川K目標(biāo)函數(shù)4目標(biāo)函數(shù)4i=1R2長方形平板的面積S = 2L R- - a 2415.3模型n的求解根據(jù)題中所給的圖和問題一中木板的厚度，大致可以假設(shè)桌面最外側(cè)木條半長a1等 于3，用MATLAB求解出多組方案。對折疊桌進(jìn)行力學(xué)分析可得，當(dāng)折疊桌的外側(cè)桌腿垂直于地面時(shí)，折疊桌能承受的 正壓力是最大的，此時(shí)能承受的側(cè)向壓力是最小的。當(dāng)桌腿未完全展開時(shí)，其抗側(cè)壓力 性能強(qiáng)于抗正壓力，若使折疊桌既能有較好的抗正壓力和抗側(cè)壓力，則桌腿要與地面保持合適的夾角。通過對問題一中折疊桌支撐腿與豎直方向的夾角a1約等于28,并結(jié)合現(xiàn)實(shí)

18、生活中實(shí)際情況為使折疊桌的穩(wěn)定性好，。1不能過小或過大，假設(shè)= 30由已知桌高H = 70,桌面直徑R = 80,輸入p , 的值，輸出L,d,S,K，方案如下表：方案paLdSK10.411163.6679.9713088.55847.7520.42165.6679.9013236.07865.3230.43167.6579.7713374.87882.1740.44169.6679.6013504.61898.1650.51163.6679.9713088.55979.5460.52165.6679.9013236.07999.2870.53167.6679.7713374.871018.

19、1980.54169.6679.6013504.611036.1490.61163.6679.9713088.551078.37100.62165.6679.9013236.071099.64110.63167.6679.7713374.871120.12120.64169.6679.6013504.611139.65130.71163.6679.9713088.551149.04140.72165.6679.9013236.071171.46150.73167.6679.7713374.871193.22160.74169.6679.6013504.611214.15170.81163.66

20、79.9713088.551197.77180.82165.6679.9013236.071221.13190.83167.6679.7713374.871244.09200.84169.6679.6013504.611266.45表49圖5實(shí)際情況中，桌面直徑和每根木條的寬度是定量，所以a 1不可能很小，滿足a 2；上-d2，由上表數(shù)據(jù)計(jì)算得當(dāng)a = 1或2時(shí)，方案無效。1441當(dāng)桌面平鋪時(shí)，鋼筋必須在圓形桌面以外，即p - L ，可以得出p R，根據(jù)上表 2 2L數(shù)據(jù)計(jì)算，當(dāng)p 5 時(shí)為組合桌面。p = 0.5， ai = 30。ai 5，依舊參照模型口桌面木條根數(shù)n =三2.5L 2a第

21、一根桌腿長度l =，第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離h = pH，桌寬i 2Rd =1a 2，4 i第i根桌面木條的半長為a =JR2-d-2.5G-iRi 4 4ii第1根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m =dpl h2 -ai1i第i根桌腿鋼筋位置以上長度f=. hh 2 + m2所以可求出第i根桌腿的槽長K = f-(3). “8”字形桌面p = 0.5， = 30 a 1 5，桌面木條的根數(shù)n =2只需研究桌子一側(cè)前1的桌腿 2.54由于“8”字形桌面的桌子是由兩個組合桌子鏈接起來的，所以設(shè)計(jì)加工研究參數(shù)即為組合桌面桌子參數(shù)。6.2模型III的求解針對圓弧和矩形組合桌面R = 90，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)如下:現(xiàn)要加工高H = R = 90，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)如下:L = 188.56， d = 74.83第i根桌腿開槽長度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長度0.001.814.0110.3916.2919.4421.88第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.7325.0726.0426.7427.2527